En análisis numérico, el método de Newton (conocido también como el método de Newton-Raphson o el método de Newton-Fourier) es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada.
Historia
El método de Newton fue descrito por Isaac Newton en De analysi per aequationes numero terminorum infinitas (escrito en 1669, publicado en 1711 por William Jones) y en De metodis fluxionum et serierum infinitarum (escrito en 1671, traducido y publicado como Método de fluxiones en 1736 por John Colson). Sin embargo, su descripción difiere en forma sustancial de la descripción moderna presentada más arriba: Newton aplica el método solo a polinomios. Él no computa las aproximaciones sucesivas xn, sino que computa una secuencia de polinomios y recién al final llega a la aproximación de la raíz x. Finalmente, Newton ve el método como puramente algebraico y falla al no ver la conexión con el cálculo. Isaac Newton probablemente deriva su método de forma similar aunque menos precisa del método de François Viète. La esencia del método de Viète puede encontrarse en el trabajo del matemático persa Sharaf al-Din al-Tusi.
Descripción del método.
La idea de este método es la siguiente: se comienza con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque), entonces se reemplaza la función por la recta tangente en ese valor, se iguala a cero y se despeja (fácilmente, por ser una ecuación lineal). Este cero será, generalmente, una aproximación mejor a la raíz de la función. Luego, se aplican tantas iteraciones como se deseen. Supóngase f : [a, b] → R función derivable definida en el intervalo real [a, b]. Empezamos con un valor inicial x0 y definimos para cada número natural n.
Xn+1 = f(Xn) / f ‘ (Xn).
Donde f ‘ denota la derivada de f.
Obtención del Algoritmo
Tres son las formas principales por las que tradicionalmente se ha obtenido el algoritmo de Newton-Raphson.
La primera de ellas es una simple interpretación geométrica. En efecto, atendiendo al desarrollo geométrico del método de la secante, podría pensarse en que si los puntos de iteración están lo suficientemente cerca (a una distancia infinitesimal), entonces la secante se sustituye por la tangente a la curva en el punto. Así pues, si por un punto de iteración trazamos la tangente a la curva, por extensión con el método de la secante, el nuevo punto de iteración se tomará como la abcisa en el origen de la tangente (punto de corte de la tangente con el eje X). Esto es equivalente a linealizar la función, es decir, f se reemplaza por una recta tal que contiene al punto (X0, f(X0)) y cuya pendiente coincide con la derivada de la función en el punto, f(X0). La nueva aproximación a la raíz, X1, se logra la intersección de la función linear con el eje X de ordenadas. Matemáticamente:
f ‘ (Xn) = f(Xn) / Xn - Xn+1.
Convergencia del Método
El radio de convergencia de este método es, por lo menos, cuadrático. Sin embargo, si la raíz buscada es de multiplicidad algebraica mayor a uno (i.e, una raíz doble, triple,…), el método de Newton-Raphson pierde su convergencia cuadrática y pasa a ser lineal de constante asintótica de convergencia 1–1/m, con m la multiplicidad de la raíz.
Existen numerosas formas de evitar este problema, como pudieran ser los métodos de aceleración de la convergencia tipo Δ
de Aitken o el método de Steffensen.
Derivados de Newton-Raphson destacan el método de Ralsta-Ravinovitz, que restaura la convergencia cuadrática sin más que modificar el algoritmo a:
Xn+1 = Xn - m(f(Xn) / f ‘ (Xn)).
Evidentemente, este método exige conocer de antemano la multiplicidad de la raíz, lo cual no siempre es posible. Por ello también se puede modificar el algoritmo tomando una función auxiliar g(x)=f(x)/f’(x), resultando:
Xn+1 = Xn - (g(Xn) / g ‘ (Xn)).
Su principal desventaja en este caso sería lo costoso que pudiera ser hallar g(x) y g’(x) si f(x) no es fácilmente derivable.
Por otro lado, la convergencia del método se demuestra cuadrática para el caso más habitual en base a tratar el método como uno de punto fijo: si g’®=0, y g’ ‘® es distinto de 0, entonces la convergencia es cuadrática. Sin embargo, está sujeto a las particularidades de éstos métodos.
Nótese de todas formas que el método de Newton-Raphson es un método abierto: la convergencia no está garantizada por un teorema de convergencia global como podría estarlo en los métodos de falsa posición o de bisección. Así, es necesario partir de una aproximación inicial próxima a la raíz buscada para que el método converja y cumpla el teorema de convergencia local.