f´ormulas de derivaci´on m´as precisas.
f(x), como ocurre en ensayos, datos experimentales, etc., ser´a conveniente utilizar otras
Un problema que presenta esta f´ormula es que la precisi´on de la misma es baja y por lo tanto en situaciones donde s´olo dispongamos de un muestreo de baja precisi´on de
≃f(x) − f(x − h0)h0.
h
→0f(x) − f(x − h)
h
′(x) = l´ım
f
E ≤ h 2 m´ax(x,x+h) |f′′(z)|. En realidad, para datos obtenidos a partir de una tabla esta acotaci´on no es de gran utilidad directa ya que si no se conoce la derivada primera menos a´un se conocer´a la segunda pero al menos nos permite conocer el orden de aproximaci´on de la f´ormula.
Geom´etricamente el error
O(h) procede del hecho de aproximar la derivada por la pendiente de la cuerda que une los puntos f(x) y f(x + h), Por otro lado, si existe la derivada deben existir las derivadas laterales y entonces
Este error se denomina error de truncaci´on o discretizaci´on y puede acotarse f´acilmente, obteni´endose que:
h. Cuanto menor sea h (o sea al tomar valores de f(x) m´as cercanos) la derivada num´erica ser´a m´as precisa.
Reordenando la expresi´on anterior queda demostrado el teorema.
El teorema anterior nos indica que el error cometido al aproximar la derivada primera por su f´ormula de diferencia adelantada es una funci´on lineal de
′′(z), x < z < x + h
f
(x + h) = f(x) + hf′(x) + h2 2
f
Escribamos la aproximaci´on de Taylor para la funci´on en un punto x+h:
Demostraci´on.
′′(z), x < z < x + h
f
′(x) = f(x + h) − f(x)h −h 2
f
Sea f(x) ∈ C1(a, b) y existe f′′(x) en (a, b), entonces se cumple que:
Teorema.
f(x) y f(x+h0). El siguiente teorema nos proporciona informaci´on sobre la precisi´on de esta aproximaci´on.
La ecuaci´on (2.1) es la forma m´as sencilla de aproximar una derivada conocidas
f′(x) existe, entonces hay alg´un h0 a partir del cual nuestra aproximaci´on dista menos de una cantidad δ del valor real para la derivada. El problema es que esto s´olo es cierto con precisi´on infinita ya que h0 puede ser tan peque˜no que no pueda representarse en el ordenador o que la diferencia f(x + h0) − f(x) est´e seriamente afectada por el error de redondeo.
Es m´as, la misma definici´on de la derivada implica que si
(x + h) − f(x) h ≃ f(x + h0) − f(x)h0
f
→0
h
′(x) = l´ım
f
f′(x). En primer lugar un l´ımite no puede calcularse de modo aproximado en un computador donde los n´umeros que se manejan son finitos. A pesar de todo es de esperar que si la funci´on f(x) no se comporta mal y h0 es un n´umero finito pero peque˜no se cumpla:
Este proceso de paso al l´ımite presenta distintos problemas para ser realizado en situaciones pr´acticas donde no se conozca la forma exp´ıcita de
(x + h) − f(x)h
f
→0
h
f′(x) = l´ım
Recordemos que la definici´on de derivada implica el c´alculo de un l´ımite