Primera parte: Antes de las computadoras electrónicas

Muchos escritores antiguos sentían (incorrectamente) que si p es primo, entonces también lo era M _p = 2 ^p -1. Estos números, que ahora se llaman los números de Mersenne , fueron el foco de la mayor parte de la década de búsquedas de números primos grandes.La historia temprana de estos números está lleno de muchas afirmaciones falsas de primalidad, incluso por personas notables tales como Mersenne, Leibniz y Euler. Así que damos crédito a nuestro primer plusmarquista con algunas dudas:

por 1588 Pietro Cataldi había verificado correctamente que 2 ¹⁷ -1 = 131071 y 2 ¹⁹ -1 = 524287 son ambos prime [ Cataldi1603 ].

Pero Cataldi también había declarado incorrectamente 2 ⁿ -1 también fue primordial para cada uno de 23, 29, 31 y 37. Esto es interesante porque Cataldi hizo sus descubrimientos mediante la construcción de lo que Shanks llama "la primera gran tabla de números primos - hasta 750" [ Shanks78 p14]. Estas tablas son lo suficientemente grandes para mostrar 2 ¹⁹ -1 es primo (su raíz cuadrada es de aproximadamente 724), pero no lo suficientemente grande como para manejar estas cuatro números más grandes!

En 1640 Fermat demostró que si p es un primo impar, entonces todos los divisores primos de 2 ^p -1 tienen la forma 2 kp 1. Luego rápidamente mostró Cataldi se equivocó en 23 (que tiene el factor 47 con k = 1) y 37 (factor de 223 en k = 3). Por último, en 1738, Euler demostró Cataldi también se equivocó en 29 por encontrar el divisor 233. En este caso, el uso de resultado de Fermat, k = 4. Esto es sólo el segundo número a tratar de usar el resultado de Fermat como k = 2 y k = 3 composites de rendimiento (por lo que imagino que Fermat sabía también de este factor). Tenga en cuenta que los errores de Cataldi se muestran con pequeños factores que se encuentran en la propia tabla de números primos de Cataldi, y ninguno tuvo más de dos divisiones de prueba!

Euler nos da el primer registro claro (excepto tal vez para la fecha), demostrando Cataldi era correcta sobre 31:

por 1772 Euler había utilizado el razonamiento inteligente y sala de primera instancia para mostrar 2 ³¹ -1 = 2147483647 es primo.

La fecha real debe estar entre 28 de octubre 1752, cuando Euler envió una carta a Goldbach [ texto de Euler Archivo ] diciendo que no estaba seguro acerca de este número (a pesar de que anteriormente había incluido como primer) y 1772, cuando una carta [ de texto ] fue publicado por Euler Bernoulli indicando demostró 2 ³¹ -1 prime mostrando todos los divisores primos de 2 ³¹ -1 debe tener una de las dos formas 248 n 1 y 248 n 63, y dividiendo el resultado por todos esos primos menores 46339 [ Dickson19 pp18-19]. Esto requiere un teorema sencillo que es más fuerte que el resultado de Fermat anteriormente.(Euler había enumerado 2 ³¹ -1 a un primer ya en 1732, pero él también lo hizo junto con 2 ⁴¹ -1 y 2 ⁴⁷ -1 ambos estaban compuesto [ traducción ].)

En 1867 Landry había encontrado un primo mayor, aún por la división de juicio, como un factor de 2 ⁵⁹ -1 (es decir, (2 ⁵⁹ -1) / 179951 = 3203431780337), este primer tenía el récord de más tiempo que cualquier otro no -Mersenne haría ( antes o después de su descubrimiento). Sin embargo, todos estos esfuerzos iban a ser eclipsado por un nuevo descubrimiento matemático, por lo que hacer una pausa por un momento para resumir todos los primos de registro (que yo sepa), antes de las computadoras modernas. (En el largo plazo, siempre es la matemática que decides el tamaño de primordial que podemos encontrar.)

Nota: Es muy difícil colocar el descubrimiento de Ferrier entre Miller y Wheeler de forma cronológica. Seguimos el orden tradicional y ponemos Ferrier de primera, pero hay buenas razones para dudar de esto .