Derivate

Derivata unei functii reprezinta panta acelei functii intr-un punct bine definit.

In imaginea de mai sus avem triunghiul ale carui laturi sunt a, b, c, calculul pantei presupune aflarea inclinarii ipotenuzei notata cu a si se afla prin impartirea inaltimii la proiectia pe orizontala a ipotenuzei: panta=c/b.

Pentru exemplificare sa consideram functia din imaginea de mai sus si sa analizam panta functiei pentru un interval h cuprins intre a si a+h pe axa orizontala. Pentru functia f(t)=x² dam valori a si a+h

Ne rezulta triunghiul marcat cu rosu din figura si caruia trebuie sa ii aflam panta, cele doua catete sunt definite ca diferenta dintre punctele de pe axe, astfel cateta verticala scadem pe f(a) din f(a+h) iar cateta orizontala scadem din a+h pe a. Acum aplicam formula de aflare a pantei adica impartim cateta verticala la cea orizontala si ne rezulta:

Pentru cazul nostru particular unde avem functia f(t)=x² dam functiei valorile a si a+h:

Cu alte cuvinte am aflat derivata functiei f(t)=x² pe intervalul a si (a+h) care de fapt este tocmai panta triunghiului dreptunghic din figura.

Dar aici avem o problema, daca revenim la definitia de la inceputul articolului ne spune ca derivata este panta acelei functii intr-un punct bine definit ori in cazul nostru panta este definita pe un interval format din doua puncte. Nu este nimic gresit in demonstratia de mai sus, trebuie sa specificam insa ca acel interval sa fie atat de mic incat sa-l putem considera un singur punct sau cu alte cuvinte trebuie sa

alegem intervalul h dintre cele doua puncte foarte mic astfel el trebuie sa tinda la zero, astfel ne va rezulta un triunghi dreptunghic cu o dimensiune infima insa a carei ipotenuza va avea totusi o panta si pe care trebuie sa o calculam conform algoritmului de mai sus.

Pentru a completa formula de aflare a derivatei unei functii tinand cont de intervalul foarte mic trebuie sa o completam astfel specificand ca h tinde la 0:

Ne va rezulta o imagine:

Deoarece valoarea lui h este foarte mica tinzand la zero ne va rezulta un triunghi similar cu cel din exemplul anterior insa de dimensiuni extrem de reduse, sageata albastra indica prezenta lui iar linia rosie reprezinta prelungirea ipotenuzei triunghiului doar pentru a demonstra ca exista.

Concluzie:

Dupa cum am mai spus derivata unei functii este panta triunghiului dreptunghic. Nu ne intereseaza dimensiunea ipotenuzei, unghiuri, etc. ci doar inclinarea(panta) ipotenuzei pe care o aflam impartind cateta verticala la cea orizontala.

Valoarea lui h se alege foarte mica pentru o precizie cat mai mare, spre exemplu daca dorim sa aflam viteza unui corp la nivel de milisecunda sau la un interval de timp chiar mai mic.