Teoría de conjuntos

La teoría de conjuntos, es tan simple como interesante y es una de las ramas fundamentales de las matemáticas, pues será fundamento -entre otros- de temas tan importantes como el concepto de funciones lineales.En una primera instancia, hemos de dejar claro el concepto de conjunto en matemáticas, para luego pasar a aprender cómo se definen conjuntos y estudiar algunas operaciones básicas con ellos. Veamos cómo comenzamos a abordar la…Teoría de conjuntos

¿Qué es un conjunto? Un conjunto se define como una colección de objetos distintos (que no tienen un orden establecido) y que técnicamente se llaman elementos. Así las cosas, te propongo comenzar a consolidar algunas terminología que será importante no confundir depsués: un conjunto se compone de elementos, en otras palabras: dado un elemento diremos que pertenece o no perteneceal mismo.

¿Cómo los representamos? Seguramente has visto estos diagramas que son muy conocidos. Se llaman diagramas de Venn – Euler y son muy útiles a la hora de visualizar y ayudar a comprender las ideas principales de esta teoría de conjuntos.

¿Qué tipo de cosas pueden ser elementos de un conjunto? Al igual que en la vida real, tú tienes grupos o conjuntos de personas, de objetos, de conceptos etc etc. Tal vez la idea que menos clara puede quedar es la de “conjunto de conceptos” y te la dejaré muy clara con un ejemplo: piensa por ejemplo en el conjunto de las notas musicales… ¿por cuántos elementos está compuesto este conjunto? ¡está claro que por 7, son las notas musicales que tú conoces muy bien! Incluso, los elementos de un conjuntos pueden ser otros conjuntos: sí, existen los conjuntos de conjuntos.¿Existen conjuntos iguales? Sí. Dos conjuntos se consideran iguales cuándo tienen los mismos elementos.¿Cuántos elementos puede tener un conjunto? Este sí es un punto muy interesante de abordar, porque en la teoría de conjuntos se contemplan todos los casos posibles, a saber: si un conjunto no tiene elementos, se considera un conjunto vacío y el símbolo con el que se lo nota es ∅ ; luego tenemos los conjuntos con una cantidad finita o bien determinada de elementos (como ha sido el caso del ejemplo que compartimos antes, el de las notas musicales) y por último en el otro extremo los conjuntos infinitos, es decir aquellos que tienen una cantidad infinita de elementos. Ejemplo de este último caso es el conjunto de los los números naturales.

¿Cómo se define un conjunto? Este es un tema que nos llevará una explicación más profunda y algo de ejemplos y ejercicios para reforzar los conceptos, pero no dudo en adelantarte por lo menos alguna definición. Existen convencionalmente dos formas de definir un conjunto en matemáticas: definir conjuntos por extensión y definir conjuntos por comprensión. En el primer caso se nombran uno a uno los elementos del conjunto y en el segundo, se da una característica que distinga a esos elementos y sólo a esos, para que se consideren pertenecientes al mismo. Te invito a estar pendiente ya que precisamente éste es el próximo tema que abordaré en relación a la teoría de conjuntos.

Cómo se define un conjunto

Antes hemos trabajado sobre la teoría de conjuntos y quedamos precisamente en este punto: cómo se define un conjunto. Precisamente, habíamos compartido a modo de adelanto una breve definición, veamos cuál era:“Existen convencionalmente dos formas de definir un conjunto en matemáticas: definir conjuntos por extensión y definir conjuntos por comprensión. En el primer caso se nombran uno a uno los elementos del conjunto y en el segundo, se da una característica que distinga a esos elementos y sólo a esos, para que se consideren pertenecientes al mismo.”Vamos a ahondar este concepto por medio de algunos ejemplos y ejercicios que permitirán que quede el concepto totalmente claro para ti.

Cómo se define un conjunto

Existen dos formas de definir un conjunto en matemáticas: por definir un comprensión y definir un conjunto por extensión. Veamos de qué se trata cada una de ellas:

Definir un conjunto por extensión

La misma palabra lo dice: definir un conjunto por extensión es “extenderse” nombrando uno por uno los elementos de ese conjunto.

Definir un conjunto por comprensión

Si se elige definir un conjunto por compresión, significa agrupar a todos sus elementos bajo una característica que los distinga y los diferencie sólo a ellos.

Veamos un ejemplo: se trata de definir el conjunto de las notas musicales clásicas.

Definir ese conjunto por extensión, sería así:

M = { Do, Re, Mi, Fa, Sol, La, Si }

Definir ese conjunto por comprensión, sería así:

M = { es el conjunto de las notas musicales }

En realidad, en éste último caso, la definición por comprensión exige una notación matemática más precisa, pero que significa lo mismo. Esa notación sería, para este ejemplo, la siguiente:

M = { x/x es una nota musical }

¿Cómo se lee esto? Se lee así:

“M es igual al conjunto de los x tal que cada x es una nota musical”

Primero se habla de todos los “x” y luego se da una característica de cada uno, por eso se redacta en singular “es una nota musical”

Veamos otro ejemplo: hablamos de los colores de la bandera de Francia.

Definición por extensión:

B = { blanco, azul, rojo }

Definición por comprensión:

B = { x/x es un color de la bandera de Francia }

Precisiones importantes

Cada elemento de un conjunto es único y no debe haber confusiones al respecto. Si bien el orden de los elementos no importa a la hora de definir el conjunto, algo que no puede pasar es que haya elementos idénticos. Cuando definimos un conjunto, lo único que hay que dejar bien claro es si el elemento pertenece o no pertenece al conjunto en cuestión.

La relación de pertenencia entonces, se da entre elementos y conjuntos. Existe un símbolo matemático para realizar esta notación (pertenencia o no pertenencia) y es el siguiente (en realidad es un sólo símbolo):

pertenece ∈

no pertenece ∉

Es usual, especialmente en las definiciones por comprensión, la utilización de símbolos matemáticos. Por ejemplo, si queremos hacer referencia al conjunto de números que van del 3 al 11 (incluidos), deberíamos definirlos de una de estas dos maneras:

Por extensión:

B = { 3,4,5,6,7,8,9,10,11 }

Por comprensión:

B = { x/x 2 < x <12 }

Imagen: math-only-math

Pertenencia e inclusión en conjuntos

Los conceptos de pertenencia e inclusión en conjuntos son bien diferentes, pero por un simple tema de lenguaje, a veces se confunde. Básicamente la confusión viene por el lado de que en ambos casos se trata de palabras que en el habla cotidiana se utilizan como sinónimos.

Por ejemplo es frecuente decir “yo pertenezco a este grupo” o “yo estoy incluido en este grupo” y en ambos casos se entiende lo mismo. Pero en la terminología técnica o vocabulario matemático específico de la teoría de conjuntos, estos conceptos son bien diferentes, a tal punto que no es correcto usar -por ejemplo- pertenencia si hablamos de conjuntos dentro de conjuntos.

Iremos aprendiendo los conceptos paso a paso…

Pertenencia e inclusión en conjuntos

Relación de pertenencia

La relación de pertenencia sólo se da entre los elementos de un conjunto y éste. Es decir es perfectamente correcto decir que uno o más elementos pertenecen a un conjunto. En este caso, nunca debe usarse la palabra inclusión, por tanto no es correcto decir que un elemento está incluido en un conjunto.

La relación de pertenencia tiene un símbolo específico para el conector “pertenece” y para el conector “no pertenece”. Veamos un ejemplo sencillo: si consideramos a V, conjunto de las letras vocales, éste definido por extensión sería así:

V = { a, e, i, o, u }

Así las cosas es correcto decir cualquiera de las siguientes afirmaciones, que escribiré también en lenguaje de símbolos matemáticos. Pon atención.

El elemento a pertenece a V ==> a ∈ V

El elemento f no pertenece a V ==> f ∉ V

Relación de inclusión

La relación de inclusión, se da entre conjuntos y sub conjuntos. Es correcto decir que un subconjunto está incluido en un conjunto mayor, pero no es correcto decir que un subconjunto pertenece a un conjunto mayor.

La relación de inclusión tiene un símbolo específico para el conector “está incluido” y para el conector “no está incluido”. Veamos un ejemplo sencillo en la misma línea del anterior: consideramos al conjunto L como el conjunto de las letras del abecedario.

L = { a, b, c, d, e…………. x, y, z }

Así las cosas es correcto decir cualquiera de las siguientes afirmaciones, que escribiré también en lenguaje de símbolos matemáticos. Pon atención.

El subconjunto V (de las volcales) está incluido en L

V ⊂ L

El subconjunto G (letras griegas) no está incluido en L

G ⊄ L

También es usual en estos casos otro concepto: “incluye a”. Pondré un ejemplo en relación precisamente al ejemplo que acabamos de utilizar:

El conjunto L incluye al conjunto V ==> L ⊃ V

Ambos tipos de relación, es decir pertenencia e inclusión, tienen algunas propiedades que estudiaremos en un próximo post. Te invito a estar pendiente porque iremos desarrollando toda una serie sobre este tema, que culminará con la propuesta de algunos ejercicios sobre conjuntos, algunos sencillos y otros complejos, siempre aportando las soluciones para que puedas evluar por ti mismo cómo te has desempeñado en cada uno de ellos.

Imagen: divertinajes

Conjunto vacío y subconjuntos

En el marco de la teoría de conjuntos, llegó el momento de definir algunos conceptos importantes que más tarde utilizarás a menudo: me refiero al conjunto vacío y subconjuntos, que necesitarás al ejercitarte en esta rama de la matemática que más que “rama” es el fundamento de muchos conceptos básicos.

Antes de continuar trabajando sobre el tema que hoy nos ocupa, te invito a releer otro post relacionado, que titulamos Pertenencia e inclusión en conjuntos . En el mismo trabajamos la diferencia entre los conceptos de pertenencia e inclusión, y si relees el mismo, no necesitamos repetir aquí su contenido.

Conjunto vacío y subconjuntos

Concepto de subconjunto

Decimos que el conjunto A es un subconjunto del conjunto B, sí y sólo sí, todo elemento del conjunto A es también elemento del conjunto B.

Cuando trabajamos antes la relación de inclusión, decíamos que es correcto expresar esta relación (que A es un subconjunto de B) diciendo también que “A está incluido en B”. Utilizando el lenguaje o símbolos matemáticos, esto se expresa de la siguente manera

A ⊂ B

Es posible realizar esta misma afirmación, pero diciendo que el conjunto B contiene al conjunto A, o -lo que es lo mismo- que el conjunto B incluye al conjunto A. Esto también puede escribirse con símbolos matemáticos:

B ⊃ A

¿Te gustaría que pusiera un ejemplo real? Mira es muy sencillo: llamemos B al conjunto de los habitantes de la ciudad de Bogotá y C al conjunto de los habitantes de Colombia. Es claro y correcto decir, que los habitantes de Bogotá son un subconjunto de los habitantes de Colombia. Esto se expresaría en símbolos, de la siguiente manera:

B ⊂ C

lo que significa que B está incluido en C.

Concepto de conjunto vacío

Técnicamente se define un conjunto vacío, como un conjunto que no tiene ningún elemento. Si me pides un ejemplo, podría decirte que T es el conjunto de los seres humanos que tienen tres cabezas, lo cual es -lógicamente- un conjunto vacío.

Parece una definición y un concepto un tanto absurdo, pero créeme que no lo es. A tal punto es un concepto clave que tiene su propio símbolo matemático que es el siguiente:

Conjunto vacío = ∅

Me gustaría citar una propiedad importante del conjunto vacío, precisamente por estar relacionada al concepto de subconjunto al que hacíamos referencia en el ítem anterior. La propiedad en cuestión es la siguiente:

El conjunto vacío es subconjunto de todos los conjuntos

Otra propiedad importante es que todo conjunto es sub conjunto de sí mismo. A pesar de que -al igual que la anterior- pueda parecer una propiedad absurda o muy básica, es un punto clave a la hora de demostrar la igualdad de conjuntos.

Te invito a estar pendiente a un próximo post de ejercicios sobre conjuntos, como siempre, con resultados con el fin de que puedas evaluar por ti mismo en qué medida vas comprendiendo los conceptos claves de este tema y cómo vas aplicándolos a un nivel más elevado cada vez.

Unión e intersección de conjuntos

La unión e intersección de conjuntos son las operaciones más reconocidas y utilizadas, en relación a la teoría de conjuntos. En base a ellas, combinándolas o no, resolverás algunas situaciones problemáticas que de otro modo serían realmente complejas.

De la mano de otros dos conceptos clave, Conjunto vacío y subconjuntos, tendrás la posibilidad de analizar las consignas que se te planteen y arribarás a las respuestas pedidas en cada caso. Veamos las correspondientes definiciones y ejemplos de la…

Unión e intersección de conjuntos

¿Qué significa unir dos o más conjuntos?

La operación se denomina unión de conjuntos, y da como resultado un nuevo conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a ambos conjuntos. Escrito con símbolos, la unión de dos conjuntos (por ejemplo llamados G y H) se denota así:

G ∪ H

Si queremos expresarlo en diagramas de Venn, deben primero representarse todos los elementos en sus respectivos conjuntos y luego incluyen todos (sin repetirlos) en un mismo diagrama. En la siguiente imagen, se puede apreciar esta definición con mucha claridad. Presta atención:

¿Qué es intersección de conjuntos?

Realizar la intersección de dos o más conjuntos, es definir un nuevo conjunto formado solamente por aquellos elementos que estén presentes en todos los conjuntos en cuestión. En otras palabras: sólo forman parte del nuevo conjunto, los elementos que tengan en común.

Existe un símbolo matemático para la intersección. Para poner un ejemplo,la intersección de dos conjuntos llamados G y H se denota de la siguiente manera:

G ∩ H

En vez de ejemplificar en diagramas, esta vez veremos cómo se representa la interescción de conjuntos definida por extensión.

Primero definimos a los respectivos conjuntos:

G = { a, b, c, d, e, f, g, h }

H = { a,e,i,o,u }

G ∩ H = { a,e }

En efecto, a y e, son los únicos elementos en común, es decir que están presentes en los dos conjuntos a la vez.

Veamos un ejercicio ejemplo:

Partimos de la existencia de dos conjuntos que son los siguientes:

R = {–7–2, 0, 2, 4}

S = {–4, –2, 5, 3, 4}

Se pide realizar las siguientes operaciones:

a) R ∪ S

b) R ∩ S

a) que la unión de conjuntos se plantea como la reunión de los elementos de ambos conjunto, sin escribir repetidos los que están dos veces. Entonces quedaría que:

R ∪ S = {–7–2, 0, 2, 4, –4, 5, 3}

b) Recordamos que la intersección de conjuntos, se plantea como la lista de elementos que ambos tienen en común. Entonces, en este caso, quedaría que:

R ∩ S = {–2, 4}

Caso especial: conjuntos disjuntos

Podría ser que al intentar realizar la intersección de conjuntos, éstos no tengan elementos en común. En ese caso, se dice que la intersección es vacía, o sea, es un conjunto vacío. Escrito en símbolos, esto se señala así:

A ∩ B = ∅

De la mano de esto, introducimos un nuevo concepto: el de conjuntos disjuntos. Se dice que dos conjuntos son disjuntos, cuando su intersección es vacía. Para citar un ejemplo podríamos decir que si C, es el conjunto de las letras consonantes y V es el conjunto de las letras vocales,

C ∩ V = ∅

Imágenes: es.wikipedia

Ejercicios resueltos sobre conjuntos

¿Cuánto sabes sobre este tema? Con estos ejercicios resueltos sobre conjuntos podrás comprobarlo rápidamente. Te propongo realizar este ejercicio – test sobre conjuntos, que incluye la mayoría de las situaciones que hemos visto en varios post anteriores.

De todos modos, si realizas el test y los resultados no te satisfacen te dejo aquí en este mismo post un resumen de los principales conceptos de la teoría de conjuntos para que puedas releer, repasar y fortalecer aquellos puntos que tengas un tanto olvidados.

Ponte cómodo; te sugiero tener a mano lápiz y papel para dibujar algunos diagramas y plantear las propuestas de cada ejercicio con mayor comodidad.

Ejercicios resueltos sobre conjuntos

1. Tenemos los conjuntos

A ={1,2,3,4} y C ={3,4,5,6}

El resultado de A U C, es…

A U C = {1,2,5,6}

∅

A U C = {1,2,3,4,5,6}

A U C = {1,2,3,3,4,4,5,6}

Question 1 of 6

Concepto de subconjunto

Decimos que el conjunto A es un subconjunto del conjunto B, sí y sólo sí, todo elemento del conjunto A es también elemento del conjunto B.

A ⊂ B

B ⊃ A

Concepto de conjunto vacío

Parece una definición y un concepto un tanto absurdo, pero créeme que no lo es. A tal punto es un concepto clave que tiene su propio símbolo matemático que es el siguiente:

Conjunto vacío = ∅

Una propiedad importante del conjunto vacío, precisamente por estar relacionada al concepto de subconjunto al que hacíamos referencia en el ítem anterior. La propiedad en cuestión es la siguiente:

El conjunto vacío es subconjunto de todos los conjuntos

Unión de conjuntos

G ∪ H

Intersección de conjuntos

Existe un símbolo matemático para la intersección. Para poner un ejemplo,la intersección de dos conjuntos llamados G y H se denota de la siguiente manera:

G ∩ H

Conjuntos disjuntos

Se dice que dos conjuntos son disjuntos, cuando su intersección es vacía. Para citar un ejemplo podríamos decir que si C, es el conjunto de las letras consonantes y V es el conjunto de las letras vocales,

C ∩ V = ∅

Imagen: schoolclipart

Problemas sobre conjuntos

Los problemas sobre conjuntos son unos de los ejercicios matemáticos que más disfruto. Me desafían a pensar, a diagramar y si bien muchas veces logran hacerme perder la paciencia por unos minutos, tarde o temprano vuelvo a ellos y no los dejo hasta que consigo resolverlos.

Debo poner en práctica la mayoría de las cosas que ya hemos aprendido sobre teoría de conjuntos, especialmente la unión e intersección de conjuntos. Te invito a releer esos conceptos y luego te propondré algunos problemas tipo, explicando paso a paso lo que finalmente se convertirá para ti en un método de resolución que te permitirá resolver los…

Problemas sobre conjuntos

Te propongo un primer problema, del que no sólo te daré la solución sino que iré relatando cómo proceder para pensarlo y resolverlo.

Problema 1

Estamos en una asamblea de futuros copropietarios de un edificio a la que asisten 100 personas.

Sabemos que 35 son hombres que viven solos, 24 son mujeres que viven solas y 20 son hombre y mujeres que viven en parejas. El resto de los asistentes, son inversores que no planifican vivir en el edificio sino que comprarán como inversión.

¿Cuántos inversores hay presentes en la asamblea?

1) Lee la letra con mucha atención y determina a cuántos conjuntos de personas corresponden los datos que se te ofrecen.

En este caso son 3: los hombres solos, las mujeres solas y las parejas (compuestas obviamente por hombres y mujeres)

2) Realiza un diagrama de Venn que te permita dibujar los datos que estás leyendo. En este caso podría ser algo así (recuerda que tienes que definir cuánto es el “universo” es decir, la totalidad de elementos que se mencionan en la situación problemática, en este caso, los 100 asistentes a la asamblea. Coloca en los diferentes sectores los números con los datos que te aporta el problema; en este caso quedaría algo como esto:

3) Comienza a razonar la letra y a escribirla en forma de ecuación. Después de todo, lo que estás buscando es una incógnita: el número de personas entre las 100 presentes que no están en ninguna de las categorías antes mencionadas. La ecuación en cuestión podría escribirse así y resolverse como cualquier otra ecuación de una sola incógnita. Toma nota:

x + 35 + 20 + 24 = 100

x + 79 = 100

x = 100 – 79

x = 21

4) Analiza la respuesta numérica y redacta la respuesta final al problema. En este caso sería así:

Respuesta: el número de asistentes que son inversores es 21

¿Crees haber comprendido el método de razonamiento, análisis y resolución?

¿Qué te parece si ponemos a prueba tu respuesta?

Aquí te dejaré un nuevo problema y no será hasta mañana que publicaré su solución. Te reto a pensarlo y a aplicar la metodología anterior… ¡no te rindas fácilmente! y luego compara tu solución haciendo click aquí.

Problema 2

Se encuesta a todas las personas que viajan en un tren, acerca de sus deportes favoritos. Estas son las respuestas:

A 115 les gusta el Basket ball

A 35 les gusta el Basket ball y también el Atletismo

A 90 sólo el Atletismo

Son 105 el total de personas a quienes no gusta el Basketball

La pregunta es: ¿cuántos pasajeros fueron encuestados en el tren?

Te dejo pensando…

Imagen: electronicproducts

Problemas acerca de conjuntos

Te invito a continuar trabajando con problemas acerca de conjuntos. Son divertidos, aprendes mucho y te desafían a pensar con mente abierta. En un post anterior que titulamos Problemas sobre conjuntos, habíamos dejado propuesto un problema sin compartir en ese momento su solución, precisamente, con la idea de invitarte a pensar e intentar resolverlo por ti mismo.

Llegó el momento de retomarlo y compartir métodos y estrategias (paso a paso) para poder solucionarlo. Vamos ya mismo. Como te he dicho antes, me encantan los…

Problemas acerca de conjuntos

Problema 2

Se encuesta a todas las personas que viajan en un tren, acerca de sus deportes favoritos. Estas son las respuestas:

A 115 les gusta el Basket ball

A 35 les gusta el Basket ball y también el Atletismo

A 90 sólo el Atletismo

Son 105 el total de personas a quienes no gusta el Basketball

La pregunta es: ¿cuántos pasajeros fueron encuestados en el tren?

Resolución:

Utilizaremos como ayuda para pensar y diagramar la letra del problema, un par de diagramas de Venn, que tendrán un sector común (la intersección), contenidos en un rectángulo que -como siempre- , representa el “universo”.

Les llamaremos a estos conjuntos B (por Basket ball) y A (por Atletismo). Colocaremos los datos que nos propone el problema, de la siguiente manera:

Comenzamos por las que gustan de Basket ball y Atletismo a la vez, a quienes obviamente tenemos que colocar en el sector del medio, o sea en la intersección de ambos conjuntos; estos son, según nos dice la letra, 35.

Acto seguido, como la letra también nos dice que son 115 quienes gustan del Basket ball y considerando que entre ellos están los 35 que pusimos antes en el sector intersección, para saber a cuántos les gusta sólo el Basket ball, hemos de restar 115 – 35 = 80. Esos 80 deben ir en B, tal como nos muestra la figura.

Por último, sabemos que a 90 les gusta sólo el Atletismo, por lo que este número va en el sector A.

El dato revelador, es el último; presta atención: se nos dice que son 105 el total de personas a quienes no gusta el basket. Si esto es así, hacemos 115 – 90 (que son aquellos a quienes gusta sólo el atletismo) y el resultado es 15. Estos 15 están afuera, ya que -en realidad- no gustan de ninguno de los dos deportes para los que hicimos diagrama.

Veamos cómo queda el mismo, y cómo razonamos a partir de allí:

Así las cosas, sólo nos resta plantear las cosas en forma de ecuación. Quedaría así:

x = 80 + 35 +90 + 15

x = 220

Entendemos por “x” al número total de personas encuestadas, que precisamente, es el dato que nos está pidiendo como incógnita el problema.

La respuesta final del mismo sería que son 200 las personas que han sido encuestadas.

Al igual que hicimos en el post anterior, te propongo ir incrementando el nivel de los desafíos y te dejo aquí un nuevo problema acerca de conjuntos, sobre el que te dejo pensando y cuya respuesta dejaré vinculada aquí para que accedas a ellas en los próximos días.

Problema 3

En una celebración de graduación, las 30 estudiantes del curso debatían acerca de la bebida que debía servirse. Finalmente se optó por dos bebidas: cóctel de frutas sin alcohol y zumo de naranjas.Sabemos que…

-20 personas bebieron cóctel de frutas sin alcohol

-10 personas bebieron zumo de naranjas

-8 no concurrieron

Lo que queremos saber, es ¿cuántas de las personas que concurrieron, se sirvieron de las dos bebidas?

Imagen: classroomclipart

Problemas que se resuelven con conjuntos

Continuamos compartiendo problemas que se resuelven con conjuntos. Créeme que se trata de una actividad que no sólo puede ser muy útil, sino que realmente llegarás a disfrutarla.

En un post anterior que titulamos Problemas acerca de conjuntos , habíamos dejado al “problema 3” planteado como desafío para que pudieras practicar las habilidades y conceptos que fuimos trabajando en otros post anteriores tales como Teoría de conjuntos y Unión e intersección de conjuntos .

¿Intentaste resolverlo por ti mismo? ¿Lo habrás hecho bien? Veamos cómo te has desempeñado en este nuevo desafío que forma parte de nuestra propuesta de…

Problemas que se resuelven con conjuntos

Ante todo, compartimos nuevamente la letra del problema en cuestión:

Problema 3

-20 personas bebieron cóctel de frutas sin alcohol

-10 personas bebieron zumo de naranjas

-8 no concurrieron

Lo que queremos saber, es ¿cuántas de las personas que concurrieron, se sirvieron de las dos bebidas?

Procedimiento de resolución

Te conviene disponer en esta ocasión, dos diagramas de Venn contenidos (como siempre) en un rectángulo “universo”. Al primero de los conjuntos le llamaremos C (por cóctel) y al segundo de ellos le llamaremos N (por naranja) y ambos se interceptan, es decir, habrá un espacio donde contener precisamente lo que es la incógnita de este problema, vale decir cuántas personas se sirvieron ambas bebidas. A este número de personas, por ser nuestra incógnita, le llamaremos “x”.

Es importante definir desde el principio cómo le llamaremos a la incógnita, pues habrá que restarla a los datos que nos da el problema, es decir a las 20 personas que sabemos certeramente que bebieron cóctel hay que restarle las que además bebieron zumo.

De este modo y con un razonamiento análogo para los que bebieron zumo (hay que restarle los que además bebieron cóctel), los sectores quedarían definidos de este modo:

20 – x = son las personas que bebieron cóctel pero no zumo

x = son las personas que bebieron cóctel y zumo

10 – x = son las personas que bebieron zumo pero no cóctel

Por fuera de los diagramas de Venn, pero formando parte del “universo” hay que ubicar las 8 personas que no asistieron a la celebración.

Queda más claramente expresado, a través del siguiente diagrama de Venn:

problemas conjuntos

Como siempre, el paso siguiente, es expresar todo lo antes razonado a través de una ecuación. En este caso, tenemos claro que la totalidad de personas antes señalada y analizada, suma un total de 30, por lo que esta sería la ecuación que debemos plantear y su correspondiente resolución:

(20 – x) + x + (10 – x) + 8 = 30

20 – x + x + 10 – x + 8 = 30

38 – x = 30

– x = 30 – 38

– x = – 8

x = 8

La respuesta final a nuestro problema, es que son 8 las personas que bebieron ambas cosas, vale decir, cóctel de frutas sin alcohol y zumo de naranja.

Imagen: classroomclipart

Producto Punto

El producto punto, también conocido como producto escalar , es una multiplicación de los módulos de dos vectores por el coseno del ángulo que se forma entre ellos:

u⃗ ⋅v⃗ =|u⃗ |⋅|v⃗ |⋅cosα

También se puede obtener el resultado como:

u⃗ ⋅v⃗ =u1⋅v1+u2⋅v2+u3⋅v3

Cuando:

u⃗ =[u1,u2,u3]

v⃗ =[v1,v2,v3]

Recordando, el módulo de un vector se obtiene de la siguiente manera:

u21+u22+u23−−−−−−−−−−√

Y el angulo entre dos vectores se puede obtener con la siguiente fórmula:

cosα=u1⋅v1+u2⋅v2+u3⋅v3u21+u22+u23−−−−−−−−−−√⋅v21+v22+v23−−−−−−−−−−√

Propiedades del producto punto

Asociativa

j⋅(u⃗ ⋅v⃗ )=(j⋅v⃗ )⋅u⃗

Conmutativa

u⃗ ⋅v⃗ =v⋅→u⃗

Distributiva

u⃗ ⋅(o⃗ +v⃗ )=u⃗ ⋅o⃗ +u⃗ ⋅v⃗

El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es positivo.

u⃗ ≠0⇒u⃗ ⋅u⃗ >0

Ejemplos

Para los siguientes ejemplos obtendremos el producto punto de dos vectores, tres los resolveremos con la primer formula y los otros dos obteniendo el ángulo y el módulo de cada vector.

1.-

u⃗ =[1,2,3]

v⃗ =[3,2,1]

u⃗ ⋅v⃗ =1⋅3+2⋅2+3⋅1=10

2.-

u⃗ =[4,8,2]

v⃗ =[6,−3,2]

u⃗ ⋅v⃗ =4⋅6+8⋅−3+2⋅2=4

3.-

u⃗ =[6,−5,4]

v⃗ =[7,5,4]

u⃗ ⋅v⃗ =6⋅7+−5⋅5+4⋅4=33

4.-

u⃗ =[10,9,8]

v⃗ =[−1,−2,−3]

u⃗ =102+92+82−−−−−−−−−−−√=15.6525

v⃗ =−12+−22+−32−−−−−−−−−−−−−−√=3.7416

cosα=10⋅−1+9⋅−2+8⋅−3102+92+82−−−−−−−−−−−√⋅−12+−22+−32−−−−−−−−−−−−−−√=−.889

u⃗ ⋅v⃗ =|15.6525|⋅|3.7416|⋅−.889=−52

5.-

u⃗ =[3,3,3]

v⃗ =[−2,−2,−2]

u⃗ =32+32+32−−−−−−−−−−√=5.1962

v⃗ =−22+−22+−22−−−−−−−−−−−−−−√=3.4641

cosα=3⋅−2+3⋅−2+3⋅−232+32+32−−−−−−−−−−√⋅−22+−22+−22−−−−−−−−−−−−−−√==−.999

u⃗ ⋅v⃗ =|5.1962|⋅|3.4641|⋅−.999=−18

Listo! ahora ya sabes como obtener el producto punto de dos vectores, no olvides seguir practicando y nos vemos… hasta la próxima!!