Volumen de la esfera

Como todo el mundo sabe (o debería saber ya que se estudia en el colegio) el volumen de una esfera de radio R es:

Esta fórmula se debe al genial Arquímedes, y fue uno de sus grandes descubrimientos y del cual estaba muy orgulloso. Vamos a ver cómo lo consiguió.

Arquímedes partió de una semiesfera de radio R y colocó a su lado un cono recto y un cilindro circular recto, ambos con base de radrio también R:

Cortó las tres figuras con un plano paralelo a la base del cilindro (que quedara a distancia d de la parte superior de las tres figuras) y estudió cómo serían las secciones que este plano crearía en cada una de las figuras:

Cilindro: circunferencia de radio R.

Semiesfera: también una circunferencia pero de distinto radio, digamos r. Mirando la siguiente figura

y usando el teorema de Pitágoras tenemos que r2+d2=R2.

Cono: también una circunferencia, pero ahora, como podemos se ve aquí

el radio es d.

Por tanto tenemos:

Sección cilindro=πR2=π(r2+d2)=πr2+πd2=Sección semiesfera+Sección cono

Las secciones de cada figura son como rebanadas de las figuras:

Si para cada rebanada se tiene la relación anterior parece bastante claro que los volúmenes siguen la misma relación. Es decir:

Volumen cilindro=Volumen semiesfera+Volumen cono

Pero Arquímedes conocía los volúmenes del cilindro y del cono:

Por tanto:

De donde multiplicando por 2 obtenemos el volumen de una esfera de radio R:

Tanto admiraba Arquímedes este descubrimiento que mandó inscribir en su tumba la siguiente imagen: