Integrale, derivate

Integrale, derivate, antiderivate

Sa vedem ce este derivata unei functii:

Un vehicul pleaca din starea de repaus si se deplaseaza pe o distanta care este data de functia f(x)=x².

Daca punem functia f(x)=x² intr-un sistem de coordonate obtinem graficul din Fig.1. Cunoastem din fizica ca exista o relatie intre spatiul parcurs relativ cu timpul si viteza unui corp δv=δs/δt, astfel putem gasi o cale de a extrage din functia data, marimea care ne intereseaza adica viteza care rezulta sau deriva din aceasta functie, astfel daca derivam functia f(x)=x² dupa regula

obtinem functia v(t)=2x pe care o trasam ca in Fig.2 din imaginea de mai sus astfel putem sa aflam viteza instantanee in orice moment. Deci cu alte cuvinte am reusit sa extragem din functia initiala f(x)=x² care ne indica cum evolueaza spatiul parcurs, viteza autovehicolului care deriva din aceasta functie.

Ce presupune integrarea?

Integrarea este tocmai operatiune inversa derivarii, prin integrare putem sa obtinem sau sa recuperam functia care a generat derivata functiei, cu alte cuvinte daca antiderivam functia vitezei v(t)=2x putem sa obtinem functia initiala f(x)=x². Asta se poate face pentru tipul de functii de tipul f(x)=xⁿ dupa regula:

Daca f(x)=2x rezulta ca antiderivata sau primitiva este F(x)=2x²/2 rezulta:

Cu alte cuvinte prin integrare am recuperat tocmai functia din enuntul problemei f(x)=x².

Un alt aspect important al integralei este ca ne da posibilitatea sa aflam suprafata cuprinsa intre graficul functiei si axa orizontala a sistemului de referinta.

Trebuie sa amintim ca sunt doua tipuri de integrale, definite si nedefinite.

Definitie:

O functie y=F(x) se numeste antiderivata sau primitiva unei alte functii y=f(x) daca F'(x)=f(x) pentru toate valorile lui x. Pentru exemplul nostru, F(x)=2x²/2 este antiderivata functiei f(x)=2x daca F'(x)=2x=f(x).

Pentru a afla suprafata unei integrale intre doua puncte a si b se foloseste doua teoremă fundamentală a calculului integral:

Daca o functie y=f(t) este continua pe un interval a-b atunci exista intotdeauna o antiderivata F(t) a lui f(t) atunci:

Exemplu, daca f(t)=x atunci F(t)=1/2x² este antiderivata lui f(t) prin urmare suprafata integralei cuprinsa intre punctele a si b:

Exemplu:

Sa se calculeze aria functiei f(x)=cosx pentru diferite intervale intr-o perioada T.

Antiderivata sau primitiva functiei cosx este F(x)=sinx.

Sa analizam functia pe intervalul 0, π/2:

aria integralei pe acest interval este 1.

Analizam pe intervalul π/2, 3π/2:

aria pe acest interval este -2

Analizam pe intreg intervalul 0, 2π:

aria pe intreaga perioada este 0.

Daca asimilam functia f(x)=cosx cu tensiunea alternativa obtinem ca valoarea medie a tensiunii pe o perioada este zero.