Ecuatia Euler

Formula lui Euler pentru fazori

Ecuatia lui Euler este o reprezintare compacta a formei polare a unui fazor.

Ce este fazorul?

Este reprezentarea unui numar complex in forma polara. Spre deosebire de vector care se caracterizeaza prin, amplitudine si directie, fazorul se caracterizeaza prin amplitudine si viteza unghiulara. Putem spune ca un fazor este un vector care se roteste cu o anumita viteza unghiulara.

Daca reprezentam un vector in planul numerelor complexe si ii imprimam o miscare circulara in sens trigonometric cu o viteza unghiulara oarecare numim acest tip de vector ca fiind un fazor.

Vectorul V este definit de proiectia sinusului(V*sin(α)) pe axa numerelor imaginare Im si proiectia cosinusului(V*cos(α)) pe axa numerelor reale Re.

Daca inlocuim unghiului α cu viteza unghiulara si rotim acest vector in sensul trigonometric acesta se transforma intr-un fazor.

Pentru a face legatura intre numerele complexe si functiile sinus si cosinus este nevoie de formula lui Euler:

Me^jθ=Mcosθ+jMsinθ

Me^jθ este partea polara a numarului complex unde M reprezinta amplitudinea lui iar θ reprezinta faza sau unghiul lui.

Mcosθ+jMsinθ este partea rectangulara unde:

Mcosθ reprezinta partea reala Re a numarului complex

jMsinθ reprezinta partea imaginara Im a numarului complex

Conversia numerelor complexe din forma polara in forma rectangulara:

Convertim numarul complex forma polara 5e^j0.927 in forma rectangulara

5e^j0.927 =5cos(0.927)+j5sin(0.927)

Proiectam 5cos(0.927) pe axa numerelor reale si 5sin(0.927) pe axa numerelor imaginare ca in figura de mai sus apoi aflam catetele triunghiului dreptunghic format.

cosα=Cateta alaturata(Cal)/Ipotenuza(Ip)

cos(0.927)=5*Cal

Cal=5cos(0.927); (cos0.927=0.6)

Cal=5*0.6=3 care reprezinta partea reala a formei rectangulare

sinα=Cateta opusa(Cop)/Ipotenuza(Ip)

Cop=5sin(0.927); (sin0.927=0.8)

Cop=5*0.8=4 care reprezinta partea imaginara a formei rectangulare

Rezulta ca

5e^j0.927 =3+j4

Conversia numerelor complexe din forma rectangulara in forma polara

Ne folosim de proprietatea triunghiului dreptunghic:

Ip²=Cal²+Cop²

Ip=√Cal²+Cop²

In cazul numarului nostru 3+j4, 3 este Cal si 4 Cop

Ip=√3²+4² ; Ip=5 care reprezinta amplitudinea numarului complex, pentru ai afla directia cunoscand cele doua catete ne folosim de functia arctan

arctan(4/3)=0.927

Deci numarul nsotru se caracterizeaza printr-o amplitudine de 5 si o directie de 0.927 si il scriem sub forma 5e^j0.927 .

Adunarea si scaderea numerelor complexe:

Pentru adunare si scadere se converteste numarul complex in forma rectangulara si si apoi se executa operatiile.

Exemplu:

Sa se adune 5e^j0.927 cu √2e^j0.785

Convertim cele doua numere in forma rectangulara:

5e^j0.927 =>3+j4

√2e^j0.785 =>1+j

Adunam cele doua numere in forma rectangulara:

(3+j4)+(1+j)=4+j5

Convertim 4+j5 in forma polara si rezulta

4+j5=6.4e^j0.896

Exemplu:

Se da o tensiune V=2V<45°, sa se reprezinte polar si rectangular.

Vectorul V are o amplitudine de 2 si are o directie de 45°, reprezentarea rectangulara a vectorului reprezinta tocmai proiectiile cosinusului si sinusului pe cele doua axe, imaginara(Im) si reala(Re):

2cos45°=2e^j45°;

2sin45°=2e^j45°

Rezulta:

2e^j45°=2cos45°+j2sin45°

Insa dupa cum spuneam in articol pentru fazori vorbim de o miscare ciclica in sensul trigonometric avectorului si nu de de o valoare fixa a unui unghi α.

Pntru fazori valoarea ciclica este reprezentata de viteza unghiulara notata cu ω:

Me^jω=Mcosω+jMsinω;

unde ω=2πf

Daca avem o tensiune alternativa de 20 volti la o frecventa de 50Hz definita ca V=20sin(50t) ecuatia lui Euler pentru aceasta tensiune poate fi scrisa ca:

20e^j(50t)=20cos(50t)+j20sin(50t)

Deci tensiunea 20sin(50t) poate fi scrisa ca fiind 20e^j(50t)

Cu alte cuvinte dupa cum am mai scris la inceputul articolului formula lui Euler este o cale de a scrie mai compact forma fazorului analizat.