Órbita de Hohmann
Órbita de transferencia de Hohmann
En la astronáutica y la ingeniería aeroespacial, la órbita de transferencia de Hohmann es una maniobra orbital que, bajo las hipótesis comunes de la astrodinámica, traslada a una nave espacial desde una órbita circular a otra utilizando dos impulsos de su motor. El nombre proviene del científico alemán Walter Hohmann que publicó su teoría en 1925.
Explicación
La órbita de transferencia de Hohmann es una mitad de una órbita elíptica que toca tanto la órbita inicial que se desea dejar (en verde en el diagrama) y la órbita final que se quiere alcanzar (en rojo en el diagrama). La órbita de transferencia (en amarillo en el diagrama) se inicia disparando el motor de la nave espacial para acelerarla creando una órbita elíptica; esto añade energía a la órbita de la nave espacial. Cuando la nave alcanza la órbita final, su velocidad orbital debe ser incrementada de nuevo para hacer una nueva órbita circular; el motor acelera de nuevo para alcanzar la velocidad necesaria.
La teoría de la órbita de transferencia de Hohmann se basa en cambios de velocidad instantáneos para crear órbitas circulares, por lo que la nave espacial que utiliza una órbita de transferencia de Hohmann utilizará generalmente motores de gran empuje para reducir la cantidad de combustible adicional. Los motores de empuje bajo pueden realizar una aproximación de una órbita de transferencia de Hohmann, creando una órbita circular que se alarga gradualmente utilizando el motor de forma controlada. Esto requiere un delta-v hasta el 141% mayor que el sistema de dos impulsos y tarda más tiempo en completarse.
La órbita de transferencia de Hohmann también funciona para llevar a una nave de una órbita mayor a una menor. En este caso, los motores de la nave funcionan en la dirección opuesta a su trayectoria, desacelerando la nave y causando una caída a una órbita elíptica de menos energía. Luego, el motor funciona por segunda vez para reducir la aceleración de la nave hacia una órbita circular.
Aunque la órbita de transferencia de Hohmann es casi siempre el método más económico para conseguir pasar de una órbita circular a otra, en algunas situaciones donde el semieje mayor de la órbita final es más grande que el semieje mayor de la órbita inicial en un orden de doce, puede ser más ventajoso el uso de una transferencia bielíptica.
En obras soviéticas, como Pionery Raketnoi Tekhniki, se utiliza a veces el término de órbita de transferencia de Hohmann-Vetchinkin, citando al matemático Vladimir Vetchinkin que presentó el concepto de transferencia elíptica en conferencias sobre el viaje interplanetario entre 1921 y 1925.
Cálculo
Para un cuerpo pequeño orbitando sobre otro, como un satélite orbitando sobre la Tierra, la energía total del cuerpo es sólo la suma de su energía cinética y energía potencial, y esta energía total es igual a la mitad del potencial en el punto más lejano a (el semieje mayor):
Órbita de transferencia de Hohmann (en amarillo).
Solucionando la ecuación para la velocidad en la ecuación de conservación de energía orbital,
Donde
es la velocidad de un cuerpo orbitando,
es el parámetro gravitacional estándar del cuerpo principal,
es la distancia del cuerpo orbitando al principal y
es el semieje mayor del cuerpo orbitando.
Por tanto, el delta-v necesario para una transferencia de Hohmann es,
(para el delta-v en periastro).
(para el delta-v en apoastro).
Donde
es el radio de la órbita menor y la distancia de periastro de la órbita de transferencia de Hohmann y
es el radio de la órbita mayor y la distancia de apoastro de la órbita de transferencia de Hohmann.
Si se está moviendo a una órbita mayor o menor, por la tercera ley de Kepler, el tiempo para realizar la transferencia es:
Donde
es la longitud del semieje mayor de la órbita de transferencia de Hohmann.
Ejemplo
= 42.164 km y como ejemplo, = 6.678 km (una altitud de 300 km).
La velocidad en la órbita circular menor es de 7,73 km/s y en la mayor de 3,07 km/s. En la órbita elíptica la velocidad varia desde 10,15 km/s en el perigeo y 1,61 km/s en el apogeo.
Los delta-v son 10,15 - 7,73 = 2,42 km/s y 3,07 - 1,61 = 1,46 km/s, o un total de 3,88 km/s.
Comparado con el delta-v de una órbita de escape: 10,93 - 7,73 = 3,20 km/s. Aplicando un delta-v de órbita terrestre baja de sólo 0,78 km/s más que daría el cohete a velocidad de escape, mientras que el delta-v de una órbita geoestacionaria de 1,46 km/s para alcanzar la velocidad de escape de esta órbita circular. Esto ilustra que a grandes velocidades el mismo delta-v proporciona más energía orbital específica e incremento de energía se maximiza si se gasta el delta-v tan pronto como sea posible en lugar de utilizarlo en dos ocasiones.
Delta-v máximo
En una órbita de transferencia de Hohmann desde una órbita circular a otra mayor, en el caso de un cuerpo central único, cuesta un delta-v mayor (53,6% de la velocidad orbital original) si el radio de la órbita final es 15,6 (la raíz positiva de la ecuación of
) veces más grande que la órbita inicial. Para órbitas finales más grandes, el delta-v disminuye de nuevo y tiende a
veces la velocidad orbital original (41,4%).
Uso en el viaje interplanetario
Cuando se mueve una nave espacial desde la órbita de un planeta a la de otro, la situación se vuelve más compleja. En un viaje entre la Tierra y Marte, la nave ya tendría cierta velocidad asociada con su órbita alrededor de la Tierra, que no es necesaria cuando se encuentra en órbita de transferencia alrededor del Sol. En el otro extremo, la nave necesitaría una velocidad para orbitar sobre Marte, que será menor que la velocidad necesaria para continuar orbitando sobre el Sol. Por tanto, la nave debe desacelerar para que la gravedad marciana la capture y se necesitará pequeñas cantidades de empuje durante su viaje para arreglar la transferencia. Sin embargo, es esencial conocer la alineación de los planetas en sus órbitas, ya que el planeta destino y la nave deben encontrarse en el mismo punto de sus respectivas órbitas alrededor del Sol en el mismo momento.
Una órbita de transferencia de Hohmann llevará a un nave desde una órbita baja terrestre (LEO) a una órbita geosíncrona en unas cinco horas (órbita de transferencia geoestacionaria), desde LEO hasta la Luna en cinco días y desde la Tierra hasta Marte en unos 260 días. Sin embargo, las transferencias de Hohmann son muy lentas para distancias más largas, por lo que se suele utilizar asistencia gravitacional para incrementer la velocidad.
Red de Transporte Interplanetario
En 1997, se publicó un grupo de órbitas conocidas como Interplanetary Transport Network (Red de Transporte Interplanetario), que proporciona recorridos de baja energía, aunque más lentas, entre distintas órbitas que no son las órbitas de transferencia de Hohmann.
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Supongamos que queremos enviar una nave espacial desde la órbita de un planeta a la de otro o bien, elevar un satélite de comunicaciones desde una órbita circular ecuatorial de baja altura a otra órbita coplanar y circular de mayor altura.
Para economizar el combustible, es necesario que la nave espacial siga una trayectoria semielíptica denominada órbita de transferencia de Hohmann para lo que es necesario proporcionarle dos impulsos:
En el punto A cuando la nave espacial pasa de la órbita circular interior a la órbita de transferencia.
En la posición B, cuando la nave espacial pasa de la órbita de transferencia a la órbita circular exterior.
Para resolver el problema propuesto, solamente es necesario hacer uso de las propiedades central y conservativa de la fuerza de atracción que hemos estudiado en páginas anterirores, y de la dinámica del movimiento circular uniforme.
Órbita circular interior
Cuando la nave espacial describe una órbita circular de radio rA, el módulo de la velocidad vA se puede calcular aplicando la dinámica del movimiento circular uniforme
(1)
Donde M es la masa de la Tierra, G es la constante de la gravitación universal, y m es la masa de la nave que se simplifica en las ecuaciones del movimiento.
La energía E1 de la nave espacial en la órbita circular inicial es
la mitad de la energía potencial
Órbita semielíptica de transferencia
Para calcular la velocidad que debe llevar la nave espacial en el punto A para que alcance la órbita exterior en B, basta aplicar las propiedades central y conservativa de la fuerza de atracción.
Por la propiedad de la fuerza central, el momento angular es constante y por tanto, tiene el mismo valor en A que en B
Por la propiedad de fuerza conservativa, la energía es constante en todos los puntos de la trayectoria, y en particular es la misma en A que en B.
Conocidos rA y rB podemos calcular en este par de ecuaciones las incógnitas v’A y vB.
(2)
La energía de la nave espacial es constante en todos los puntos de la trayectoria e igual a
La energía que hemos de suministrar al satélite en la posición A para que pase de la órbita circular a la trayectoria de transferencia es la diferencia E2-E1 o bien,
Órbita circular exterior
Una vez que la nave espacial llega al punto B, ha de cambiar su velocidad para seguir la trayectoria circular de radio rB. De nuevo, aplicando la dinámica del movimiento circular uniforme tenemos.
(3)
La energía E3 de la nave espacial en la órbita circular final es
La energía que hemos de suministrar al satélite para que pase de la órbita de transferencia elíptica a la órbita circular de radio rB es la diferencia E3-E2 o bien,
El tiempo que tarda la nave espacial en pasar del punto A al punto B principio y fin de la trayectoria de transferencia, es la mitad del periodo P.
Siendo a, el semieje mayor de la elipse.
Combustible gastado por la nave espacial
Supondremos que la nave espacial cambia de velocidad en los puntos A y B mediante sendos impulsos, de duración muy corta, por lo que no tendremos en cuenta la acción del peso.
Al estudiar la dinámica de un cohete, calculamos la cantidad de combustible m0-m que ha de gastar una nave espacial para incrementar su velocidad en v-v0
(4)
donde u es la velocidad de escape de los gases al quemarse el combustible, m0 es la masa inicial y m es la masa final y Δv=v-v0 es la variación de velocidad.
La variación total de velocidad que experimenta la nave espacial en los puntos A y B es la suma
A partir de la expresión (4), podemos hallar la masa final m conocida la masa inicial m0, y el cambio de velocidad Δv que experimenta la nave espacial al pasar de la órbita interior a la exterior.
Ejemplo
Para situar un satélite de comunicaciones en órbita geosíncrona a 35770 km de altura sobre la superficie terrestre se emplea un remolcador espacial. Sabiendo que inicialmente el remolcador describe una órbita circular a 350 km de altura, determinar
La velocidad que debe tener el remolcador en el punto A para transferirlo a la órbita elíptica de transición
La velocidad que es necesario proporcionarle en el punto B para transferirlo finalmente a la órbita geoestacionaria
Calcular la energía que es necesario suministrar a un satélite de masa m para transferirlo desde la órbita circular a baja altura a la órbita geoestacionaria
Datos
Masa de la Tierra, M=5.98·1024 kg.
Constante de la gravitación universal, G=6.67·10-11 Nm2/kg2
Radio de la Tierra, R=6370 km
En primer lugar, transformamos las alturas de las órbitas en distancias al centro de la Tierra, rA=(350+6370)·1000 m, rB=(35770+6370)·1000 m.
Mediante la fórmula (1), calculamos la velocidad del satélite en la órbita circular de 350 km de altura, vA =7704.22 m/s. La energía inicial es E1=-29.68·106·m J ( m es la masa de la nave espacial)
Mediante las fórmulas (2), calculamos la velocidad que debe alcanzar v’A =10118.5 m/s, para transferirlo a la órbita de transición, y la velocidad del satélite al finalizar dicha órbita elíptica, vB=1613.6 m/s. La energía de la nave espacial es E2=-8.16·106·m J. El tiempo que tarda la nave espacial en describir la órbita de transferencia es de 18994.2 s.
Mediante la fórmula (3), calculamos la velocidad del satélite en la órbita geoestacionaria, v’B=3076.6 m/s. La energía de la nave espacial es esta órbita es E3=-4.73·106·m J
La variación de energía cinética DEA, es la energía que debemos suministrar al satélite para que pase de la órbita circular de baja altura a la órbita elíptica de transición, DEA=21.5 106 m J.
La variación de energía cinética DEB, es la energía que debemos suministrar al satélite para que pase de la órbita elíptica de transición a la órbita circular de mayor altura, DEB=3.43 106 m J.
La energía total que tenemos que suministrar al satélite será la suma de ambas cantidades DE=DEA+DEB =24.9 106 m J.