Las fórmulas de Trapecios y Simpson utilizan nodos equidistantes y dan valores exactos para polinomios de grado menor o igual que n (n = 1 en el caso de Trapecios y n = 2 en el caso de Simpson).La elección de puntos equidistantes no es la mejor. Puede seleccionarse los puntos de manera que mejore la aproximación.
La cuadratura gaussiana selecciona los puntos de manera óptima.
El método consiste en seleccionar los nodos x1, x2,. . ., xn en [a, b] y los coeficientes c1, c2,. . ., cn que minimicen el error de la aproximación
Reglas de Cuadrátura Gaussiana: Consideramos por el momento integrales de la forma
Note que si el integral esta dado en un intervalo arbitrario [a,b] entonces mediante el cambio de variables
tenemos que
lo cual nos da una integral en [-1,1]. Asi que sin perdida de generalidad podemos asumir que el integral es en [-1,1].
Sean x1,x2,…,xn puntos (no necesariamente uniformemente distribuidos) en [-1,1] y w1,w2,…,wn números llamados pesos ("weights"). Los puntos xj's y los pesos wj's se determinan de modo que la fórmula de integración numérica
sea exacta para polinomios de grado a lo más 2n-1, i.e., In(p)=I(p) para todo polinomio p de grado a lo más 2n-1. Como In é I son operadores lineales, basta verificar que
Caso n=1: Aqui I1(f)=w1f(x1) y requerimos que I1(1)=I(1), I1(x)=I(x). Pero I(1)=2 y I1(1)=w1 de modo que w1=2. Además I(x)=0 y I1(x)=2x1, de donde obtenemos que x1=0. Tenemos pues la fómula numérica I1(f)=2f(0) lo cúal se conoce como la fórmula del punto medio.
Caso n=2: Tenemos ahora que I2(f)= w1f(x1)+ w2f(x2) y se requiere que I2(xi)=I(xi) para i=0,1,2,3. Esto nos lleva al siguiente sistema nolineal para x1,x2,w1,w2:
Suponiendo que x1, x2 son conocidas, resolvemos la tercera y cuarta ecuación (que son lineales en los w's) mediante la regla de Cramer para w1, w2 obteniendo asi que
Sustituyendo estas expresiones en la primera y segunda ecuación y resolviendo para x1, x2 obtenemos que
Asi que nuestra fórmula numérica en el caso n=2 lee como sigue:
Caso n>2: Al aplicar las condiciones
se obtiene un sistema nolineal de 2n ecuaciones en 2n desconocidas (las x's y las w's). Este sistema se puede resolver numéricamente usando el método de Newton para sistemas nolineales. Pero en lugar de proceder de esta forma se utiliza el hecho de que se puede demostrar que los xi's son los ceros del n-esimo polinomio de Legendre Ln(x). Estos polinomios se definen por la recursión
En particular tenemos que L2(x)=(3/2)x2-(1/2) cuyos ceros son ððððð que fueron los x's que determinamos en el caso n=2. También
de donde podemos obtener los x's para las fórmulas de los casos n=3,4 respectivamente. Teniendo los x's podemos ahora calcular los w's resolviendo un sistema lineal de ecuaciones.