Numere complexe

Numere complexe

Studiul si utilizarea numerelor complexe in electrotehnica sunt esentiale in special la calculul impedantelor si a unghiurilor fazorilor in circuitele analizate.

Ca scurt istoric, numerele complexe au aparut din nevoia de a reprezenta anumite care in mod normal nu pot fi reprezentate pe axa numerelor reale, ex. √-9 care nu poate fi reprezentat pe axa numerelor reale deoarece nu exista nici un numar care inmultit cu el insusi sa dea √-9 insa acest numar poate fi scris ca √(9)²*(-1)=√9*√-1=3*√-1, de aceea au aparut numerele imaginare pentru a avea posibilitatea de a reprezenta astfel de numere. Numarul √-1 a fost numit unitate imaginara se noteaza cu “i” sau “j” si si se reprezinta pe axa numerelor imaginare care este identica cu cea a numerelor reale perpendiculara pe aceasta. Spre exemplu un numar imaginar de forma √-5 se poate scrie ca 5*√-1=j5 sau √-3 se poate scrie ca 3*√-1=j3. Numerele j5 sau j3 se vor reprezenta pe axa numerelor imaginare. Un numar compelx este format dintr-o parte reala si una imaginara si arata de forma 3+j4 unde 3 reprezinta partea reala a numarului si se va reprezenta pe axa numerelor reale iar j4 reprezinta partea imaginara si se va reprezenta pe axa numerelor imaginare, un alt numar complex poate fi de forma -4-j4 unde de asemenea -4 reprezinta partea reala si –j4 reprezinta partea imaginara ca in figura de mai jos.

Trebuie amintit ca la un numar complex de forma 3+j4 partea imaginara nu se aduna algebric cu partea reala, pur si simplu asta e forma numarului complex, cele doua parti se pot aduna doar vectorial. Pentru asta trebuie sa reprezentam numarul complex pe cele doua coordonate, imaginara si reala. Sistemul de coordonate format din axa numerelor imaginare si a numerelor reale se numeste “planul numerelor complexe” si arata de forma imaginii din Fig.1. Asezam pe axa numerelor reale componenta reala a numarului iar pe axa numerelor imaginare partea imaginara a numarului complex. In Fig.1 avem reprezentate doua numere complexe, 3+j4 si 4-j4, sa analizam primul numar complex, 3+j4. Asezam 3 pe axa orizontala iar pe axa numerelor imaginare cea verticala materializam pe j4 astfel ne rezulta punctul A de coordonate 3 si 4, rezultanta celor doua parti a numarului complex este vectorul OA care reprezinta valoarea absoluta a numarului complex. Observam ca putem sa imaginam un triunghi dreptunghic format din proiectiile celor doua parti a numarului complex unde vectorul rezultat este tocmai ipotenuza tringhiului. Aplicand teorema lui Pitagora putem sa aflam valoarea absoluta sau modulul numarului complex reprezentat prin vectorul rezultat.

(OA)²=3²+4²

OA=√3²+4²=> OA=√25=5

Deci tragem concluzia ca vectorul OA are o amplitudine de 5 insa are si o defazare de axa numerelor reale, pentru a afla “inclinarea” acestui vector ne folosim de functiile trigonometrice, vom folosi functia tangenta

tanα=4/3=1.33.

Pentru a afla valoarea in grade a unghiului aplicam inversa functiei tangenta

arctan1.33=53.13° sau in radiani 0.92rad.

In acest exemplu putem sa spunem ca vectorul nostru reprezinta o tensiune cu o amplitudine de 5 volti si care este defazata fata de curent cu 53.13°, se poate scrie sub forma 5<53.13°.

Deci numarul complex 3+j4 este reprezentarea in planul numerelor complexe a lui 5<53.13°.

Sa analizam si cel de al doilea vector din schema 4-j4, aplicam din nou teorema lui Pitagora si functia tangenta pentru aflarea modulului numarului complex:

(OB)²=4²+4²=> OB=√4²+4²=√32=5.65

tanα=4/4=1, arctan1=45° sau 0.78rad

Deci vectorul nostru are o aplitudine de 5.65 si un defazaj de 45°, putem sa o asimilam cu o tensiune de 5.65 volti defazata fata de curent cu 45°, o putem nota de forma 5.65<45°.

Sa presupunem ca avem un circuit format din doua inductante L1 si L2 legate in serie unde pe L1 avem caderea de tensiune care ne-a rezultat din prima analiza 5<53.13° si pe L2 cea de a doua 5.65<45°, pentru aflarea tensiunii totale din circuit cele doua tensiuni nu se pot aduna algebric deoarece ele difera in faza cu alte cuvinte nu este corect ca tensiunea totala in circuit este de 10.65 V.

Pentru a afla tensiunea totala trebuie sa procedam in urmatoarea maniera, adunam numerele complexe 3+j4 cu 4+j4 iar rezultalul acestei adunari reprezinta valoarea corecta a tensiunii in circuit, (3+j4)+(4+j4)=7+j8. Valoarea corecta a tensiunii in circuit este numarul complex 7+j8, aplicam teorema lui Pitagora pentru aflarea ipotenuzei triunghiului dreptunghic cu laturile 7 si 8 pentru aflarea vectorului tensiune iar apoi aplicam functia tangenata pentru aflarea defazarii vectorului tensiune fata de curentul din circuit.

(OC)²=√7²+8²=√113=10.63

tanα=8/7=1.14, arctan1.14=48,81°

Tensiune totala in circuit este 10.63V la un unghi de 48,81° fata de curent se noteaza in forma polara 10.63<48,81°.

Operatii cu numere complexe:

(a+jb)+(c+jd)=(a+c)+(b+d)j

(a+jb)-(c+jd)=(a-c)+(b-d)j

Transformarea din forma polara in numere complexe si operatii cu acestea.

Sa se adune doi curenti care au valoarea 3A<30° si respectiv 2A<45°:

I=3A<30°+2A<45°

Pentru aceasta trebuie sa transformam formele polare ale curentilor in numere complexe si apoi adunam aceste numere, pentru asta ne folosim de teorema lui Pitagora si functii trigonometrice.

Interpretam primul numar primul numar 3A<30°, 3 reprezinta amplitudinea curentului iar pentru triunghiul dreptunghic reprezinta ipotenuza acestuia iar 30° reprezinta ungiul fata de cateta alaturata, cunoscand aceste lucruri putem sa aflam cele doua catete care reprezinta componenta reala si cea imaginara, cateta alaturata reprezinta partea reala a numarului complex iar cateta opusa reprezinta partea imaginara.

sinα=Cateta opusa/Ip

sin30°=Cateta opusa/3 => Cateta opusa=3*sin30° => Cateta opusa=1.5 care reprezinta partea imaginara a numarului complex si se va reprezenta pe axa imaginara a planului complex.

cosα=Cateta alaturata/Ipotenuza

cos30°=Cateta alaturata/3 => Cateta alaturata=3*cos30°=2.6 care reprezinta partea reala a numarului complex si se va reprezenta pa axa numerelor reale din planul numerelor complexe.

Reprezentarea numarul polar 3A<30° in planul numerelor complexe este 2.6+j1.5.

Facem acelasi lucru si pentru al doilea numar

sin45°=cateta opusa/2 =>Cateta opusa=2*sin45°=1.4

cos45°=cateta alaturata/2 => Cateta alaturata=2*cos45°=1.4

Reprezentarea numarului 2A<45° in planul numerelelor complexe exte 1.4+j1.4.

Acum adunam cele doua numere complexe:

(2.6+j1.5)+(1.4+j1.4)=4+j2.9

Pentru a afla forma polara a numarului complex rezultat din adunarea celor doi curenti folosim teorema lui Pitagora pe triunghiul dreptunghic format unde cunoastem cele doua catete putem afla ipotenuza care reprezinta marimea sau amplitudinea vectorului rezultat:

Ip²=4²+2.9² =>Ip=√4²+2.9²=4.9

Acesta reprezinta amplitudinea curentului care trece prin circuit insa trebuie sa aflam si defazajul fata de tensiune rezultat in urma adunarii celor doi curenti.

Aplicam functia tangenta pentru triunghiul nostru:

tanα=2.9/4=0.725, arctan0.725=35.9°

Curentul total rezultat in urma adunarii celor doi curenti este4.9A<35.9°

3A<30°+2A<45°=4,9<35.9°

Concluzie finala

Un numar complex contine mai multe informatii despre vectorul analizat: marimea vectorului sau amplitudinea, directia si sensul, "inclinarea" lui fata de axele planului complex.