Reflexiones Infinito

Peter Suber , Departamento de Filosofía , Universidad de Earlham

• Paradoja de Galileo

• Contradictorio o contrario a la intuición?

• Imaginación v Concepción

• Infinito como una idea positiva

• Cómo podemos experimentar nada infinita?

• La sublimidad del Infinito

• Conclusión

• Bibliografía

• Notas

• Apéndice: Un curso acelerado en las matemáticas de conjuntos infinitos

Paradoja de Galileo

He aquí una paradoja del infinito observado por Galileo en 1638. Parece que los números pares son tan numerosos como los iguala y las probabilidades en su conjunto. ¿Por qué? Debido a que se pueden poner en correspondencia uno-a-uno. The Evens y las probabilidades juntos se llaman los números naturales. El primer número par y el primer número natural se puede combinar, y el segundo par y el segundo natural, se puede combinar, y así sucesivamente. Cuando dos conjuntos finitos se pueden poner en correspondencia uno-a-uno de esta manera, siempre tienen el mismo número de miembros.

Apoyando esta conclusión desde otra dirección es la intuición de que "el infinito es infinito", o que todos los conjuntos infinitos son del mismo tamaño. Si podemos hablar de los conjuntos infinitos como tener cierto número de miembros, entonces esta intuición nos dice que todos los conjuntos infinitos tienen el mismo número de miembros.

Paradoja de Galileo es paradójica porque esta visión intuitiva que los dos conjuntos tienen el mismo tamaño viole otra intuición, que es igual de fuerte. Está claro que los números pares parecen menos numerosos que los números naturales, medio tan numerosos para ser precisos. ¿Por qué? Debido a que podemos obtener los iguala, comenzando con los naturales y eliminación de todos los demás miembros. Huelga decir que, cuando borramos todos los demás miembros de un conjunto finito, el resultado es un conjunto que es un medio tan numerosos como el conjunto original.

Si los iguala y los naturales eran conjuntos finitos, entonces estos dos veredictos formarían una contradicción estricta. Si dos conjuntos finitos se pueden poner en correspondencia de uno a uno, entonces tienen el mismo número de miembros, pero si uno se puede producir mediante la supresión de todos los demás miembros de la otra, entonces no tienen el mismo número de miembros y no se puede poner en correspondencia uno-a-uno. Así que tenemos una contradicción estricta aquí?

The Evens y los productos naturales no son conjuntos finitos pero infinitas. Con esto me refiero a que sólo contarlas una a la vez nunca llegará hasta el final, no hay mayor número par, y no hay mayor número natural.

En este punto vamos a introducir el término técnico cardinalidad para referirse al número de miembros de un conjunto. Por ejemplo, el conjunto de dedos de una mano tiene cardinalidad de cinco. El conjunto de caras en el monte. Rushmore tiene cardinalidad cuatro. El conjunto de títeres tiene cardinalidad tres.

En el lenguaje de cardinalidad, podemos decir que cualquiera de los dos conjuntos que se pueden poner en correspondencia uno-a-uno son iguales en la cardinalidad de ellas tiene el mismo número de miembros. Esto se comprueba fácilmente para conjuntos finitos, y vamos a considerarlo como la definición de igual magnitud para conjuntos infinitos. Usando el mismo lenguaje de la cardinalidad, nuestra intuición nos ha dado dos proposiciones adicionales: (1) que todos los conjuntos infinitos son iguales en cardinalidad,[Nota 1] y (2) que si un juego se puede obtener mediante la supresión de los miembros de otra, entonces tienen cardinalidades desiguales. Este último veredicto puede ser parafraseado así: algunos conjuntos infinitos tienen una cardinalidad mayor que otros conjuntos infinitos, o no todos los conjuntos infinitos son iguales en cardinalidad. Por lo tanto, estas dos sentencias de la intuición, se oponen directamente entre sí y no pueden ser ambas verdaderas.

Vamos a introducir un término más técnico, la última por un largo tiempo. Un conjunto es un subconjunto de un segundo juego cuando todos sus miembros pertenecen al segundo grupo. Es unsubconjunto apropiado cuando todos sus miembros pertenecen a la segunda serie y si se omite o excluye algunos de los miembros de ese segundo set. The Evens son un subconjunto propio de los naturales, ya que constituyen un subconjunto de los productos naturales que omite algunos naturales, a saber, las probabilidades. El conjunto de Moe y Larry hace un subconjunto propio de títeres porque Moe y Larry son algunos, pero no todos los títeres, sino que omiten un títere, a saber, Curly. Con esta terminología, podemos ofrecer una paráfrasis más del segundo veredicto de la intuición: un conjunto debe tener una cardinalidad mayor que sus subconjuntos propios.

Si añadimos Curly al conjunto de Moe y Larry, entonces el conjunto crece en la cardinalidad de dos a tres. ¿Qué pasaría si sumamos los números impares para el conjunto de los números pares?¿El juego de crecer en cardinalidad, o sería conservar la misma cardinalidad que el conjunto de iguala solos? Esta es la pregunta original en una nueva forma. El primer veredicto de la intuición no dice, todos los conjuntos infinitos son iguales en cardinalidad, por lo que añadir los iguala a las probabilidades no aumentarían cardinalidad. El segundo veredicto de la intuición dice que sí, para este veredicto es sólo otra manera de decir que la adición de nuevos miembros a un conjunto dado, y sobre todo la adición de un número infinito de nuevos miembros, siempre aumentará cardinalidad.

Así que el veredicto es la correcta? Antes de responder a esta pregunta, tenga en cuenta que no podemos tener las dos cosas. Cualquiera de los conjuntos infinitos son iguales en cardinalidad, o todos los conjuntos infinitos tienen una cardinalidad mayor que sus subconjuntos propios, pero no ambos. Por lo tanto, la verdad sobre esta cuestión violará al menos una de nuestras intuiciones.Para mis propósitos, esta lección es al menos tan importante como los detalles matemáticos de la respuesta correcta, ya que implica que no debemos confiar en nuestras intuiciones en este ámbito, tampoco hay que esperar para confirmar los resultados matemáticos sobre el infinito con nuestras intuiciones. Algunos resultados verdaderos violan nuestras intuiciones y algunos resultados falsos serán ratificados por ellos.

Ahora podemos señalar que tanto los veredictos de la intuición son falsas. En primer lugar, es falso que todos los conjuntos infinitos son iguales en cardinalidad. Podemos demostrar que algunos infinitos son más grandes que otros (por ejemplo, ver los teoremas 3 , 4 , 5 , y 16 del Apéndice ). En segundo lugar, es falso que todos los conjuntos tienen una cardinalidad mayor que sus subconjuntos propios. Podemos probar que algunas adiciones a un conjunto dado, incluso adiciones infinitas, no aumentan la cardinalidad del conjunto dado (por ejemplo, ver los Teoremas 1 , 2, 7 , 14 , 15 , 19 , y 22 en el apéndice ).

En su declaración original de la paradoja, Galileo no hizo uso de los números pares, sino que utiliza los cuadrados perfectos, 0, 1, 4, 9, 16 ....[Nota 2] Al igual que los iguala, este conjunto es infinito y el conjunto de sus omisiones números naturales también es infinito. Pero parece mucho menos probable que los números pares a la igualdad de los naturales de cardinalidad, ya que, a medida que avanzamos a lo largo de la serie de cuadrados, el intervalo entre los miembros se hace cada vez más grande. En realidad, a medida que avanzamos hacia el exterior la proporción de cuadrados perfectos a los números naturales se aproxima a cero. Los iguala nunca se agotan, pero las plazas se convierten infinitamente escasa.

Sin embargo, podemos poner los números naturales y los cuadrados perfectos en correspondencia uno-a-uno. Cada número natural distinto tiene un cuadrado perfecto distinta, y cada número cuadrado distinta tiene un número natural distinta como su raíz cuadrada. Por lo tanto cada miembro de una secuencia tiene una contraparte única en el otro, y viceversa. (Lo mismo es cierto de los iguala y los naturales.)

Este hecho es la clave para la solución. Si los dos conjuntos se pueden poner en correspondencia uno-a-uno, entonces tienen la misma cardinalidad, por definición. Una intuición ratificó este resultado (es decir, que todos los conjuntos infinitos son iguales en cardinalidad) y uno opuesto a ella (es decir, que todos los conjuntos infinitos tienen una cardinalidad mayor que sus subconjuntos propios). Ambas intuiciones son falsas en general, pero uno fue accidentalmente cierto en este caso. La lección para la intuición es: acostumbrarse a él.

Paradoja de Galileo es paradójico sólo en el sentido débil: la violación de nuestras intuiciones. No es una contradicción. Es raro y sorprendente, sino que es, literalmente, contra-intuitivo, pero no es contradictorio. Hemos sido capaces de elegir entre las intuiciones de la competencia y eliminar la apariencia de contradicción, una vez que se aferró a la definición de igual cardinalidad de los conjuntos infinitos proporcionadas por el principio de la correspondencia uno-a-uno.

Esta innovación se debe a Georg Cantor, como es la teoría de conjuntos en sí, la teoría de los conjuntos infinitos, y el moderno concepto de cardinalidad infinita. Cantor vivió desde 1845 hasta 1918, y elaboró ​​su teoría de conjuntos infinitos desde aproximadamente 1870 hasta 1895. El veredicto de Cantor es que el conjunto de los números pares, el conjunto de los números impares, el conjunto de cuadrados perfectos, y el conjunto de todos los números naturales tienen la misma cardinalidad. La clave de esta solución es simplemente para definir la igualdad de cardinalidad través de la correspondencia uno-a-uno, y a continuación, para demostrar que estos conjuntos se pueden poner en correspondencia uno-a-uno entre sí. Del mismo modo, podemos probar que algunos conjuntos infinitos tienen una cardinalidad mayor que los demás, mostrando que no se pueden poner en correspondencia uno-a-uno.

Usted puede saber que muchos matemáticos y filósofos han objetado la idea misma de una infinidad completado o real, a diferencia de un infinito potencial. Matemáticas de Cantor, sin embargo, postula audazmente infinitos completos. Los números naturales hacen una infinidad potencial cuando pensamos en contándolas, y nunca llega a su fin; siempre podemos añadir uno más y seguir adelante. Constituyen una infinidad completado o real cuando son todos los paquetes juntos y dice que forman un conjunto de algunos cardinalidad definida. Cantor no sólo iba en contra de la objeción tradicional a infinitos completos, utilizó infinitos completos en forma de conjuntos infinitos como parte intrínseca de su solución a las paradojas clásicas de lo infinito.

Hay muchas otras paradojas clásicas de lo infinito. Pero Galileo es suficiente para que podamos empezar. El infinito ha sido una fuente perenne de maravilla matemática y filosófica, en parte debido a su enormidad, cualquier cosa que grande es grande, y provoca admiración y contemplación, y en parte debido a las paradojas, como Galileo. Infinito parece imposible de domar intelectualmente, y para traer dentro de los límites de la comprensión humana. Voy a argumentar, sin embargo, que Cantor ha domesticado. La buena noticia es que las matemáticas de Cantor hace infinito claro y consistente, pero no hace nada para reducir la grandeza imponente de la misma.

Voy a ofrecer reflexiones sobre un puñado de las preguntas matemáticos y filósofos específicos han preguntado por la infinita largo de los siglos. La matemática moderna nos ha permitido hablar coherentemente de "completo" o infinitos "reales", en oposición a los simples "potenciales"? Es la misma idea de un conjunto infinito (que se puede poner en correspondencia uno-a-uno con algunos de sus subconjuntos propios) contradice a sí mismo? ¿Pueden los conjuntos infinitos se "imaginaron" o sólo "concebido" o ni siquiera eso? ¿Tenemos una idea de lo infinito o sólo la idea de finitud y su negación? Voy a discutir cómo vamos a "desaprender" algunas intuiciones, cultivadas en nuestra experiencia de lo finito, que hacen algunos resultados consistentes y demostrables, literalmente, contra-intuitivo. Por último, voy a examinar por qué los exploradores profundas de lo infinito, incluso en sus formas estrictamente matemáticos, recurrentemente resulta ser (en términos de Kant) sublime.

Contradictorio o contrario a la intuición?

Cantor nos obliga a ver que la noción intuitiva del tamaño de un conjunto es ambiguo. Cuando decimos que un conjunto es menor que otro conjunto, podríamos significar dos cosas muy diferentes. En primer lugar, podríamos decir que el conjunto "más pequeño" es un subconjunto propio del conjunto "más grande". En segundo lugar, podríamos decir que un juego tiene una cardinalidad menor que el otro en el sentido de que la correspondencia uno-a-uno entre ellos falla.

Estas dos nociones de tamaño son distintos e independientes. Un conjunto puede ser más pequeño que otro establecido por una medida no menor por la otra medida. La paradoja de Galileo es un ejemplo perfecto. El conjunto de cuadrados perfectos es un subconjunto propio del conjunto de los números naturales, y en ese sentido es un conjunto "más pequeño". Sin embargo, los dos conjuntos se pueden poner en correspondencia uno-a-uno, y en ese sentido, no es menor en absoluto, sino el mismo "tamaño".

Con conjuntos finitos, estas dos nociones de tamaño siempre y necesariamente están de acuerdo; eso puede ser por eso que son tan fáciles de confundir unos con otros cuando se trata de conjuntos infinitos. Yo creo que todas las paradojas clásicas del resto infinito en apenas esta confusión de las dos nociones de tamaño de un conjunto, un síntoma de la expectativa injustificada de que magnitudes infinitas deben comportarse como magnitudes finitas. Las paradojas clásicas establecieron dos conjuntos infinitos que son desiguales por una prueba, pero iguales por el otro, y presentan esta posibilidad contra-intuitivo, pero consistente como una contradicción o imposibilidad. Las objeciones clásicas a infinitos completos[Nota 3] descansar en la misma confusión. Los que sostenían que los infinitos completos son auto-contradictoria apelación a las aparentes contradicciones contenidas en las paradojas clásicas como Galileo. Cuando reconocemos los dos nociones distintas y compatibles de tamaño, que están en el trabajo en estas paradojas, entonces, se muestra que la aparente contradicción no es real, disolvemos la paradoja, y responder a las objeciones basadas en él contra infinitos completos.

Para repetir, entonces, en aras de la claridad: la solución de Cantor a la paradoja de Galileo es que el conjunto de los cuadrados perfectos y el conjunto de los números naturales tienen la misma cardinalidad pesar de que uno de estos conjuntos es un subconjunto propio de la otra.

De ello se deduce que tener coraje - que algunos conjuntos infinitos se pueden poner en correspondencia uno-a-uno con subconjuntos propios de sí mismos. Esto nunca puede suceder con conjuntos finitos. Pero sucede, por ejemplo, con los números naturales y su subconjunto apropiado, los números pares naturales, y de nuevo con los números naturales y su subconjunto propio, los cuadrados perfectos.

La sola idea de que un conjunto se puede poner en correspondencia uno-a-uno con uno de sus subconjuntos propios es profundamente contrario a la intuición. Si te sientes una barrera de resistencia, esta es probablemente la causa. Por ejemplo, un conjunto infinito con esta propiedad no va a crecer en cardinalidad que añadimos a los miembros a que, uno a la vez (ver Teorema 7en el apéndice ), y no se encoge en cardinalidad que restamos los miembros de la misma, de una en una tiempo (ver Teoremas 8 y 9 en el Apéndice ).

En aras de un futuro debate, digamos que un conjunto que se puede poner en correspondencia uno-a-uno con al menos uno de sus subconjuntos propios es autoanidados . (Por desgracia, los matemáticos han dado ningún nombre a esta propiedad, por lo que tengo que inventar uno.)

Conjuntos autónomos de anidación parecían imposibles o contradictorios, tan pronto como están concebidos. En el siglo VI, Juan Philoponous de Alejandría sostenía que si el mundo fuera infinitamente viejo, a continuación, un número infinito de mes habría pasado. Pero treinta veces más días también habrían pasado. Pero ya sea el infinito número de meses y el infinito número de días son iguales o desiguales. Si es igual, entonces en nuestras condiciones el conjunto infinito de los últimos días es la auto-anidación y se puede poner en correspondencia uno-a-uno con su subconjunto propio, el conjunto infinito de los últimos meses. Si desigual, entonces no habría infinitos de diferentes tamaños. Debido Philoponous pensó dos opciones contradictorias, concluyó que el mundo debe ser finito de edad.[Nota 4]

La teoría de Cantor enfrentó una intensa oposición en el siglo 19, a partir de los matemáticos, así como de los filósofos y de los teólogos. No se acaba de negar y no creyeron, sino que fue odiado. Pero a pesar de este calor, ningún oponente de la teoría ha sido capaz de demostrar que la auto-anidación es contradictorio que los conjuntos infinitos. Las objeciones que autoanidados es contradictoria para conjuntos finitos, o contrario a la intuición de los conjuntos infinitos, son claramente fuera de lugar. Hoy en día, la teoría de Cantor es la matemática estándar a pesar de que todavía hay unos pocos reductos. Más allá de la consistencia, tiene la virtud de eliminar la contradicción aparente de rompecabezas como la paradoja de Galileo.

Cuando una teoría con estas virtudes se oponen a la intuición, el remedio no es negar la teoría, sino que desaprender nuestras viejas intuiciones.[Nota 5] En la tarea de reeducar nuestras intuiciones, he encontrado tres estrategias sean útiles.

En primer lugar, el estudio de las pruebas de los resultados matemáticos básicos. Cuando su intuición se opone sólo por alguien de palabra-así, como el mío o un profesor de, a continuación, la intuición puede ganar-y fácilmente tal vez en ese caso, debería ganar. Cuando se está en contra de una cadena articulada de razonamiento, entonces empieza a dar-y debería dar.

En segundo lugar, recuerde que nuestras intuiciones eran cultivados por nuestra experiencia de conjuntos finitos: juegos de dedos, juegos de monedas, conjuntos de personas. Y para conjuntos finitos, autoanidados es una contradicción. Cuando tratamos con conjuntos infinitos, tenemos que aceptar el hecho de que la mayor parte de nuestro "sentido común" o "reglas de oro" o habrá inaplicables o falsa, evolucionando como lo hicieron para los dominios más manejables de la experiencia finita. Esto no es una licencia para ignorar o negar nuestras intuiciones, que a menudo son valiosas pistas a teorías matemáticamente coherentes. Se trata simplemente de una razón para poner a un lado cuando entran en conflicto con una teoría consistente con el apoyo de pruebas sólidas que resuelve problemas matemáticos de otro modo insolubles.

En el mismo sentido, es útil recordar casos observados en la historia de las matemáticas en la que nos confundió las ideas contrarias a la intuición de los contradictorios. Los ejemplos más prominentes son magnitudes inconmensurables y velocidades instantáneas, pero también podríamos citar los números negativos, la negación del postulado de las paralelas de Euclides, y, más recientemente, funciones numéricas incomputable. Con el paso del tiempo, la aceptación y utilidad de estas ideas sólo han aumentado, y su consistencia ha sido más firme y claramente reconocido, mientras que las intuiciones de oposición se han desvanecido con las visiones del mundo que las cultivaban.

En tercer lugar, recuerde que nuestras intuiciones no serían satisfechas mejor al rechazar solución autoanidados de Cantor a la paradoja de Galileo. Si no aceptamos la opinión de Cantor de que dos conjuntos de Galileo tenían la misma cardinalidad, entonces tendríamos que aceptar la opinión de que tenían cardinalidades desiguales. Pero este resultado estaría en contradicción con el principio intuitivo que uno-a-uno, establece la igualdad de cardinalidad. Cuando estamos en un callejón sin salida para la intuición, entonces la intuición ya no es una guía útil, ya que atrae tanto (o tan poco) por un lado como por el otro. Es decir, cuando deberíamos estar buscando otro guía, no aferrarse a la guía que se ha descalificado a sí mismo.

Imaginación v Concepción

Hemos visto que la intuición descalifica a sí mismo en este ámbito respaldando a conclusiones contradictorias. Conclusiones de Cantor son rigurosamente probados, y hasta ahora (a pesar de algunos esfuerzos motivados enérgicamente), prueba rigurosa no ha respaldado las conclusiones contradictorias sobre el infinito. Esta es una buena razón para preferir la prueba a la intuición. La distinción entre la intuición y la prueba como razones para la aceptación de una teoría, y la insuficiencia de la intuición para hacer frente a lo infinito, tiene muchas consecuencias para la filosofía y las matemáticas del infinito. Por ejemplo, incluso después de reconocer la consistencia de la teoría de Cantor, muchas personas siguen insistiendo que no sabemos nada sobre el infinito. Lo que parecen significar es que el conocimiento requiere un poco de intuición, la imaginación o la visualización.

Creo que entiendo el origen de esta objeción, pero también creo que es fácil de responder. Al igual que nuestras intuiciones sobre conjuntos, subconjuntos, y cardinalidad son cultivadas por conjuntos finitos, donde autoanidados es posible, nuestro conocimiento ordinario de los objetos está limitado a un número finito de objetos de tamaño finito. ( En un momento voy a mirar a la pregunta de si alguna vez experimentamos algo que es verdaderamente infinito.) podemos visualizar objetos de tamaño finito y podemos visualizar un número finito de ellos. Esto significa que prácticamente la totalidad de nuestro conocimiento ordinario de los objetos va acompañado de esta posibilidad de visualización. Es natural que íbamos a venir a esperar que todo lo que podemos saber, también podemos visualizar.

Incluso si esta expectativa es legítimo que lo finito, es totalmente ilegítima de infinito. Así como intuiciones cultivadas para lo finito es probable que sean inaplicables o falsa de lo infinito, por lo que es la expectativa de que seamos capaces de visualizar.

Descartes nos pide que imaginemos, es decir, visualizar un chiliogon o polígono regular de 1000 lados.[Nota 6] ¿Se puede hacer eso? Pruébalo ahora mismo. Lo más probable es que usted está visualizando bien algo así como un polígono de 20 o 30 caras y pretender que tiene 1.000 partes, o que se está visualizando un círculo y simulando los lados son demasiado pequeños para verlos con el ojo de su mente. Sabemos exactamente lo que un chiliogon es; incluso podemos calcular el ángulo interior de sus lados y por un borde dado, su área y el perímetro. Pero no podemos visualizar una.

Una de las razones que me gusta ejemplo de Descartes es que es finito. Los filósofos que piensan lo infinito completamente más allá de la comprensión humana a menudo no se dan cuenta de que sus argumentos, una vez concretado, también se aplican a muy grandes magnitudes finitas también. No podemos visualizar un número infinito de las cerezas en un árbol, pero tampoco podemos visualizar un mil millones. ¿Eso nos descalifica el uso de miles de millones de manera inteligible y precisa?

Para Descartes, la chiliogon experimento mental demostrado que tenemos al menos dos vías para el conocimiento: la imaginación (que yo he estado llamando la visualización) y la concepción.Podemos concebir la chiliogon, aunque no podemos imaginarlo. Una vez que se señala con un ejemplo concreto como el chiliogon, esto es innegable, y comenzamos a ver otros ejemplos en todas partes. Para Descartes, la distinción es más importante en la teología que en matemáticas. El mayor obstáculo para la verdadera fe, piensa, es el intento de imaginar a Dios cuando sólo podemos concebir a Dios.[Nota 7]

Permítanme volver a la teoría de conjuntos. El conjunto potencia de un conjunto dado es el conjunto de todos sus subconjuntos. Por ejemplo, si tengo un conjunto de tres marionetas, entonces su conjunto potencia es el conjunto de todos los subconjuntos de títeres que puedo hacer a partir de ese sistema de tres. No es el conjunto {Moe, Curly}, el conjunto {Moe, Larry}, y el conjunto {Curly, Larry}. También está el conjunto de Moe {} solo, {rizado} solo, y de Larry {} solo. Por razones técnicas, se dice que cada conjunto es un subconjunto de sí mismo, y el conjunto vacío es un subconjunto de todo conjunto. De ahí que tiramos en {Moe, Curly, Larry} y {} para arrancar. Esto hace ocho. Cualquier conjunto de tres objetos-cualquier conjunto con una cardinalidad de tres tendrá un conjunto potencia de cardinalidad ocho.

Podemos imaginar-a visualizar-muchos métodos para dibujar sistemáticamente todos los subconjuntos de un conjunto finito dado. Estos métodos serán extremadamente engorroso para los conjuntos de cardinalidad 1000, por ejemplo, pero cada método contiene un algoritmo que podemos visualizar ejercicio.

Contempla el conjunto de los números naturales. He aquí un conjunto de cardinalidad infinita. Lo que se establece la cardinalidad de su poder?

Vimos que los iguala tenían la misma cardinalidad que los naturales, a pesar de las apariencias en contrario. Podríamos cautela generalizar que todos los conjuntos infinitos tienen la misma cardinalidad, pero aquí nos encontramos con un contra-ejemplo. Cantor encontró una prueba elegante que el conjunto de alimentación de cualquier conjunto, finito o infinito, posee una cardinalidad mayor que el conjunto original; este importante resultado es simplemente llamado Teorema de Cantor.

Tiene una corta prueba de maravillosa belleza. La prueba es negativa, lo que significa que Cantor supone la negación de su conclusión y deriva una contradicción de ella. Desde el teorema funciona para cualquier conjunto arbitrario, vamos a aplicarlo al conjunto de los números naturales. Por lo tanto, para establecer la prueba negativa, vamos a suponer que el conjunto de los números naturales y su conjunto el poder tienen la misma cardinalidad. Si es así, entonces se pueden poner en correspondencia uno-a-uno. Supongamos que hemos hecho (a pesar de que no tenemos ni idea de cómo hacerlo). Ahora, por hipótesis, cada número natural se combina con exactamente un conjunto de números naturales, y viceversa . Algunos números se combinan con juegos que tienen lugar para contenerlos. Por ejemplo, 2 podría ser emparejado con el conjunto de los números pares. Llamemos a esos números felices , y todos los demás números triste .Ahora bien, el conjunto de todos los números tristes es un auténtico conjunto de los números naturales, y así se ha emparejado con algún número natural en nuestra lista infinita de correspondencias. Digamos que ha sido emparejado con x . Es x un número feliz o triste? En este punto, yo sé que usted comienza a conseguir un poco mareado. Eso es bueno, significa que estás siguiendo. Si x es triste, a continuación, ya que se ha emparejado con el conjunto de números tristes, se ha emparejado con el conjunto que lo incluye, pero eso significa que sería feliz. Pero si x es feliz, entonces sería un miembro del conjunto al que se ha emparejado, pero debido a que ha sido emparejado con el conjunto de números tristes, que significa que sería triste. Por lo tanto, si x es feliz, entonces x sería triste, y si x es triste, entonces x sería feliz. Nuestra suposición implícita esta contradicción, y así debe ser falsa. Pero negar nuestra suposición es concluir que el conjunto de los números naturales y su conjunto potencia tienen diferentes cardinalidades. (Véase el Teorema 4 en el Apéndice .)

En mi opinión hay dos grandes resultados contra-intuitivos en las matemáticas del infinito. La primera es que algunos conjuntos infinitos son auto-anidación. (Resulta que todos son, véaseTeorema 10 en el Apéndice .) La segunda es que algunos infinitos son más grandes-tienen una cardinalidad mayor que otros. (Ver Teoremas 3 , 4 , 5 , y 16 en el Apéndice .) Ahora que hemos visto pruebas de ambos resultados. El primero fue probado por uno-a-uno, el segundo por una técnica que se ha llamado diagonalización.

Teorema de Cantor es poco destacable si pensamos sólo en conjuntos finitos. Por supuesto para cada conjunto finito del conjunto potencia es más grande que el original. Sin embargo, para los conjuntos infinitos Teorema de Cantor es la proposición sorprendente que por cada cardinalidad infinita, hay una más grande, es decir, el conjunto potencia de la primera. Así que si la cardinalidad del conjunto de los números naturales es un número infinito, y la cardinalidad de su conjunto potencia es un número infinito distinta, más grande, y la cardinalidad de su conjunto potencia es un número infinito distinta, más grande, entonces es claro que lo que Cantor realmente se ha demostrado es que existe una secuencia infinita de números cardinales infinitos.

De este notable teorema y su notable prueba, dijo David Hilbert, "Esto me parece ser la flor más admirable del intelecto matemático y uno de los mayores logros de la actividad humana puramente racional."

Infinito como una idea positiva

Admitamos, pues, que la imaginación y la intuición son demasiado débiles para comprender el infinito. Todavía no se sigue que la concepción es lo suficientemente fuerte, o de hecho que cualquier facultad humana es lo suficientemente fuerte. Podríamos entender el infinito el camino filósofos cristianos medievales creían que entendíamos Dios: vía negativa , es decir, mediante la comprensión de lo que Dios, o el infinito, no lo es. Por ejemplo, yo sé lo que es como para una fila de árboles para llegar a su fin. Este es un ejemplo de mi concepto de finitud. Si yo digo que una fila infinita de árboles es igual que la fila finita ", excepto que nunca llega a su fin", entonces yo simplemente estoy negando mi concepto de finitud.

Descartes, de nuevo, pensaba que tenía una idea positiva del infinito-tres siglos antes de Cantor. Esto era importante para él porque pensaba que los recursos humanos finitos no podían bastar para darnos la idea de infinito, y por lo tanto que la idea sólo pudo haber sido dada a nosotros por un ser infinito, en una palabra, que era parte de otro de su argumentos a favor de la existencia de Dios.[Nota 8] Él tiene dos tesis: primero, que poseemos una idea positiva del infinito, y segundo, que no podríamos haber obtenido esta idea de nuestra propia experiencia finita o creatividad.Si ambos son verdaderos, esto sería importante para apenas la razón, pensó. Pero, ¿son ambas verdaderas?

En un momento voy a abordar la cuestión de si alguna vez experimentamos nada infinita. Sobre la cuestión de si sabemos positivamente infinito, o simplemente vía negativa , Descartes es muy corto. Argumenta que no iba a saber que él es finito e imperfecto a menos que tuviera ideas previas y positivas de la infinidad y perfección.[Nota 9] Hay muchas preguntas de seguimiento un escéptico gustaría preguntar en este punto, pero Descartes no se detienen para ellos.

Descartes hace una pausa para preguntarse a sí mismo la pregunta: ¿es posible que yo sea un ser infinito, no lo saben, y por lo tanto podría ser la fuente de mi idea de infinito?[Nota 10] A pesar de que esta es una pregunta terriblemente interesante e importante, también es muy corta con ella. Después de una breve mirada, él responde como Steve Martin en un sábado noche de rutina en vivo, " Naaaa! "

Etimológicamente, la palabra "infinito" es "no-finito". Esto apoya esa opinión de que tal vez la finitud es la idea principal aquí y nuestro concepto de infinito es la negación de nuestro concepto de finitud. Pero no podemos conseguir cualquier kilometraje de etimologías en esta investigación. Etimológicamente, la palabra "independiente" es "no dependiente", como si la ONU la libertad eran el concepto primario y derivado de la libertad. Pero la palabra "falta de libertad" es "no-libertad", como si la libertad fuera el concepto primario después de todo. Del mismo modo, la continuidad es uno de los ejemplos principales de infinito en matemáticas, pero se diferencia de otros infinitos como la serie número racional en ser "ininterrumpida" o "sin huecos". Esto sugiere que sólo conocemos el continuo vía negativa , negando la idea de las lagunas, pero etimológicamente el término "continuo" y "discontinuas" sugieren lo contrario, esa continuidad es el concepto principal aquí.

Más elocuente que la etimología es este ejercicio: definir la finitud. A menudo me enseño un curso en Earlham con una unidad sobre las matemáticas del infinito, y de vez en cuando voy a tirar "finitud" o "conjunto finito" a un concurso, como un término para definir. Invariablemente, los estudiantes pierden más puntos que tratan de definir con precisión lo que lo hacen en la definición de diversas cardinalidades infinitas.

Prueba este uno en casa, sin embargo. Definir la finitud con claridad y precisión. Hay maneras, incluso formas breves, pero por lo general no se presentan a las personas sin formación en matemáticas.

Infinito, por el contrario, por lo menos desde Cantor, es fácil de definir con claridad y precisión. Recuerde que Cantor demostró que algunos conjuntos infinitos son autoanidados, o se pueden poner en correspondencia uno-a-uno con al menos uno de sus subconjuntos propios. No es difícil probar que todos los conjuntos infinitos, de hecho, son auto-anidación. (Véase el Teorema 10en el Apéndice .) Y ya sabíamos que sólo los conjuntos infinitos son autoanidados, o que no hay conjuntos finitos tienen esta propiedad. En consecuencia, podemos definir los conjuntos infinitos como sólo los que trabajan por cuenta de anidación. En consecuencia, podemos definir conjuntos finitos como sólo los que no lo son.

Tenga en cuenta el giro ordenada de cuadros aquí. Conjuntos infinitos tienen la propiedad positiva de sí mismo anidación; conjuntos finitos no. finitud se define vía negativa .[Nota 11]

Charles Peirce en 1885, y Richard Dedekind en 1888, propuso definir el infinito mediante la auto-anidación.[Nota 12] De acuerdo con esta propuesta, que no sabemos que los conjuntos infinitos son autoanidados debido a algún tipo de prueba, lo sabemos porque los conjuntos infinitos se definen como aquellos que trabajan por cuenta de anidación. Sin embargo, podemos demostrar que la definición Peirce-Dedekind es equivalente a una más tradicional por la que conocemos infinidad lugar de finitud vía negativa ,[Nota 13] y para mí este hecho hace que la controversia acerca de la prioridad lógica o primacía meramente escolástico.

Lo que no es meramente escolástico es que ahora hemos reducido la cuestión de si tenemos una idea positiva del infinito a la cuestión de si tenemos una idea positiva de la auto-anidación.Sugiero que tenemos una idea, o puede, si se estudia la aritmética transfinito de Cantor. En mi propia experiencia, para comprender autoanidados en absoluto es entender positivamente. Estoy bastante seguro de que no lo entiendo vía negativa o como la negación de algo más como "la ausencia e imposibilidad de autoanidados". La ausencia e imposibilidad de autoanidados definitivamente lleva para mí el estado de una idea derivada, que nunca viene a la mente cuando pienso acerca de la auto-anidación menos hago un gran esfuerzo.[Nota 14]

Me doy cuenta de que mi razón se deriva de mi experiencia poniendo conjuntos en correspondencia uno-a-uno con subconjuntos propios de ellos mismos, y el estudio de las obras de otros que han hecho lo mismo, por lo tanto, se plantea la pregunta un poco. Estoy diciendo que si se estudia la matemática de los conjuntos infinitos, esta idea positiva vendrá, aunque quizás no de forma rápida o en una forma que podría comunicarse fácilmente a aquellos que no han llevado a cabo un estudio similar. Pero si no has estudiado Cantor esto se parece a la mano-agitar. Sé que los sectarios de toda laya dicen prácticamente lo mismo: Estudiar el libro de nuestro fundador de inspiración y usted también verá la luz, y hasta entonces callé con sus críticas.

Así que voy a tratar de hacerlo mejor. Creo que puedo demostrar que tenemos una idea positiva del infinito, en la forma de auto-anidación, e incluso que autoanidados podemos ser algo intuitivo o visualizable. Le debo la siguiente idea de Josiah Royce,[Nota 15] uno de los primeros filósofos de hacer uso de las matemáticas de Cantor. Imagine un mapa perfecto de Inglaterra, por ejemplo, en algún lugar de Londres. Por un mapa "perfecto" quiero decir una que muestra no sólo las ciudades y carreteras, sino también las casas, muebles, monedas detrás de los cojines del sofá, las bacterias, los quarks, de hecho, hasta la última partícula de materia. Ahora bien, si el mapa es perfecto en este sentido y si se encuentra en Londres, entonces en algún lugar en el mapa, habrá una imagen perfecta del propio mapa. Una vez más, por la "imagen perfecta" me refiero a que cada detalle del mapa exterior aparecerá en el mapa interno. Pero si esto es cierto, entonces, como una sala de espejos el mapa en el mapa también contiene una imagen perfecta de la hoja, y así sucesivamente hasta el infinito .

Para usar el término de Royce, el mapa estará auto-representación de . Por supuesto que no podemos realmente hacer tal mapa, y es útil pensar en las razones. Uno de los obstáculos en nuestro camino es el hecho de que los píxeles debemos usar son más grandes que las partículas más pequeñas de la materia que queremos representar. Puede parecer que este hecho no nos impidió hacer un mapa perfecto de Inglaterra, pero sólo requieren que el mapa sea más grande que Inglaterra. Pero si el mapa fuese más grande que Inglaterra, entonces podría no estar situado en el interior de Inglaterra, y por lo tanto no podía ser auto-que representa o "perfecto" en nuestro sentido.

Otro de los obstáculos en nuestro camino es que sólo podemos organizar un número finito de píxeles para hacer una foto. Dicho mapa 'finitista' podría ser auto-representación de sólo de manera imperfecta, si no representaba Londres como un mero punto, representaría el mapa dentro de Londres como un simple punto, o el mapa en el mapa dentro de Londres. Con sólo un número finito de píxeles que se utilizan en la composición de nuestra foto, inevitablemente quedará sin píxeles antes de que nos quedemos sin información. Esto no sería un problema con un ordinario o no auto-representando-mapa. Si tuviéramos más píxeles a nuestra disposición, ya que hay quarks en Inglaterra, entonces podríamos (en principio) disponer lo necesario para hacer un mapa perfecto de Inglaterra hasta el quark nivel-incluso si el mapa resultante fuera más grande que Inglaterra. Pero una vez que el mapa en sí se coloca dentro de Inglaterra y se convierte en uno de los símbolos para representar sobre el mapa, a continuación, para ser perfecto el mapa tendría que ser perfectamente auto-representación y, por lo tanto infinitamente anidada, de pronto el número de píxeles necesarios aumentos de finito infinita.

Ahora lo que si podemos hacer un cuadro con los puntos sin dimensiones como píxeles, y el uso de un número infinito de ellos? Es extraño y maravilloso que Leibniz postula sólo estas dos condiciones en la Monadología de 1714. En este trabajo se describe una nueva teoría atómica en la que los átomos convencionales se sustituyen por las mónadas ", los verdaderos átomos de la naturaleza".[Nota 16] Las mónadas son diferentes de átomos convencionales en muchas maneras, pero la más importante para nuestros propósitos es que tienen tamaño cero. Son puntos sin dimensiones. Y por supuesto, hay un número infinito de ellos. Esto permite que un conjunto de mónadas para representar Inglaterra perfectamente, incluso si hay un número infinito de partículas más pequeñas que los quarks que tendrían que aparecer en el mapa. También quiere decir que en el mundo de Leibniz es físicamente posible por alguna parte de la materia para lograr la auto-representación perfecta, la forma en Inglaterra hace en el escenario de Royce. Podría contener dentro de sí misma una representación perfecta de sí mismo, y por lo tanto una serie infinita de microcosmos anidadas. Pero podría hacer mejor aún: podría ser una representación perfecta del universo como un todo, incluyendo a sí misma como una de las partes, y por lo tanto contiene un número infinito de representaciones perfectas anidados de sí mismo y del universo. Leibniz pensó que esto no sólo era posible, sino que cada trozo de materia de todo el tamaño es un perfecto espejo del universo, de sí mismo, y de todos los demás espejos perfectos, precisamente de esta manera.[Nota 17]

Usted no tiene que estar de acuerdo con Leibniz que el mundo está realmente configurado de este modo-si la verdad es belleza, y la belleza de la verdad, entonces no hay mucho que decir a favor de la idea. Usted sólo tiene que admitir que ya comprender su teoría, o de Royce.[Nota 18] Si lo hace, entonces usted comprender la esencia de la auto-anidación, que es la esencia de cardinalidad infinita. Ya no es necesario acercarse a ella vía negativa .[Nota 19]

Cómo podemos experimentar nada infinita?

Así que estamos de acuerdo con Descartes que poseemos una idea positiva del infinito. Si Descartes tiene razón en su segunda tesis de que no podríamos haber obtenido la idea de nuestra experiencia finita y recursos creativos, entonces sentimos la presión que sentía a postular un ser infinito. Así que vamos a enfrentar directamente la cuestión de si experimentamos nada infinita.

Las palabras "infinitos" y "infinity" se utilizan a menudo con holgura en la calle Inglés para sugerir que hacemos experiencia infinitos. Por ejemplo, podemos decir que una película es infinitamente inteligente, un arrecife de coral tiene una infinita variedad de vida silvestre, el cónyuge tiene una paciencia infinita, o que un limpiador de tapicería de vinilo tiene una infinidad de aplicaciones. (Es por eso que se llama un producto milagroso.) Antes se automatizaron las cámaras, tenían un ajuste de distancia focal llamado "infinito", presumiblemente para fotografiar la flecha Lucrecio disparó en el borde del espacio. En estos casos se habla vagamente, y el "infinito" significa muchísimo o muy grande, tal vez indefinidamente muchos o grande.[Nota 20] En un día claro del cielo puede parecer infinitamente profunda, pero no deja de ser un Wild Blue Yonder -an indefinidamente profunda "ahí fuera".[Nota 21]

¿Alguna vez experimentamos algo que es literalmente infinito? Si el tiempo, el espacio o la materia son infinitamente divisibles, luego de experimentar un pedazo finito de cualquiera de ellas es la experiencia de su infinidad de partes. Una vez dicho esto, me gustaría poner a un lado la cuestión de si el tiempo, el espacio o la materia realmente son infinitamente divisibles. No sólo es muy espinoso, es necesario responder a la pregunta sobre la mesa. Porque incluso si el tiempo, el espacio y la materia son infinitamente divisibles, experimentamos sus infinitas partes agrupados en trozos la mayoría de cuyas partes son imperceptibles para nosotros. Cuando una película corre a 24 cuadros por segundo, parece continua, sus marcos separados imperceptible para nosotros.Ciertamente Experimentamos 24 troceada marcos, pero no el 24-ness, o incluso la finitud, del chunking. Una vez que el ojo se deja engañar para que vea la continuidad, el número de fotogramas por segundo podría aumentar hasta un billón, o para un número infinito, y no notaría la diferencia.[Nota 22] Este es el sentido en el que pudiéramos experimentar algo infinito sin experimentar su infinitud. De manera similar, si el tiempo, el espacio, y la materia eran continuas y divisible hasta el infinito, entonces el espectáculo de la vida sería como una carrera de película en un (uncountably) número infinito de imágenes por segundo; pero al mismo tiempo que experimentaríamos extensiones, duraciones y los objetos con infinitamente muchas partes, pero no nos experimentar la infinitud de las partes.

A medida que la película muestra, lo mismo es cierto de finito divisibilidad. Si mi coche tiene (digamos) 5.000 piezas, que experimentarlo como un objeto con muchos miembros, pero no la experiencia de la 5000-ness de las partes.

Movimiento parece introducir nuevos temas. Si abro un par de tijeras y los cierro otra vez, luego las hojas producen un número infinito de diferentes ángulos, y en cierto sentido los vi a todos.Pero cuando pensamos en ello nos damos cuenta de la que se trata de los mismos problemas de nuevo. En primer lugar, un número infinito de ángulos distintos se produce sólo si el tiempo y el espacio son ambas continuas, y si cualquiera de ellos se compone de quanta irreducible, entonces se produce sólo un número finito de ángulos. En segundo lugar, incluso si el tiempo y el espacio son continuas, y los ángulos de infinito, no experimentamos la infinitud de los ángulos. Esto se demuestra por el hecho de que no podemos decir a partir del experimento si el tiempo y el espacio son continuos, es decir, no podemos decir si vimos un enorme número finito o infinito de ángulos simplemente distintas.

Del mismo modo, si el espacio es continuo, y luego caminar cualquier distancia en absoluto es recorrer una infinidad de unidades espaciales. O si el tiempo es continuo, entonces es para recorrer una infinidad de unidades temporales. Pero incluso si es así, que sólo experimentamos el metro fragmentada, finito atravesamos, en la segunda finito fragmentada, no la infinitud de puntos sin dimensiones en su interior.[Nota 23]

Cuando Descartes dijo que experimentamos nada infinita, creo que quería decir que no vemos nada infinito en cualquier escena, y nada infinita en la vida de las escenas. Pero, ¿cómo sabemos esto? Porque sólo se vive un tiempo finito? En realidad, depende de cómo se cuente. Si se cuenta en años, meses o días o segundos, entonces sí, la duración de la vida se extiende por sólo un número finito de esas unidades. Pero si dividimos el tiempo en puntos sin dimensiones, como puntos en una línea de tiempo, entonces vivimos un número infinito de ellos-y nosotros seguiríamos haciéndolo incluso si viviéramos por tan solo un segundo.

Lo mismo ocurre en el espacio dentro de una escena determinada. Si una escena es finito depende de cómo nos dividimos. No Panaroma abarca una infinidad de millas o metros o nanómetros.Pero cada escena, incluso una cabeza de alfiler, cubre un número infinito de puntos sin dimensiones del espacio. Hamlet estaba pensando en otra cosa en ese momento, pero hizo muy bien este punto cuando dijo: "Oh Dios, yo podría estar delimitado en pocas palabras y me considero el rey del espacio infinito ...."[Nota 24]

Sin embargo, mientras que los puntos espaciales serían infinitas, nuestra experiencia nunca note o no reconoce su infinitud.

Pasado el tiempo podría ser infinita. Pero incluso si lo es, vivir en el presente sería como pisar el agua a través de una profundidad infinita. Nosotros no experimentar la infinitud, excepto en la forma de la flotabilidad-que podría, por supuesto, tener una explicación finita. El tiempo en el que existimos repose sobre, y constituirán una sola, un tiempo antes de infinito, pero nunca se sabe si esto es así simplemente por nuestra experiencia del tiempo presente.

La realización de un número infinito de tareas en un tiempo finito siempre ha sido el sueño de un matemático. Si pudiera contar un número en la mitad de un segundo, el siguiente número en el siguiente cuarto de segundo, el siguiente número en el siguiente octavo de segundo, y así sucesivamente, entonces yo podría contar un número infinito de números en un segundo plano. Hasta ahora nadie ha logrado sacar esto adelante. Sin embargo, un matemático en los Laboratorios Bell, llamado Peter Schor, se ha acercado al mostrar que el tipo de paralelismo posible en un ordenador cuántico es indefinidamente grande si no infinita.[Nota 25] vigente Podríamos peform un número infinito de cálculos simultáneos utilizando sólo hardware finito, lo que nos permite calcular las funciones de otro modo insolubles. Schor demostró que la indeterminación cuántica hace que este tipo de paralelismo matemáticamente posible, pero en particular, que todavía no se ha realizado en una máquina física.

Una señal analógica en lugar de una señal digital contiene una cantidad infinita de información. Pero cuando hacemos una grabación de audio de un solo golpe de teclado de piano, la naturaleza digital de las moléculas de aire que lleva las olas, y la naturaleza digital del las moléculas de la capa magnética de la cinta, significa que podemos conservar y enviar a la oreja sólo un subconjunto finito de la información que el golpe de teclado se habría registrado en un medio continuo.[Nota 26] E incluso si pudiéramos escuchar la nota reproducida después de haber sido perfectamente grabada en un medio continuo, estaríamos en el mejor de oír una señal analógica con una cantidad infinita de información en ella, no tendríamos experimentar la infinitud de esa información.

Esta es precisamente la razón por Leibniz postula un medio continuo (un plenum de mónadas) en lugar de aire molecular discreta para mediar influencias causales, como la propagación de las ondas sonoras.[Nota 27] Leibniz cree somos bombardeados continuamente por una cantidad infinita de información del universo en general, y que se registra toda ella, aunque no toda ella conscientemente. Esta es su famosa doctrina de la percepción minutos.[Nota 28] Sin entrar en los detalles aquí, al menos podemos ver que descaradamente implica que hacemos experiencia de algo infinito, de hecho, lo hacemos continuamente.

Hasta que llegamos a Leibniz, había un patrón en estos ejemplos. Hay varias formas en las que los objetos o teatros de nuestra experiencia puede ser infinita. Pero no podemos decir de nuestra experiencia si son o no son infinitos, y esto significa por lo menos que no experimentamos su infinitud. Postulando percepciones minutos, Leibniz postula la experiencia de influencias infinitamente tenues. Admite, incluso insiste en que no todas estas experiencias son conscientes,[Nota 29] , pero igualmente insiste en que sin ellos no existirían las experiencias conscientes, simplemente no existirían segmentos finitos sin sus puntos sin dimensiones constitutivas.

La elegancia es la principal razón para creer la teoría de Leibniz. Después de postular una infinidad de mónadas infinitesimales a priori , Leibniz nos sorprende haciendo la teoría extraordinariamente sutil y hábil para explicar el mundo y la experiencia. Si tiene razón Kant, sin embargo, deberíamos dudar en afirmar o negar infinitos a priori .

En el diagnóstico de Kant, Leibniz fue víctima de una tentación natural, incluso racional. Es muy tentador pensar que el tiempo, el espacio y la materia realmente son, en sí mismos, además de las limitaciones en el conocimiento humano, ya sea infinitamente divisible o finitamente divisible. Puede que no sepamos cuál de ellos lo son, y que puede que no percibimos su infinitud interna si son infinitamente divisibles, pero que en realidad hay que ser de una manera u otra. Kant sostenía que esto es un error, de hecho, esta hipótesis conduce a un tipo especial de contradicción que él llamó una antinomia.[Nota 30] También conduce a la contradicción o antinomia asumir que el tiempo pasado es realmente bien infinito o finito, o que el espacio es muy bien finito o infinito.[Nota 31] Hay dos razones, brevemente, por qué estos supuestos llevan a la contradicción: en primer lugar, en que tratan al mundo como una cosa en sí misma, más que como un fenómeno en parte constituido por el acto de conocer que, en segundo lugar, que son a priori afirmaciones, basadas en pruebas empíricas, y los opuestos a priori unas afirmaciones son igualmente convincente a la razón. Kant concluye que para evitar estas contradicciones, debemos considerar la extensión de espacio, la profundidad de los tiempos pasados, y la divisibilidad del tiempo, el espacio y la materia como indeterminado. Los conocemos por lo que hemos investigado, y mañana podremos saber más. Tenemos que hablar del mundo (tiempo, espacio, materia) como que crece en extensión, duración y divisibilidad encontremos que sea más grande, más viejo, o más fina, para decir que el mundo se compone de algo en sí mismo que fija su tamaño, edad, y las partículas finales es una exigencia de la razón, pero en última instancia contradictoria. Este es un lugar donde la razón debe ser dominado, disciplinado, o sujeto a la crítica.

Lo que se desprende de todo esto, para Kant, es la doctrina que suena extraña que en su extensión espacial, duración temporal y material de la divisibilidad, el mundo es ni finito ni infinito .[Nota 32]

En cuanto a mí, me parece que me atrae la idea de que el tiempo y el espacio son continuos y, al mismo tiempo que sospecho que la cuestión de si el tiempo y el espacio son continuas no se puede resolver de forma empírica. Cuando me inclino a elevarse en el cielo de la conjetura sin restricciones, me siento atraído por la elegancia de la teoría de Leibniz de pequeñas percepciones, que sigue sin duda desde el punto de vista de que el tiempo, el espacio y la materia son continuas, y cuando me inclino para disciplinar a mis conjeturas y mantenerlos dentro de los límites de la verificación, hago caso al consejo de Kant. Estoy más cerca de una resolución que esto.

Así que si tenemos una idea positiva del infinito, ¿cómo podemos obtener esta idea? Hacemos esta pregunta más difícil de responder, no más fácil, si decimos que el mundo no es ni finito ni infinito, o que si es infinito, entonces no experimentamos su infinitud. Mi decepcionante respuesta de peatones es que no podemos tener la idea positiva de la infinitud hasta estudiamos autoanidados, y durante ese estudio, tenemos la idea positiva de la infinitud del ejercicio de poner un conjunto infinito en correspondencia uno-a-uno con uno de sus subconjuntos propios. Este ejercicio, debo agregar, es una experiencia finita. Tomamos los primeros números pares, 2, 4, 6 ..., por ejemplo, y un par de ellos fuera en contra de los primeros números naturales, 1, 2, 3 .... Sabemos que cada secuencia es gobernada por reglas, porque sabemos exactamente cómo generar el siguiente miembro de cada uno. Por lo tanto, sabemos que el n º miembro de una secuencia tendrá un socio en el n º miembro de la otra, no importa cuán grande n es, o no importa lo lejos que nos tomamos las secuencias. Esta es la forma finitistic poner conjuntos infinitos en correspondencia uno-a-uno. Pero si un conjunto es el subconjunto propio del otro, entonces hemos establecido autoanidados, que es imposible que los conjuntos finitos. Hasta que realizamos este ejercicio, y pensar en lo que significa, nuestra noción de lo infinito bien puede ser nada más que la negación de la idea de la finitud.

Mientras que no experimentamos la infinitud del tiempo, el espacio o la materia, aunque sean una extensión infinita divisibilidad o, ni qué experimentamos grandes magnitudes finitas. He visto estimaciones del número de partículas subatómicas en el universo que va de 10 ⁶⁵ a 10 ⁸⁵ . Pero para ser conservador, vamos a decir que no hay nada en el universo, incluyendo el universo mismo, cuenta con más de 10 ¹⁰⁰ piezas. El nombre de 10 ¹⁰⁰ , o un 1 seguido de 100 ceros, es un googol. Así que incluso si hay más de googol de partículas finales, es justo decir que no exista recogida de objetos físicos que tenemos alguna vez ha experimentado-granos de arena en una playa, copos de nieve en una tormenta, las estrellas en el cielo-tiene más de un googol de los miembros.[Nota 33] Si esto es cierto, entonces no obtuvimos nuestra idea de un googol de la experiencia. Pero ahí no se sigue que debemos postular una muy grande finito ser-Googolzilla a ser la fuente de nuestra idea. Sabemos exactamente lo que un googol es como un concepto, incluso si nunca hemos experimentado manifiesta en una sensación o imagen. Podemos enumerar los millones de números naturales que son sus vecinos más cercanos, podemos hacer aritmética con él, y sabemos infaliblemente si un número natural arbitrario es mayor o menor que ella. Si se nos permite exportar la lección de esto al infinito, entonces podemos sugerir que, si bien no tenemos experiencia de la infinitud de nada, tenemos un perfecto concepto de infinito, y que la última explicación de este hecho radica no tanto en nada especial sobre el infinito como en la distinción entre los conceptos y las imágenes.

La sublimidad del Infinito

Estoy profundamente agradecido de que el entendimiento infinito no priva de su majestad. Si el infinito eran sólo interesante por las paradojas que genera, y los problemas académicos de absorción que plantea la necesidad de resolverlos, entonces no serían estudiados más que auto-referencia, un motor de peatones prolífico pero más de la paradoja. Pero el infinito también es majestuoso, se podría decir infinitamente majestuosa.

Una hora bajo un cielo claro de la noche, mirando hacia arriba, da una idea de esto. La profundidad del espacio es un Wild Blue Yonder, no es un verdadero, infinito percibido.[Nota 34] Pero que inspira la contemplación de la verdad infinita, y el más mínimo roce con la idea de que es impresionante, vigorizante, la ampliación, la elevación, calmante, sino también la agitación, seductora, pero también distante y magníficamente indiferente. Una de las razones para estudiar matemáticas es que usted puede obtener estos sentimientos, a plena luz del día o en el interior.

Hay muchas maneras de ser preciso acerca de estos sentimientos, y muchas formas de alabar y honrar el infinito. Me gustaría usar el término de Kant: es sublime .[Nota 35]

Sólo por comparación, Cantor tenía un conjunto diferente de los sentimientos numinosas sobre el infinito. No sólo era un gran matemático, pero un hombre muy religioso y por algunas de las normas de un místico. Sin embargo, su misticismo con el apoyo de sus matemáticas, que para él era al menos tan fuerte argumento para las matemáticas como para el misticismo.[Nota 36]Además de reclamar la inspiración divina por su trabajo, que no sabemos exactamente qué puntos de vista espirituales que vinculó con sus matemáticas, pero sus teoremas[Nota 37] dar soporte a lo siguiente. Se mide en metros, somos pequeñas motas en comparación con el universo en general. Pero medido en puntos sin dimensiones, somos tan grandes como el universo: un subconjunto propio, pero con la misma cardinalidad que el todo. Del mismo modo, medido en metros, es posible que en un rincón del universo. Pero medido en puntos, la distancia es igualmente grande en todas las direcciones, si el universo es finito o infinito, que nos pone en el centro, donde quiera que estemos. Medido en día, nuestras vidas son insignificantes hipo en la expansión del tiempo pasado y futuro. Pero medido en puntos de tiempo, nuestras vidas son tan largos como universo es viejo. Somos tan pequeños como parecemos, pero a la vez, por una medida más razonable, co-extensiva con la totalidad del ser en el espacio y el tiempo. Esto es realmente (como Blake decía) "[p] ara ver el mundo en un grano de arena y un cielo en una flor silvestre, sostener el infinito en la palma de su mano y la eternidad en una hora."[Nota 38]

La teoría de lo sublime de Kant no se apoya en estos teoremas cantoriana. Su tesis principal para nuestros propósitos es que, " Eso es sublime en comparación con la cual todo lo demás es pequeño. "[Nota 39] Claramente lo infinitamente grande es un ajuste perfecto para esta definición.[Nota 40]

Lo sublime no es una noción fácil, y la mejor manera para que sea vía negativa , mostrando cómo se diferencia de algo familiar, lo bello. Cumplir únicamente a las diferencias que tengan más en la sublimidad de lo infinito, Kant dice que los hermosos preocupaciones un objeto acotado mientras el objeto sublime puede ser ilimitado; lo bello es compatible con los encantos mientras lo sublime no es, la hermosa atrae a la mente mientras lo sublime tanto atrae y repele a ella, y la hermosa "Parece como fue predeterminado por nuestra capacidad de juicio", mientras que lo sublime es "inconmensurable con nuestro poder de exposición, y como si fuera violenta a nuestra imaginación, y sin embargo, juzgar todo el más sublime para que ".[Nota 41]

Lo infinitamente grande cumple estos criterios casi por diseño. Lo infinitamente grande es ilimitada, inconmensurable con nuestros poderes de la imaginación, y para enganchar y nos satisface que no necesita más encanto que el agua de manantial necesita azúcar. Es tan grande que algunos de sus subconjuntos propios son igual de grandes, una propiedad compartida por ninguna magnitud finita.

¿Qué provoca el sentimiento de lo sublime es más inmensidad. Inmensidad a su vez nos hace sentir una tensión entre dos aspectos de nosotros mismos. Por un lado nos hace sentir la insuficiencia de nuestros sentidos y la imaginación. Por otro nos hace sentir que hay algo más para nosotros que los sentidos y la imaginación, cuya idoneidad no puede ser puesta en duda por la inmensidad, no importa lo espectacular o infinito. Esta segunda dimensión de nosotros mismos no es la concepción, pero la vocación moral. Aunque físicamente la inmensidad nos empequeñece en la insignificancia, este hecho pone de manifiesto que dentro de nosotros que no se empequeñeció. Mientras estamos físicamente seguro al ver la inmensidad sublime, Kant sostiene, que nos ayuda a conocer nuestra dignidad moral y la invulnerabilidad no físico disminuido, incluso acentuado, por nuestro reconocimiento por la fuerza de nuestra pequeñez física y la fragilidad.[Nota 42]

Conclusión

Bien entendida, la idea de un infinito completado ya no es un problema en las matemáticas o la filosofía. Es perfectamente comprensible y coherente. Tal vez no se puede imaginar, pero puede ser concebida, no está reservada para la omnisciencia infinito, pero cognoscible por la humanidad finita, ya que puede contradecir la intuición, pero no se contradice a sí misma. Para concebir de manera adecuada no necesitamos enumerar o visualizar una infinidad de objetos, sino simplemente entender autoanidados. Tenemos una idea real y positiva de la misma, o al menos con la formación que podemos tener uno, no estamos limitados a la idea de la finitud y su negación. De hecho, es por lo menos tan plausible pensar que entendemos la finitud como la negación de la infinitud como al revés. El mundo de lo infinito no está impedida a la exploración por el equivalente de los monstruos del mar y de las tempestades, sino que se ve impedida por el equivalente de la cinetosis. El mundo de lo infinito ya está abierto a la exploración, pero se embarque debemos olvidar nuestras intuiciones finitistas que inculcan el miedo y la confusión haciendo algunos resultados consistentes y demostrables sobre el infinito, literalmente, contra-intuitivo. Exploración en sí creará un conjunto alternativo de intuiciones que nos hacen más susceptibles a la sensación de que Kant llama lo sublime. Conocido ya confirmará conclusión de Spinoza que el secreto de la alegría es amar algo infinito.[Nota 43]

Mark Twain llegó a las matemáticas del amor como un adulto y siempre lamentó que él no tenía una base más sólida para ello. Una vez dijo que si pudiera vivir para siempre, que pasaría 8.000 años estudiando matemáticas. Nunca he sido capaz de decidir si esta observación demuestra su ingenio o su base débil en matemáticas. Si pudiera vivir para siempre , entonces podría pasar infinitamente muchos años estudiando matemáticas, y tiene un número infinito de años sobrantes para otras actividades. Esa es la manera que me gustaría hacerlo.

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Notas

. 1 Locke argumentó para este veredicto de la intuición de este modo: "[S] i el hombre tenía una positiva idea de infinito ... él podría agregar dos Infinitos juntos, más aún, hacer una Infinito infinitamente más grande que otro, absurdos demasiado bruto para ser refutada. " Locke, Ensayo sobre el entendimiento humano (1690), en p. 222. [Resumen]

2. Galileo, Diálogos sobre dos nuevas ciencias (1638) en el 31-33. [Reanudar]

3. Aquí me refiero a los clásicos matemáticos objeciones. En este trabajo me puse a un lado las objeciones teológicas tales como que los infinitos completos contradicen la doctrina de que Dios es infinito y único. [Resumen]

4. Véase Moore, El Infinito (1990), en p. 48. Muchos eruditos antiguos y medievales, sin embargo, aceptaron la opinión de que los conjuntos infinitos permiten autoanidados; Kleene, Lógica Matemática (1967) p. 176.n.121 cita varios autores que apuntan a Plutarco, en el primer siglo de la era común, Proclo en el quinto, Adam de Balsham en el duodécimo, y Robert Holkot en el XIV. [Resumen]

5. Cuando una teoría de la menor virtud se opone a la intuición, el remedio no es tan clara. Por ejemplo, cuando Zeno argumentó a través de sus cuatro paradojas que el movimiento y el cambio eran imposibles, y por lo tanto ilusoria, sus conclusiones se opusieron a las intuiciones de todos acerca de la realidad del movimiento y el cambio. En este caso, no está claro si debemos confiar en la lógica de Zenón más de nuestros intutions, o viceversa . [Resumen]

6. Descartes, Meditaciones (1641) págs 126-127 (Meditación VI). [Resumen]

7. Descartes, Discurso del método (1637), pág. 28 (Cuarta Discurso), ver también sus Meditaciones . (1641) en las páginas 64, 69, 71 y 73 [Resumen]

8. Descartes, Meditaciones (1641), páginas 101-102 (Meditación III). Tenga en cuenta que este argumento podría funcionar igual de bien con grandes magnitudes finitas. [Resumen]

9. Descartes, Meditaciones (1641), en p. 102 (Meditación III). [Resumen]

10. Descartes, Discurso del método (1637), en p. 26 (Discurso IV) y Meditaciones (1641), en p. 103. [Resumen]

. 11 Descartes, quien pensaba que teníamos un solamente un pensamiento negativo positivo y no de lo infinito, llega a la misma conclusión: "[M] y la noción de lo infinito es de alguna manera antes de la de los finitos ...." Descartes, Meditaciones (1641), en p. 102 (Meditación III). [Resumen]

12. Peirce, Collected Papers (1885), páginas 210 a 249, 360, y Dedekind, ensayos sobre la teoría de los números (1888), en p. 109 (teorema 160). Bernard Bolzano puede haber sido el primero en sugerir esta idea en su Paradoxien des Unendlichen , Sección 20, publicado póstumamente en 1851. [Resumen]

13. Para una prueba de que la definición de Peirce-Dedekind ("reflexiva") de lo infinito es equivalente a una más tradicional ("inductivo") uno, ver Fraenkel, Set Theory Abstract (1953), páginas 41-42. [Reanudar ]

14. Uno podría argumentar que "la ausencia e imposibilidad de autoanidados" es simplemente una manera negativa de la descripción de principio positivo de Euclides de que el todo es siempre mayor que sus partes (propios), y que, por tanto, la idea de la auto-anidación es equivalente a la negación de la idea euclidiana positivo. Si bien esto es cierto, no es menos cierto que la auto-anidación, al menos después de Cantor, ha adquirido una vida positiva de su propia y puede ser pensado en sus propios términos, directamente, y no como el mero hecho de que la lógica euclidiana de piezas y conjuntos. [Resumen]

15. Véase Royce, "The One, The Many, y el Infinito" (1899), esp. pp 503-507. [Resumen]

16. Leibniz, Monadología (1.714), en el § 3. Para especulaciones físicas de Cantor sobre temas similares, incluyendo sus puntos de vista sobre los medios de mónadas (que eran infinitos, pero no continua) y el éter-mónadas (que eran infinito y continuo), véase la traducción de Rudy Rucker de Cantor en Rucker, "Una de las especulaciones de George Cantor en infinitos físicas "(1978).Vistas de Cantor se resumen brevemente en Rucker, del infinito y de la Mente (1.982), en p. 90. [Reanudar]

17. Leibniz, Discurso de metafísica (1686), en § § 8-9, 14, y Monadología (1714), en § § 62-68. [Resumen]

18. Leibniz no está solo en argumentar a favor de la verdad de esta visión, en oposición a su mera posibilidad o la coherencia. Royce, "El Uno, los muchos, y el Infinito" (1899), páginas 538-554 sostiene que todo el "reino de la realidad" es un sistema de auto-representación de, al igual que Inglaterra concebido como la casa y el tema de su propio mapa perfecto. [Resumen]

19. La idea positiva de autoanidados no sólo nos libera de lo indirecto y lo incompleto de conocer infinidad vía negativa , sino como un bono responde con decisión una línea de las objeciones a la idea de un infinito completado. Esta línea de objeciones afirma que la idea misma de una infinita completado es inalcanzable por los seres humanos finitos, o incoherente y contradictorio, o sin sentido. La idea positiva del infinito, si existe y que la poseen, y su consistencia, están de pie refutaciones a esta línea de pensamiento. [Resumen]

20. Los ejemplos muestran que a veces queremos términos de amplitud indefinida en lugar de infinitud. Es por eso que la expresión india americana que una promesa sostendrá mientras la hierba crece y los ríos fluyen es más preciso y creíble que una declaración para la eternidad, aunque todavía es una exageración. [Resumen]

21. Cuando Kant habla de la persona humana como un ser de "valor infinito", es este otro uso figurado o exagerada de la palabra "infinito"? Una herramienta puede ser utilizada como un medio para un fin, y nada más, sin violar su dignidad, la razón es que una herramienta sólo tiene "pena finita". Como Kant solía decir, una herramienta tiene un precio, mientras que una persona tiene una dignidad. Kant, Fundamentos (1785), pág. 53. Si medimos el "valor" de estas entidades con una unidad de tamaño finito, como el dólar, la herramienta tiene un valor finito. Pero no está claro si la persona tiene un valor infinito, o si la persona no tiene medida la forma en que ella no tiene precio. Decir que una persona vale un número infinito de dólares puede ser tanto un error de categoría como para decir que vale un número finito de dólares, y tan lejos de captar el significado de Kant. Es por eso que yo no uso la persona humana como un ejemplo de algo que experimentamos que es literalmente infinito. [Resumen]

22. A los 18 fotogramas por segundo, las películas mudas de edad se ven sacudidas. El sacudidas nos alerta sobre el hecho de que estamos viendo una rápida sucesión de fotogramas, no una imagen en continuo cambio. Pero nuestra capacidad de discernir intervalos de segundos 1/18th de tiempo, y ver los tirones, no es lo mismo que la capacidad de discernir que estamos viendo 18, en lugar de 17 o 19, cuadros por segundo. Es, sin embargo, suficiente para decirnos que estamos experimentando un número finito de fotogramas por segundo. Pero una vez que la velocidad aumenta hasta el punto en que desaparece el sacudidas, y la aparición de la continuidad se establece, no podemos saber si el ritmo subyacente de marcos es infinito o finito, pero enorme.[Resumen]

23. Varias de las paradojas de Zenón de movimiento se resuelven mejor mediante el uso de la noción común de cálculo que podemos recorrer un número infinito de unidades espaciales en un tiempo finito. Tenga en cuenta, sin embargo, que aquellos que se oponen al uso de los infinitos completos no pueden responder a Zenón de esta manera, ya que es para atraer a una infinitud completa de unidades espaciales atravesado con éxito. [Resumen]

24. Shakespeare, Hamlet , acto II, escena II, línea 258. La cita continúa: ". ... Si no fuera porque tengo malos sueños" [Resumen]

. 25 Peter Schor, "Algoritmos para la Computación Cuántica: logaritmo discreto y Factoring", (1995). Ver también Seth Lloyd, "ordenadores cuánticos mecánicos," (1995). [Resumen]

26. Una razón inesperada qué esto es importante es que si las entradas cerebrales potenciales a través de los sentidos sólo son finitos, entonces la inteligencia artificial es definitivamente posible.Es decir, podríamos en principio crear una función computable que duplicaba el funcionamiento del cerebro a la perfección. Si la IA es posible cuando las entradas potenciales cerebrales son infinitos sigue siendo inestable. Ver Copeland, Inteligencia Artificial (1993), pp 233-238. [Resumen]

27. Leibniz, Monadología (1714), en § § 8, 61-62. [Resumen]

28. Leibniz, Nuevo Tratado (1790), páginas 53-58. [Resumen]

29. A mi juicio, Leibniz es el primer pensador postular experiencia inconsciente. Es importante, entonces, que su motivación teórica no es explicar la memoria, sueño, o neurosis, pero las infinitamente pequeñas influencias sensoriales que constituyen toda sensación y de lo infinitamente gran número de experiencias sensoriales. [Resumen]

30. Kant, Crítica de la razón pura (1781), a B.462. [Reanudar]

31. Kant, Crítica de la razón pura (1781), a B.454. [Reanudar]

32. Kant, Crítica de la razón pura (1781), a B.533. El mundo sería ya sea finito o infinito si se tratara de una cosa en sí, B.532.

Aquí está una manera de parafrasear la visión de Kant aquí. No hay forma empírica de comprobar si el tiempo y el espacio son infinitos, o si el tiempo, el espacio o la materia son infinitamente divisibles. Así que por razones empíricas, podemos decir ni que son infinitos ni que son finitos. Para tratar de resolver estas cuestiones en el a priori razones es precisamente lo que lleva a la contradicción. De ahí que el a priori razones, así que podemos decir que no son infinitos ni que son finitos. [Resumen]

33. Incluso si esto no es cierto de un googol, es cierto, de 10 ^googol . El punto es que hay alguna gran número finito que es mayor que la cardinalidad de cualquier colección que he visto.[Resumen]

34. Kant, Crítica del juicio (1790), en p. 124: "[L] a infinito ... de sensibilidad es un abismo." Cf. pp 115, 130. [Resumen]

35. En esta sección voy a hablar sólo de la infinitamente grande . [Resumen]

36. Véase Dauben, Georg Cantor (1979), pp 288-291, 294-297. [Resumen]

37. Véase Teoremas 12 , 13 , 18 , 20 , 21 , 23 , y 24 en el Apéndice . [Resumen]

38. William Blake, augurios de la inocencia , líneas 1-4, en Vikingo Portable Blake (1946), pág. 150. También ver a su matrimonio del cielo y el infierno : "Si se limpiaran las puertas de la percepción cada cosa aparecería al hombre como es, infinito Porque el hombre se ha cerrado a sí mismo, hasta que ve todas las cosas excelentes referencias 'estrechas grietas de su caverna,."ibid . en p. 258. [Resumen]

39. Kant, Crítica del juicio (1790), en p. 105. Las cursivas son de Kant. [Resumen]

40. Kant, Crítica del juicio (1790), en p. 114: "El infinito, sin embargo, es absolutamente grande (no sólo grande en comparación) En comparación con ella todo lo demás ... es pequeña."-Al menos si "todo lo demás" se limita a un número finito de objetos grandes. Aquí Kant supone erróneamente que todos los infinitos son iguales, un error común antes de Cantor. Si uno fuera más grande que otro, entonces este último, aunque infinito, sería realmente pequeño en comparación con otra. En defensa de Kant podemos ofrecer la visión de Moore que Kant fue uno de los primeros pensadores que reconocer que hay contradicción suponer que un infinito puede ser más grande que otro, Moore, El Infinito (1990) p. 90. (Moore no aclara en qué pasajes de Kant basa su lectura.) [Resumen]

41. Kant, Crítica del juicio (1790), páginas 98-99. En un trabajo anterior dice Kant lo sublime trae "disfrute", pero a veces con "horror", mientras que lo bello es una "sensación agradable, pero uno que es alegre y sonriente", "[n] ight es sublime, el día es hermoso", el sublimes "se mueve", los hermosos "encantos", la cara de una persona que se sienta lo sublime es "serio, a veces rígido y temeroso", mientras que la cara de una persona que experimenta la muestra hermosas "alegría [y] ... la sonrisa características que brilla" ; Observaciones sobre el sentimiento de lo bello y lo sublime (1763 a 1764), en p. 47. [Reanudar]

42. Estos sentimientos mezclados están en tensión. A diferencia de lo bello, lo sublime no produce placer. Porque la mente es a la vez atraído y repelido, responde más con admiración que le gustaba, lo que Kant llama "placer negativo", Crítica del juicio (1790), en p. 98; cf. pp 129, 131. Incluye una nota de disgusto, con nuestros recursos sensoriales e imaginativas inadecuadas, páginas 114, 116, lo que lleva a Kant a llamarlo "un placer que sólo es posible por medio de un disgusto", p. 117. [Resumen]

43. Spinoza, Tratado sobre la enmienda del Intelecto , en p. 235. [Resumen]