Almagesto

Prefacio

En la parte precedente de nuestro tratado, hemos estudiado aquellos aspectos [acerca] del Cielo y de la Tierra que han requerido, como idea general, una discusión matemática preliminar; además de la Inclinación de la trayectoria del Sol a través de la Eclíptica, y del fenómeno particular resultante, ambos en la Esfera Recta y en la Esfera Oblicua para cada región habitada.

Pensamos [ahora] que deberíamos discutir la teoría del Sol y de la Luna, temas que siguen apropiadamente a lo [expuesto] anteriormente, e ir a través de los fenómenos que son consecuencia de sus movimientos. Ninguno de los fenómenos asociados con los [otros] cuerpos celestiales pueden ser investigados completamente sin [haber estudiado] un tratado previo de aquellos [dos (del Sol y de la Luna)]. Además, encontramos que el tema del Movimiento Solar debe tomar lugar primero de entre aquellos [del Sol y de la Luna], dado que sin ello, nuevamente, no se podría brindar un tratamiento completo de la teoría de la Luna desde el comienzo hasta su fin.

Sobre la Longitud del Año

El primero de los teoremas concernientes al Sol es [el de] la determinación de la longitud del año. Los antiguos [astrónomos y matemáticos] estaban en desacuerdo y confundidos en sus pronunciamientos acerca de éste tema, tal como puede leerse en sus tratados, especialmente en aquellos de Hiparco, quién fue tanto laborioso y amante de la verdad. La principal causa de confusión sobre éste tema, que incluso (Hiparco) demostró, es el hecho que cuando uno examina las vueltas aparentes [del Sol] hasta [el mismo] Equinoccioo Solsticio, encuentra que la longitud del año excede 365 días por menos de ¼ de día [(revolución anual tropical)], pero cuando uno examina una vuelta con [respecto a una de] las estrellas fijas, éste [valor] es mayor [que 365 ¼ días, es decir una revolución anual sideral. Por lo tanto Hiparco brinda una idea de que la esfera de las estrellas fijas también tiene un movimiento muy lento, que, justamente como aquellos de los planetas, se dirige hacia atrás con respecto a su revolución generando el primer movimiento [diario], que es aquel del [gran] círculo dibujado a través de los polos tanto del Ecuador y como de la Eclíptica

En cuanto a nosotros, demostraremos ciertamente el caso, y cómo éste toma lugar, en nuestra discusión sobre las estrellas fijas (la teoría de las estrellas fijas, también, no puede ser investigada a fondo sin establecer previamente la teoría del Sol y de la Luna). Sin embargo, a los propósitos de la presente investigación, nuestro juicio es que sólo el punto de referencia que debemos considerar cuando examinamos la longitud del año solar, es el de la vuelta del Sol sobre sí mismo [(sobre el mismo punto)], es decir [el período por el cual atraviesa todo] el círculo de la eclíptica definido por su propio movimiento. Debemos definir la longitud del año como el tiempo que toma el Sol en recorrer desde algún punto fijo sobre este círculo regresando nuevamente al mismo punto. Los únicos puntos que podemos considerar propios como puntos de partida para la revolución del Sol son aquellos definidos por los Equinoccios y los Solsticios sobre éste círculo. Si consideramos el tema desde un punto de vista matemático, encontraremos no más que un camino apropiado para definir una “revolución” respecto de aquella que da la vuelta el Sol a la misma posición relativa, tanto desde un lugar y tiempo [período], si uno lo relaciona con el Horizonte [local], con el meridiano, o con la longitud del día y de la noche; y los únicos puntos de partida sobre la eclíptica que podemos hallar, son los que resultan estar definidos por los Equinoccios y Solsticios. Y si, en cambio, consideramos lo apropiado desde un punto de vista físico [(natural)], no encontraremos nada que pueda ser más razonablemente considerado [como] una “revolución” aquella que da la vuelta el Sol a la misma condición atmosférica y a la misma estación; y solamente los únicos puntos de partida que [también] uno puede encontrar [para ésta revolución] son aquellos medios principales de "marcado" en las estaciones desde uno hacia el otro [siguiente, por ej. los puntos Solsticiales y Equinocciales]. Uno podría agregar que esto parece antinatural de definir la revolución del Sol por su vuelta hacia [una de] las estrellas fijas, ya que especialmente la esfera de las estrellas fijas es observada tener un movimiento regular por sí mismo hacia atrás con respecto al movimiento [diario] de los cielos. Igualmente, siendo éste el caso, podría ser apropiado decir que la longitud del año Solar es el tiempo que toma el Sol en ir desde una conjunción con Saturno, digamos, (o con algún otro planeta) hacia la siguiente. De éste modo varios “años” diferentes [en longitud] pueden ser generados [(creados)]. De los razonamientos [según lo] anterior, pensamos apropiadamente definir el año solar como el tiempo desde un Equinoccio o Solsticio hacia el siguiente del mismo tipo, determinado por las observaciones realizadas en el intervalo más grande posible.

Ahora dado que Hiparco está un poco molesto por su sospecha, derivada de una serie de observaciones sucesivas y próximas que él [mismo] realizó, de que la misma revolución [del Sol] no es de longitud constante, vamos a tratar de demostrar de manera sucinta que no hay nada aquí que sea alterado. Comenzaremos convencidos que estos intervalos [desde un Solsticio hasta el siguiente, etc.] no varían, desde los Solsticios y Equinoccios sucesivos que nosotros mismos hemos observado por medio de nuestros instrumentos. Encontramos que [los tiempos de los Solsticios observados, etc.] no difieren de una cantidad significante de aquellos derivados de los [365] ¼ día [del año] (que a veces difieren aproximadamente por una cantidad correspondiente al error que se explica por la construcción y posicionamiento de los instrumentos). Aunque también adivinamos, desde los cálculos propios [realizados] por Hiparco, que su sospecha concerniente a la irregularidad [de la longitud del año tropical] es un error debido principalmente a las observaciones que [él mismo] realizó.

En éste tratado “Sobre el desplazamiento de los puntos del Solsticio y del Equinoccio”, Hiparco primeramente establece aquellos Solsticios de invierno y de verano, que los considera que han sido observados en forma precisa, sucesivamente [en el tiempo], y él mismo admite que éstos no muestran discrepancias suficientes para permitirle a uno que se deban utilizar para asegurar la existencia de alguna irregularidad en la longitud del año. Él comenta acerca de ellas del siguiente modo: “Ahora desde las observaciones [expuestas] arriba es claro que las diferencias en la longitud del año son realmente muy pequeñas. Sin embargo, en el caso de los Solsticios, tengo que admitir que ambos, Yo y Arquímedes, pudimos haber cometido errores de hasta un cuarto de día en nuestras observaciones y cálculos [de tiempo]. Aunque la irregularidad en la longitud del año puede ser percibida en forma precisa desde los [Equinoccios] observados en el aro de bronce situado en un lugar de Alejandría llamado "Plaza de la Estoa" (Palestra). Éste [aro] supone indicar el Equinoccio en el día cuando la dirección [de la sombra semicircular del aro más fino A] cambia de un lado hacia el otro [de la línea del plano del Ecuador] sobre su superficie cóncava iluminada [aro B].” .

Entonces, primero, él establece los tiempos del Equinoccio otoñal que considera haber sido observado en forma muy precisa:

[1] En el decimoséptimo año del Tercer Ciclo Calípico, el 30 de Mesore [27 de Septiembre del –161] , alrededor de la puesta del Sol.

[2] 3 años más tarde, en el vigésimo año, en el primer día “epagomenal” [27 de Septiembre de –158] , en el amanecer. Debería haber ocurrido en el medio día, entonces allí hay una discrepancia de un ¼ de día.

[3] 1 año más tarde, en el vigésimo primer año, (en el primer día “epagomenal”), [27 de Septiembre de –157], en la hora sexta. Estuvo de acuerdo con la observación precedente .

[4] 11 años más tarde, en el trigésimo segundo año, en la noche entre el tercer y cuarto día “epagomenal” [26/27 de Septiembre de –146] . Debería haber ocurrido en el amanecer, entonces nuevamente aquí hay un ¼ de día de discrepancia.

[5] 1 año más tarde, en el trigésimo tercer año, en el cuarto día “epagomenal” [27 de Septiembre de –145] , en el amanecer. Estuvo en acuerdo con la observación previa.

[6] 3 años más tarde, en el trigésimo sexto año, en el cuarto día “epagomenal” [26 de Septiembre de –142], por la tarde. Debería haber ocurrido a medianoche, entonces nuevamente aquí hay solo ¼ de día de discrepancia.

Seguidamente Hiparco comienza con el Equinoccio de primavera que ha sido observado con similar precisión:

[1] En el trigésimo segundo año del Tercer Ciclo Kalípico, el 27 de Mechir [24 de Marzo del –145] , en el amanecer. Además, Hiparco dice, que el aro fue igualmente iluminado a ambos lados [de la línea del Plano del Ecuador] cerca de la quinta hora en Alejandría. Por lo tanto ya podemos ver dos observaciones diferentes del mismo Equinoccio con una discrepancia de aproximadamente 5 horas.

[2 a 6] Él dice que las observaciones subsiguientes hasta el trigésimo séptimo año [desde el -144 al –140] todas estuvieron de acuerdo con los tiempos derivados de 365 ¼ días [por año].

[7] 11 años más tarde [después del 1º], en el cuadragésimo tercer año, él dice, que el Equinoccio de primavera ocurrió después de la medianoche del 29/30 de Mechir [23/24 de Marzo del –134]. Estuvo de acuerdo con la observación en el trigésimo segundo año, e, [Hiparco] nuevamente dice [estar] de acuerdo con las observaciones [desde la 8va. hasta la 13ra., desde el -133 hasta el –128] en los años subsecuentes hasta el quincuagésimo año . Éstas toman lugar el 1° de Phamenoth [23 de marzo de –127] , en la puesta. Esto [ocurrió] aproximadamente 1 ¾ día más tarde [en el año Egipcio] respecto al [Equinoccio] del cuadragésimo tercer año. También esto se ajusta al intervalo de 7 años.

Por lo tanto también, en éstas observaciones no hay discrepancia que valga la pena notar, a pesar de que es posible que un error de hasta un cuarto de día ocurra no sólo en las observaciones de los Solsticios, sino incluso en las observaciones de los Equinoccios. Supongamos que el instrumento, debido a su posicionamiento o graduación, esté fuera del [valor] verdadero tal como una pequeña 1/3600 parte del círculo [(meridiano) que pasa] a través de los polos del Ecuador: entonces, para corregir un error de éste tamaño en declinación, [cuando está] cerca de la intersección [de la Eclíptica] con el Ecuador, tiene que recorrer ¼º en longitud sobre la Eclíptica. Por lo tanto la discrepancia comienza cerca de ¼ de día. El error puede ser incluso mayor en el caso de un instrumento que, en cambio de estar colocado para una ocasión específica y posicionado en forma precisa en el instante de la observación presente, se ha fijado una vez para siempre sobre una base con la intención de mantenerlo en la misma posición durante un largo período [de tiempo]: [el error ocurre cuando] el instrumento es afectado por un desplazamiento [gradual] que no se nota a lo largo del tiempo sobre el cual se encuentra ubicado. Uno puede observar esto en el caso de los aros de bronce [situados] en nuestra Palestra, que están supuestamente fijos [paralelos] al plano del Ecuador. Cuando observamos con ellos, la distorsión en sus posicionamientos [por deformación del aro] es evidente hasta tal punto, especialmente aquella [distorsión que ocurre] con el más grande y más antiguo de los dos, donde a veces la dirección de los rayos de luz en la superficie cóncava sobre el [aro] cambia de un lado al otro dos veces en el mismo día Equinoccial.

Sin embargo, el propio Hiparco no cree que haya nada [erróneo] en las observaciones anteriores, que proporcione un apoyo convincente para su sospecha de que exista una irregularidad en el longitud del año. En cambio él hace cálculos sobre la base de ciertos Eclipses lunares, y declara que encuentra que la variación en la longitud del año, no es más que ¾ de día con respecto al valor medio. Si fuera realmente así, éste [valor] podría ser suficientemente grande para tomarlo en cuenta; aunque puede ser visto como equivocado desde muchas consideraciones que él cita [para apoyarlas]. Para ello utiliza ciertos eclipses lunares que fueron observados ocurriendo en un lugar cerca de estrellas fijas [específicas y] para comparar la distancia de la estrella llamada Spica hacia adelante desde el Equinoccio de otoño para cada [eclipse]. Por medio [de éste razonamiento Hiparco] piensa encontrar, en una [única] ocasión, la distancia de 6 ½º, la máxima en su tiempo, y en otra una distancia de 5 ¼º, la mínima [en su tiempo]. Por lo tanto él concluye que, ya que es imposible que Spica [propiamente dicha] se mueva demasiado en tan poco tiempo, es válido suponer que el Sol, que Hiparco utiliza para determinar las posiciones de las estrellas fijas, no tenga un período constante de revolución. Aunque éste tipo de cálculo no puede ser realizado sin utilizar la posición del Sol en el eclipse como base. Por lo tanto, pensando que él no lo hace, en cada eclipse está aplicando para éste propósito [de determinar la posición del Sol], observaciones precisas de los Solsticios y de los Equinoccios que él mismo ha realizado en esos mismos años. Por el mero hecho de hacer esto, él demuestra que cuando uno compara la longitud de aquellos años, no hay allí una discrepancia en el intervalo de ¼ de día [del día 365].

Tomando un ejemplo sencillo: [aquella] observación del Eclipse que [Hiparco] cita, en el trigésimo segundo año del Tercer Ciclo Calípico, afirma hallar que Spica está a 6 ½º hacia adelante del Equinoccio de otoño, mientras que desde la observación del Eclipse [realizado] en el cuatrigesimo tercer año del [mismo] ciclo afirma hallar que [Spica] está a 5 ¼º hacia adelante [del mismo]. Asimismo, con el fin de realizar cálculos según lo anterior, cita el Equinoccio de primavera que precisamente observó en aquellos años. Esto fue [realizado] en orden, para que desde éste último él pudiera encontrar la posición del Sol en el medio de cada eclipse, desde éstas las posiciones de la Luna, y desde las posiciones de la Luna aquellas [posiciones] de las estrellas. El dice que el Equinoccio de primavera en el trigésimo segundo año tomó lugar el 27 de Mechir [24 de Marzo de –145] en el amanecer, y uno en el cuadragésimo tercer año el 29/30 de Mechir, [el 23/24 de Marzo de –134] después de la medianoche, más tarde respecto de aquel [en el año Egipcio], en el trigésimo segundo [año] por aproximadamente 2 ¾ días, siendo la misma cantidad dada por la suma de precisamente ¼ de día en cada uno de los 11 años intervinientes. Entonces, dado que ha sido demostrado que el Sol completa su revolución (medida con respecto a aquellos Equinoccios) en un tiempo ni más grande ni más pequeño que el intervalo de ¼ [de día del día 365], y ya que es imposible que Spica se mueva 1 ¼º por tan pocos números de años, seguramente es malicioso utilizar cálculos basados sobre los fundamentos anteriores para impugnar muchos de los fundamentos sobre los cuales ellos fueron basados. Es perverso atribuir el motivo de un increíblemente gran movimiento de Spica únicamente para los Equinoccios sobre los que están basados los cálculos (que simultáneamente vinculan a ambas asunciones, a aquellas que se observan en forma precisa, y a aquellas que han sido observadas imprecisamente), cuando son muchas las causas posibles para tan gran error. Es más válido suponer tanto, que las distancias de la Luna en los Eclipses hacia las estrellas más cercanas han sido también estimadas en forma imprecisa, o que allí ha habido un error o imprecisión en la determinación de la paralaje de la Luna con respecto a su posición aparente, o en el movimiento del Sol desde el Equinoccio hasta el instante del Eclipse medio.

Sin embargo, mi opinión es que el mismo Hiparco se dio cuenta que éste tipo de argumentos no brindan una evidencia persuasiva para la atribución de una segunda anomalía del Sol, pero su amor a la verdad lo llevó a no suprimir alguna cosa, que pudiera en algún sentido, conducir a algunas gentes [pensar que ésta fuera una anomalía]. De todos modos, él mismo, en sus teorías del Sol y de la Luna, asume que el Sol tiene una anomalía simple e invariable, el período en que la longitud del año [es] definida por [una vuelta hacia los mismos] Solsticios y Equinoccios. Además, cuando asumimos que el período de éstas revoluciones del Sol es constante, vemos que allí no hay nunca alguna diferencia significante entre el fenómeno observado en los Eclipses y aquellos calculados [según] lo supuesto anteriormente. Aún podría haber allí una diferencia perceptible si hubieron algunas correcciones debidas a la variación en la longitud del año, con las que no tuvimos en cuenta, incluso si aquellas correcciones fueran tan pequeñas como de un simple grado, que corresponde aproximadamente a dos horas Equinocciales..

De todas las consideraciones anteriores, y desde nuestra propia determinación del período de la revolución [solar], por medio de una serie de observaciones de la posición del Sol, concluimos que la longitud del año es constante, a condición de que éste está siempre definido con respecto al mismo criterio, y no con respecto a los puntos Solsticiales y Equinocciales en un mismo instante y a las estrellas fijas en otro. También concluimos que la definición más natural de la revolución es aquella en la que el Sol, comenzando desde un Solsticio o Equinoccio o algún punto sobre la Eclíptica, vuelve al mismo punto nuevamente. Y en general, lo consideramos como un buen principio para explicar el fenómeno por [medio de] la hipótesis más simple posible, en la medida en que no haya nada en las observaciones para proporcionar una objeción importante a tal procedimiento.

Ahora, nos fueron claras las demostraciones de Hiparco de que la longitud del año, definida con respecto a los Solsticios y a los Equinoccios, es menor que un ¼ de día excediendo los 365 días. La cantidad por la que ésta llega [a ser] más corta [de ¼ de día] no puede ser determinada con absoluta certeza, dado que la diferencia es tan pequeña que durante muchos años sucesivos el incremento [sobre los 365 días] sigue siendo sensiblemente el mismo como una constante de 1/4 de 1 día. Por lo tanto esto es posible, cuando se comparan observaciones tomadas sobre un largo período, aquellos días excedentes [sobre los 365], los cuales han de ser obtenidos distribuyendo [el excedente total] sobre los años del intervalo [entre las observaciones], pueden parecer ser los mismos si uno toma [las observaciones por sobre] un número mayor o menor de años. Sin embargo, comparado el tiempo más largo entre las observaciones, mayor será la precisión de la determinación del período de revolución. Ésta regla se mantiene [(guarda)] muy bien no sólo en éste caso, sino en todas las revoluciones periódicas. Un error debido a la inexactitud inherente incluso en observaciones realizadas cuidadosamente es, a los sentidos del observador, pequeña y aproximadamente la misma en alguna [de las dos] observaciones, si ellas son tomadas sobre un intervalo mayor o sobre uno pequeño. Sin embargo, éste mismo error, cuando distribuido sobre un número más pequeño de años, hace la inexactitud en el movimiento anual [comparativamente] mayor (y [por lo tanto incrementa] el error acumulado sobre un período de tiempo más largo), pero cuando distribuidos sobre un mayor número de años hace la inexactitud [comparativamente] menor. En consecuencia, debemos considerarlo suficiente si tratamos de tomar en cuenta sólo aquel incremento en la precisión de nuestras hipótesis concernientes a los movimientos periódicos que pueden ser derivados desde la longitud de tiempo entre nosotros y aquellas observaciones que tenemos, siendo ambas antiguas y precisas. No debemos, si podemos evitarlo, obviar el propio examen [de tales registros]; sino [tomarlos] como certezas aprobadas “para la eternidad”, o incluso para una longitud de tiempo, que es muchas veces aquella sobre la cual las observaciones han sido tomadas, debemos considerarlas extrañas para un amor a la ciencia y a la verdad.

Ahora, tan lejos importe la antigüedad [de las observaciones], los Solsticios de verano observados por la escuela de Metón y Euctemón, y, más tarde, por la escuela de Aristarco de Samos, merecen ser comparadas con aquellas de nuestra propia época. Sin embargo, dado que las observaciones de los Solsticios son, en general, duras de determinar en forma precisa, y dado que, además, las observaciones explicadas por las gentes anteriormente mencionadas fueron manipuladas con bastante imprecisión (como Hiparco también parece pensar), abandonamos aquellas, y hemos utilizado en cambio, para la comparación que proponemos, observaciones del Equinoccio, eligiendo entre ellas, en aras de la precisión, aquellas que Hiparco especialmente notó como muy seguras determinadas por él [mismo], y aquellas que nosotros mismos hemos realizado con la mayor precisión utilizando los instrumentos para tales propósitos descritos al comienzo de nuestro tratado (Libro I Capítulo 12).

Para ello encontramos que los Solsticios y los Equinoccios ocurren más temprano de lo que [uno pudiera esperar respecto del año de 365] ¼ días [y por] un día [más temprano] en aproximadamente 300 años.

Hiparco notó que en el trigésimo segundo año del Tercer Ciclo Calípico hizo una observación muy precisa del Equinoccio de otoño, y dijo que lo calculó ocurriendo a medianoche, entre el tercer-cuarto día epagomenal [26/27 de Septiembre del –146]. El año es el 178 avo. desde la muerte de Alejandro . 285 años más tarde, en el tercer año de Antonino Pío, siendo es el 463 avo. desde la muerte de Alejandro, observamos nuevamente, en forma precisa, que el Equinoccio de otoño ocurrió en el 9 de Athyr [26 de Septiembre del -139] , aproximadamente una hora después de la salida del Sol. Por lo tanto el período de una vuelta comprende, encima de 285 años Egipcios completos (estos son, años de 365 días), 70 ¼ días más aproximadamente 1/20 ava. [parte] de un día, en cambio de los 71 ¼ días correspondientes al ¼ día excedente de los [285] años de arriba. Por lo tanto su vuelta tomó lugar más temprano de lo que ésta podría haber ocurrido con el ¼ [del 365] día del año por un día menos por alrededor de 1/20 de día.

Similarmente, Hiparco dice que el Equinoccio de primavera en el mismo trigésimo segundo año del Tercer Ciclo Calípico, lo observó de [manera] muy precisa, tomó lugar el 27 de Mechir [24 de Marzo de –145] en el atardecer. El año es el 178 avo. desde la muerte de Alejandro. Hallamos que el Equinoccio de primavera correspondiente [ocurrió] 285 años más tarde, en el año 463 avo. desde la muerte de Alejandro, [y] tomó lugar el 7 de Pachon [22 de Marzo de 140] , aproximadamente 1 hora después del medio día. Por lo tanto éste período también comprende un incremento [cerca de 285 años Egipcios] de la misma cantidad, 70 ¼ + cerca de 1/20 días, en cambio de los 71 ¼ días correspondientes al ¼ día excedente de los 285 días. Aquí también, entonces, la vuelta del Equinoccio de primavera tomó lugar 19/20 avas.[partes] de un día, mucho antes de lo que tendría tomar con el ¼ [del día 365] de día del año. Por lo tanto, dado que

1 día / (19/20) de día = 300 / 285,

concluimos que la vuelta del Sol a los puntos Equinocciales toma lugar antes de lo que podría [ocurrir] con el ¼ de día [del día 365] anual, [y] por aproximadamente un día en 300 años.

Además, dada su antigüedad, si comparamos el Solsticio de verano observado por la escuela de Metón y Euctemón, (a través de alguno registrado imprecisamente), con el Solsticio que determinamos tan precisamente como fuera posible, obtendremos el mismo resultado. Aquel [Solsticio] fue registrado ocurriendo en el año cuando Apseudes fue el arconte de Atenas, o en el 21 de Phamenoth en el calendario Egipcio [27 de Junio de –431] , en el atardecer . Determinamos seguramente que [el Solsticio de verano] arriba mencionado, en el año 463 avo. desde la muerte de Alejandro, ocurrió en el 11/12 de Mesore [24/25 de Junio del 140] cerca de 2 horas luego de la medianoche. Ahora, allí hay 152 años (como contó Hiparco) desde el Solsticio de verano registrado en el arcontado de Apseudes hasta el Solsticio observado por la escuela de Aristarco en el quincuagésimo año del Primer Ciclo Calípico [-279], y desde aquel quincuagésimo año, que corresponde al 44 avo. año desde la muerte de Alejandro, hasta el 463 avo. año, en el que nuestra observación fue realizada, hay 419 años. Por lo tanto en todo el intervalo de 571 años, si el Solsticio de verano observado por la escuela de Euctemón tomó lugar alrededor del amanecer del 21 de Phamenoth, allí hay un incremento de aproximadamente 140 5/6 días sobre años Egipcios completos , en cambio de los 142 ¾ días correspondientes al ¼ día excedente para 571 años. Por lo tanto la vuelta en cuestión tomó lugar antes de lo que podría haber [ocurrido] con el ¼ día [del 365] anual por 1 11/12 días. Entonces, aquí también, es claro que en un período de 600 años la longitud del año [verdadera] acumula una disminución de aproximadamente 2 días completos comparado con el ¼ de día [del 365] anual.

Hallamos el mismo resultado desde un número de otras observaciones propias, y vemos que Hiparco está de acuerdo con ellas en más de una ocasión. En su trabajo “Sobre la longitud del año” compara el Solsticio de verano observado por Aristarco al final del quincuagésimo año del Primer Ciclo Calípico [-279] el que nuevamente él mismo ha determinado con precisión, al final del cuadragésimo tercer año del Tercer Ciclo Calípico [-134], y luego dice: "es claro, entonces, que sobre 145 años el Solsticio ocurre más temprano respecto de lo que tendría que suceder con un ¼ de día [del día 365] anual [y] por la mitad de la suma de la longitud del día y la noche”. Nuevamente, en [su trabajo] “En los meses y días intercalares” también, después de remarcado aquello de acuerdo con la escuela de Metón y Euctemon, la longitud del año comprende 365 ¼ + 1/76 días, pero de acuerdo con Calipo sólo 365 ¼ días, él comenta, con sus propias palabras, lo que sigue: “En cuanto a nosotros, hallamos el número de todos los meses comprendidos en 19 años, ser los mismos tal como ellos lo hallaron, aunque encontramos que el año es incluso menor que ¼ [de día pasados los 365], por aproximadamente 1/300 avas. partes de un día. Por lo tanto en 300 años su déficit [acumulado] es de 5 días comparados con el [esquema] de Metón, y 1 día comparado con el de Calipo”. Y cuando él más o menos resume sus opiniones en su lista de sus propias escrituras, dice: “Yo también he compuesto un trabajo sobre la longitud del año en un libro, en el que demuestro que el año solar (por el que me refiero al tiempo en que el Sol va desde un Solsticio regresando al mismo Solsticio, o desde un Equinoccio regresando al mismo Equinoccio) contiene 365 días, más una fracción que es menor de ¼ [de día] cerca de 1/300 ava. parte de la suma de un día y noche, y no, como los matemáticos suponen, exactamente ¼ de día superando el número [365] de días arriba mencionado”.

Por lo tanto creo que parecen estar claramente de acuerdo las observaciones actuales con las anteriores, que todos los fenómenos observados hasta el momento presente tienen que ver con la longitud del año solar de acuerdo con la cifra mencionada para una vuelta a los Solsticios o a los Equinoccios. Siendo esto así, si distribuimos el único día sobre los 300 años, cada año toma 12 segundos de un día. Substrayendo de ésta forma los 365;15 días del incremento de ¼ de día, tendremos la longitud del año requerida como de 365;14,48d. Entonces, luego, ésta es la aproximación más cercana posible que podemos derivar de los datos disponibles.

Ahora, con respecto a la determinación de las posiciones del Sol y de otros [cuerpos celestiales] para algún instante dado, donde la construcción de tablas individuales están diseñadas para darlas en forma práctica y por así decirlo de fácil lectura: pensamos que las tareas de los matemáticos y el objetivo deberían ser demostrados todos los fenómenos celestiales siendo creados por movimientos circulares uniformes, y que la forma tabular más apropiada y adecuada para ésta tarea es la que separa los movimientos uniformes individuales de los movimientos [anomalísticos] no uniformes que [sólo] parecen tomar lugar, y son [de hecho] debidos a los modelos circulares; las ubicaciones aparentes de los cuerpos son entonces visualizadas por la combinación de esos dos movimientos dentro de uno. Con el fin de tener éste tipo de tabla de tal forma que estará lista y será útil tenerla a mano para las pruebas presentes [que están por venir], ahora estableceremos los movimientos uniformes individuales del Sol del siguiente modo.

Dado que hemos demostrado que una revolución contiene 365;14,48d, dividiendo 360° del círculo por estos últimos [365;14,48d], hallamos el movimiento diario medio del Sol por aproximadamente 0;59,8,17,13,12,31º (será suficiente llevar a cabo divisiones de éste número [por ej. en 6] lugares sexagesimales).

Seguidamente, tomando la 1/24 ta. parte del movimiento diario, hallamos el movimiento por hora aproximadamente de 0;2,27,50,43,3,1º.

De manera parecida, multiplicamos el movimiento diario por 30, [siendo] el número de días en un mes, y tomar como el movimiento mensual medio de 29;34,8,36,36,15,30º; y, multiplicándolo por 365, [siendo] el número de días en un año egipcio, tenemos el movimiento anual medio de 359;45,24,45,21,8,35º.

Luego multiplicamos el movimiento anual por 18 años, dado que este número producirá una simetría en el esquema de las tablas , y, después de la reducción de círculos completos, hallamos el incremento en 18 años siendo de 355;37,25,36,20,34,30º.

Entonces establecemos tres tablas para el movimiento uniforme del Sol, nuevamente cada una contiene 45 líneas, y [también] cada una tiene dos secciones [verticales]. La primera tabla contendrá los movimientos medios a períodos de 18 años, la segunda contendrá los movimientos anuales arriba y los movimientos por hora debajo, y la tercera contendrá los movimientos mensuales arriba y los movimientos diarios debajo. Los números representando los tiempos estarán en la primera sección [por ej. a mano izquierda], y los grados correspondientes, obtenidos por suma sucesiva de la cantidad apropiada para cada [unidad de tiempo], en la segunda [sección, por ej. a mano derecha]. Las tablas son las siguientes:

Tablas del Movimiento Medio del Sol

Sobre la Hipótesis del Movimiento Circular Uniforme

Nuestra próxima tarea es demostrar la Anomalía Aparente del Sol. Pero primero debemos dedicarnos al punto general de que los movimientos hacia atrás de los planetas con respecto a los cielos son justamente, en cada caso, como los movimientos del Universo hacia adelante, de naturaleza uniforme y circular. Es decir, si imaginamos los cuerpos o sus círculos siendo transportados sobre [otro] círculo por líneas rectas [radios], en cada caso la línea recta en cuestión describe absolutamente ángulos iguales en tiempos iguales en el centro de su revolución. La irregularidad [anomalía] aparente en sus movimientos es el resultado de la posición y orden de cada uno de estos círculos en la esfera en medio de los cuales llevan a cabo sus movimientos, y en realidad allí no hay en esencia nada extraño que los fenómenos suponen exhibir como "desordenado" en su naturaleza eterna. La razón por la apariencia de irregularidades puede ser explicada por dos Hipótesis, que son las más básicas y sencillas. Cuando sus movimientos son observados con respecto a un círculo imaginado estando en el plano de la Eclíptica, cuyo centro coincide con el centro del Universo (por lo tanto su centro puede ser considerado coincidir con nuestro punto de vista), entonces podemos suponer, tanto que el Movimiento Uniforme de cada [cuerpo] toma lugar en un círculo que no es concéntrico con el [del] Universo, o tienen un círculo concéntrico, aunque toman lugar sus movimientos uniformes, no realmente sobre éste círculo, sino sobre otro círculo, que es transportado por el primer círculo, y [por lo tanto] es conocido como Epiciclo. Serán demostradas que ambas de éstas hipótesis permitirán [a los planetas], parecer ante nuestros ojos, recorrer arcos desiguales de la Eclíptica (que es concéntrica al Universo) en tiempos iguales.

Fig. 3.1

En las Hipótesis de las Excéntricas: [ver Fig. 3.1.] imaginamos el círculo excéntrico ABGD, sobre el cuál el cuerpo viaja [lo recorre] con un movimiento uniforme, con centro en E, con un diámetro AED, sobre el que el punto Z representa el observador. Por lo tanto A es el apogeo, y D el perigeo. Cortamos arcos iguales AB y DG, y unimos BE, BZ, GE y GZ. Entonces, es inmediatamente obvio que el cuerpo recorrerá los arcos AB y GD en tiempos iguales, pero [en el transcurso de su recorrido] parecerán haber atravesado arcos iguales de un círculo dibujado sobre el centro Z. Entonces

^ BEA = ^ GED.

pero ^ BZA < ^ BEA (o ^ GED),

y ^ GZD = ^ GED (o ^ BEA).

En la Hipótesis del Epiciclo: imaginamos [ver Fig. 3.2] el círculo ABGD concéntrico con la Eclíptica con centro en E, [y] de diámetro AEG, y el epiciclo transportado por él, sobre el cuál el cuerpo se mueve, como [el cículo] ZHΘK con centro en A.

Fig. 3.2

Entonces aquí también es inmediatamente obvio que, como el Epiciclo recorre el círculo ABGD con un Movimiento Uniforme, por decir, desde A hacia B, y como el cuerpo recorre el Epiciclo con un Movimiento Uniforme, entonces cuando el cuerpo está en los puntos Z y Θ, éste parecerá coincidir con A, el centro del Epiciclo, pero cuando éste está en otros puntos no [parecerá coincidir con A]. Entonces, cuando está, por ej. en H, su movimiento parecerá mayor que el Movimiento Uniforme [del Epiciclo] por el arco AH, y similarmente cuando está en K su movimiento parecerá menor que el uniforme por el arco AK.

Ahora, en ésta clase de Hipótesis de las concéntricas, la velocidad mínima siempre ocurre en el Apogeo y la mayor en el Perigeo, ya que el ^ AZB [en Fig. 3.1] es siempre menor que el ^ DZG. Pero en la Hipótesis Epicíclica ambas son posibles, ésta y la contraria. El movimiento del Epiciclo es hacia atrás con respecto a los cielos, a saber desde A hacia B (en Fig. 3.2). Ahora, si el movimiento del cuerpo sobre el Epiciclo es tal que éste también se mueve hacia atrás desde el Apogeo, es decir desde Z hasta H, la mayor velocidad ocurrirá en el Apogeo, dado que sobre aquel punto ambos, Epiciclo y el cuerpo, se están moviendo en la misma dirección. Pero si el movimiento del cuerpo desde el Apogeo es hacia adelante sobre el Epiciclo, esto es, desde Z hasta K, entonces la [Hipótesis] contraria ocurrirá: la mínima velocidad ocurrirá en el Apogeo, ya que en aquel punto del cuerpo se está moviendo en dirección opuesta al Epiciclo.

Habiendo establecido esto, próximamente deberemos realizar el punto adicional preliminar para que los cuerpos que exhiben una doble Anomalía, ambas Hipótesis de arriba puedan ser combinadas, tal como probaremos en nuestras discusiones [sobre] tales cuerpos, pero para un cuerpo que visualice una Anomalía invariable sencilla, será suficiente una hipótesis sencilla de las anteriormente [explicadas]; y [en este caso] todo el fenómeno estará representado, sin diferencia, por ambas hipótesis, proveyendo que las mismas relaciones son preservadas en ambas [hipótesis]. Por esto me refiero que la razón, en la Hipótesis Excéntrica, de la distancia entre el centro de visión y el centro de la Excéntrica sobre el radio de la excéntrica, debe ser la misma como la razón, en la Hipótesis de Epiciclo, del radio del epiciclo sobre el radio de la Deferente ; y además que el tiempo que toma el cuerpo, viajando hacia atrás, en recorrer la inamovible excéntrica, debe ser el mismo como el tiempo tomado por el Epiciclo, también viajando hacia atrás, en recorrer el círculo con el observador como centro [de la Deferente], mientras el cuerpo se mueve con igual velocidad [angular] alrededor del Epiciclo, pero de manera que su movimiento en el Apogeo [del Epiciclo] es hacia adelante.

Si éstas condiciones son cumplidas, el fenómeno idéntico resultará desde ambas Hipótesis. [Ahora] demostraremos brevemente comparando las relaciones en [forma] abstracta, y más tarde por medio de los presentes números le asignaremos a ellas la Anomalía del Sol . Digo entonces, primero, que en ambas hipótesis, la diferencia más grande entre el Movimiento Uniforme y el aparente, el Movimiento No Uniforme (que es también la posición hipotética de la velocidad media de los cuerpos) ocurre cuando la distancia aparente desde el apogeo comprende un cuadrante, y que el tiempo entre la posición del Apogeo y la posición de la velocidad media antes mencionada es mayor que el tiempo entre la velocidad media y [la posición] del Perigeo. Por lo tanto, siempre, para la Hipótesis de la Excéntrica y para la Hipótesis del Epiciclo, cuando el movimiento en el Apogeo es hacia adelante, el tiempo de la velocidad mínima hasta la media es mayor que el tiempo de la velocidad media hasta la mayor; en ambas Hipótesis el movimiento más lento toma lugar en el Apogeo. Pero [para las Hipótesis del Epiciclo] cuando el sentido de la revolución de un cuerpo es hacia atrás desde el Apogeo sobre el Epiciclo, lo contrario es válido: el tiempo de la velocidad mayor hasta la media es mayor que el tiempo desde la media hasta la menor, ya que en éste caso la velocidad mayor ocurre en el Apogeo.

Primero, entonces, [ver Fig. 3.3.] sea la excéntrica ABGD del cuerpo con centro en E, con diámetro AEG. Sobre éste diámetro tomar el centro de la Eclíptica, esto es, la posición del observador, en Z, y dibujar BZD a través de Z en ángulos rectos hasta AEG. Sean las posiciones del cuerpo B y D, entonces, obviamente, su distancia aparente desde el apogeo A es un cuadrante sobre ambos lados. Tenemos que probar que la diferencia más grande entre el movimiento medio y el anomalístico toma lugar en los puntos B y D.

Unir EB y ED.

Inmediatamente es obvio que la razón del ^ EBZ sobre 4 ángulos rectos [360°] es igual a la razón del arco de la diferencia debido a la anomalía sobre el círculo entero [de 360°]; el ^ AEB subtiende el arco del Movimiento Uniforme, y el ^ AZB subtiende el arco del Movimiento Aparente No Uniforme, y la diferencia entre ellos es el ^ EBZ.

Digo, entonces, que ningún ángulo mayor que esos dos [el ^ EBZ y el ^ EDZ] puede ser construido sobre la línea EZ en la circunferencia del círculo ABGD.

[Demostración:] Construir en los puntos Θ y K los ángulos EΘZ y EKZ, y unir ΘD, [y] KD. Entonces, dado que en cualquier triángulo, el mayor lado subtiende el ángulo mayor ,

y ΘZ > ZD,

en consecuencia ^ ΘDZ > ^ DΘZ.

pero ^ EDΘ = ^ EΘD,

Ya que EΘ = ED [radio].

Por lo tanto, por adición,

^ EDZ (= ^ EBD) > ^ EΘZ.

Fig. 3.3

nuevamente, dado que DZ > KZ,

^ ZKD > ^ ZDK.

pero ^ EKD = ^ EDK,

ya que EK = ED.

Por lo tanto, por sustracción

^ EDZ (= ^ EBZ) > ^ EKZ.

Por lo tanto es imposible que cualquier otro ángulo mayor que los [ángulos] en los puntos B y D, sea construido por el camino [ya] definido.

Simultáneamente está probado que el arco AB, que representa el tiempo desde la menor velocidad hasta la media, excede [el arco] BG, que representa el tiempo desde la velocidad media a la mayor, por dos veces el arco que comprende la ecuación de la anomalía. El ^ AEB excede un ángulo recto (el ^ EZB) por el ^ EBZ, y el ^ BEG poco menos que un ángulo recto por la misma cantidad.

Nuevamente, probar el mismo teorema para las otras hipótesis, sea [Fig. 3.4] el círculo ABG concéntrico con el Universo, con centro en D y el diámetro ADB, sea el epiciclo EZH sobre el centro A, siendo transportado alrededor de aquel [ABG] sobre el mismo plano. Supongamos el cuerpo estando en H cuando su distancia aparente desde el apogeo es [igual a] un cuadrante. Unir AH y DHG.

Fig. 3.4

Y digo que DHG es tangente al Epiciclo; ésta es la posición en la que la diferencia entre el Movimiento Uniforme y el Anomalístico, es mayor.

[Demostración:] El movimiento medio, contado desde el Apogeo, está representado por el ^ EAH; el cuerpo recorre el Epiciclo con la misma velocidad [angular] tal como el Epiciclo recorre el círculo ABG. Además la diferencia entre el Movimiento Medio y el Aparente está representada por el ^ ADH. Por lo tanto está claro que la cantidad por la que el ^ EAH excede el ^ ADH (a saber el ^ AHD) representa la distancia aparente del cuerpo desde el Apogeo. Aunque ésta distancia es, por Hipótesis, un cuadrante. Por lo tanto el ^ AHD es un ángulo recto, y en consecuencia la línea DHG es tangente al Epiciclo EZH. Por consiguiente, el arco AG es la diferencia mayor posible debido a la Anomalía, dado que éste comprende la distancia entre el centro A y la tangente.

Por el mismo razonamiento, el arco EH, de acuerdo con el sentido de la rotación sobre el Epiciclo aquí asumido, representa el tiempo de la velocidad menor hasta la media, excediendo el arco HZ, que representa el tiempo de la velocidad media hasta la mayor, por dos veces el arco AG. Si prolongamos DH a Θ y dibujamos AKΘ en ángulo recto a EZ,

^ KAH = ^ ADG

y arco KH = arco AG

Y el arco EKH es mayor que un cuadrante por el arco KH, mientras el arco ZH es menor que un cuadrante por el arco KH.

Lo que se ha requerido para examinar.

Fig. 3.5

También es válido que los mismos efectos serán generados por ambas Hipótesis si uno toma un movimiento parcial sobre la misma extensión de tiempo para ambas, [y] si uno considera el Movimiento Medio o el Aparente, o la diferencia entre ellos, siendo la Ecuación de la Anomalía. El mejor camino para ver esto es el siguiente.

[Ver Fig. 3.5.] Sea el círculo ABG con centro en D concéntrico con la Eclíptica, y sea el círculo EZH excéntrico con centro en Θ pero igual al concéntrico ABG. Sea el diámetro en común a través de sus centros D y Θ y el apogeo E en EAΘD. Cortar al azar un arco AB en la concéntrica, y dibujar el Epiciclo KZ con centro en B y radio DΘ. Unir KBD.

Digo que el cuerpo será transportado por ambos tipos de movimientos [por ej. de acuerdo a ambas Hipótesis] hasta el punto Z, la intersección de la Excéntrica y del Epiciclo, en el mismo instante en todos los casos (esto es, los tres arcos, EZ sobre la Excéntrica, AB sobre la concéntrica, y KZ sobre el Epiciclo, son todos similares), y que la diferencia entre los Movimientos Uniformes y Anomalísticos, y las posiciones aparentes del cuerpo, llegarán a ser únicas y las mismas de acuerdo con ambas Hipótesis.

[Demostración:] Unir ZΘ, BZ y DZ.

Dado que, en el cuadrilátero BDΘZ,

los lados opuestos son iguales, ZΘ hacia BD y BZ hacia DΘ,

BDΘZ es un paralelogramo.

Por lo tanto ^ EΘZ = ^ ADB = ^ ZBK.

Por lo tanto, ya que ellos son ángulos [sus vértices] en el centro [de los círculos], son también similares a los arcos subtendidos por ellos, por ej.

Arco EZ de la excéntrica || arco AB de la excéntrica || arco KZ del epiciclo.

Por lo tanto el cuerpo será transportado en el mismo instante por ambos tipos de movimientos hasta el mismo punto Z, y parecerá haber recorrido el mismo arco AL de la Eclíptica desde el Apogeo, y por consiguiente la Ecuación de la Anomalía será la misma en ambas Hipótesis; demostramos que ésta Ecuación está representada por el ^ DZΘ en la Hipótesis de la Excéntrica y por el ^ BDZ en la Hipótesis del Epiciclo, y esos dos ángulos son alternos e iguales, dado que, como hemos demostrado, ZΘ es paralela a BD.

Es obvio que los mismos resultados se mantendrán bien para todas las distancias [del cuerpo desde el Apogeo]. Para el cuadrilátero ΘDZB siempre será un paralelogramo, y [por lo tanto] el movimiento del cuerpo sobre el Epiciclo actualmente [en ese instante] describirá un círculo Excéntrico, siendo similares sus razones dadas y sus miembros iguales en ambas Hipótesis.

Además, si incluso los miembros son en tamaño distintos, sus relaciones provistas son similares, el fenómeno resultará [ser] el mismo. Esto puede ser demostrado del siguiente modo.

Como antes [ver Fig. 3.6] sea el círculo ABG concéntrico representando el Universo con centro en D y el diámetro ADG, sobre el cual el cuerpo alcanza la posición del Apogeo y el Perigeo. Sea el Epiciclo dibujado sobre el punto B, a una distancia arbitraria, [y] el arco AB desde el Apogeo A. Sea el arco EZ recorrido por el cuerpo [sobre el Epiciclo], que es, obviamente, similar a AB, dado que las revoluciones en [ambos] círculos tienen el mismo período. Unir DBE, BZ, DZ.

Fig. 3.6

Ahora, inmediatamente es obvio que, de acuerdo con estas hipótesis [de los Epiciclos], el ^ ADE será siempre igual al ^ ZBE, y el cuerpo parecerá yacer sobre la línea DZ.

Pero digo que el cuerpo también parecerá ubicarse sobre la misma línea DZ de acuerdo con la Hipótesis de la Excéntrica, si la Excéntrica es mayor o menor que la concéntrica ABG, con la única condición de que uno asuma que las razones son similares y que los períodos de revolución son los mismos.

[Demostración:] Sea la excéntrica HΘ con centro en K ([el cuál debe ubicarse] sobre AG), [y] dibujada bajo las condiciones que hemos descrito, [siendo] mayor [que la concéntrica ABG], y LM con centro en N (éste también [debe ubicarse sobre AG]), [siendo] más pequeña [que la concéntrica ABG].

Prolongar DZ como DMZΘ,

y DA como DLAH,

y unir ΘK y [//] MN.

Entonces dado que

DB / BZ = ΘK / KD = MN / ND [por hipótesis],

y ^ BZD = ^ MDN (ya que DA es paralela a BZ);

Los tres triángulos [ZDB, DΘK, DMN] son iguales en ángulos,

y ^ BDZ = ^ DΘK = ^ DMN (ángulos subtendidos por lados correspondientes).

Por lo tanto DB, ΘK y MN son paralelos,

en consecuencia ^ ADB = ^ AKΘ = ^ ANM.

Y dado que esos ángulos están en los centros de sus [respectivos] círculos, también los arcos sobre ellos [(círculos)], AB, HΘ y LM, serán similares.

Entonces es cierto, no sólo que [el cuerpo] en el epiciclo haya recorrido el arco AB en el mismo tiempo como lo ha recorrido el arco EZ, sino que también haya recorrido los arcos HΘ y LM sobre las Excéntricas en ese mismo instante; por lo tanto en cada caso [el cuerpo] será visto a lo largo de la misma línea DMZΘ, de acuerdo con la [Hipótesis] del Epiciclo sobre el punto Z, de acuerdo a la Excéntrica más grande sobre el punto Θ, y de acuerdo con la Excéntrica más pequeña sobre el punto M. Lo mismo será cierto en todas las posiciones.

Una futura consecuencia es aquella donde la distancia aparente del cuerpo desde el apogeo [en un instante dado] es igual a su distancia aparente desde el perigeo [sobre otro], la Ecuación de la Anomalía será la misma en ambas posiciones.

Fig. 3.7

[Demostración:] En la Hipótesis de la Excéntrica [ver Fig. 3.7], dibujamos un círculo Excéntrico ABGD con centro en E y diámetro AEG a través del apogeo A. Supongamos que el observador está ubicado en Z, y dibujamos una [cuerda] arbitraria BZD a través de Z, y unir EB y ED. Entonces las posiciones aparentes [del cuerpo en B y D] serán iguales y opuestas, esto es, el ángulo AZB desde el Apogeo [que] será igual y opuesto al ángulo GZD desde el Perigeo; y la Ecuación de la Anomalía será la misma [en ambos casos], dado que

dado que BE = ED,

y ^ EBZ = ^ EDZ.

Entonces el arco [AB] del Movimiento Medio contado desde el Apogeo A, excederá al arco del movimiento aparente (por ej. el arco subtendido por el ángulo AZB) por la misma Ecuación [igual al ^ EBZ] tal como el arco del Movimiento Medio contado desde el Perigeo G es excedido por el arco del movimiento aparente (por ej. el arco [igual] subtendido por el ^ GZD). Para

^ AEB > ^ AZB,

y ^ GED < ^ GZD.

Fig. 3.8

En la Hipótesis del Epiciclo [ver arriba Fig. 3.8], si dibujamos como antes, la concéntrica ABG con centro en D y el diámetro ADG, y el epiciclo EZH sobre la excéntrica A, dibujamos una línea arbitraria DHBZ, y unimos AZ y AH, entonces el arco AB representando la Ecuación de la Anomalía, será el mismo en ambas posiciones, por ej. si el cuerpo está en Z o en H. Y la distancia del cuerpo desde el punto sobre la Eclíptica correspondiente al Apogeo cuando éste está en Z será igual a su distancia desde el punto correspondiente hasta el Perigeo cuando éste está en H. El arco de su distancia aparente desde el Apogeo está representado por el ^ DZA, dado que, como demostramos, ésta es la diferencia entre el Movimiento Medio y la Ecuación de la Anomalía. Y el arco de su distancia aparente desde el Perigeo está representado por el ^ ZHA (también para esto, es igual al Movimiento Medio desde el Perigeo más la Ecuación de la Anomalía).

pero ^ DZA = ^ ZHA,

y AZ = AH.

Por lo tanto aquí también concluimos que el Movimiento Medio excede al Aparente cerca del Apogeo (por ej. el ^ EAZ excede al ^ AZD) por la misma Ecuación (a saber el ^ ADH) tal como el Movimiento Medio es excedido por el (mismo) Movimiento Aparente (por ej. el ^ HAD por el ^ AHZ) cerca del Perigeo.

Lo que se ha requerido para examinar.

Sobre la Anomalía Aparente del Sol

Habiendo establecido anteriormente los teoremas preliminares, debemos agregar una futura tesis preliminar concerniente a la Anomalía Aparente del Sol. Ésta tiene que ser sólo una Anomalía, de tal tipo en donde el tiempo tomado desde la velocidad mínima hasta la media siempre será mayor que el tiempo desde la velocidad media hasta la mayor, para ello encontramos que ella está de acuerdo con el fenómeno. Ahora, esto podría representar ambas de las Hipótesis descritas anteriormente, aunque en el caso de la Hipótesis del Epiciclo el Movimiento del Sol sobre el arco del Apogeo del Epiciclo tendría que estar después [de lo siguiente].

Sin embargo, podría verse más razonable, asociarlo con la Hipótesis de la Excéntrica ya que ésta es más simple y se realiza por medio de un movimiento en cambio de dos.

Nuestra primera tarea es encontrar la razón de la Excentricidad del círculo [órbita] del Sol, esto es, la razón en la que la distancia entre el centro de la Excéntrica y el centro de la Eclíptica (localizada en el [lugar del] observador) da [como resultado] el radio de la Excéntrica. Debemos también hallar el grado de la Eclíptica sobre el cuál se ubica el Apogeo de la Excéntrica.

Estos problemas han sido resueltos por Hiparco con gran cuidado. Él asume que el intervalo desde el Equinoccio de primavera hasta el Solsticio de verano es de 94 ½ días, y que el intervalo desde el Solsticio de verano hasta el equinoccio de otoño es de 92 ½ días, y entonces, con esas observaciones como sus únicos datos [que él posee], demuestra que la línea del segmento entre los centros arriba mencionados [de la Excéntrica y la Eclíptica] es de aproximadamente 1/24 partes del radio de la Excéntrica, y que el apogeo está aproximadamente a 24 ½º (donde la Eclíptica está dividida por 360º) por delante del Solsticio de verano. Nosotros también, en nuestro (propio) tiempo [(por el de Ptolomeo)], encontramos aproximadamente los mismos valores para los tiempos [que toma el Sol en recorrer] los cuadrantes arriba mencionados, y para aquellas relaciones. Por lo tanto, está claro para nosotros que la Excéntrica del Sol siempre mantiene la misma posición relativa en los puntos Solsticiales y Equinocciales.

En orden de no obviar éste tema, sino más bien mostrar el teorema trabajado de acuerdo con nuestra propia solución numérica, también resolveremos el problema para la excéntrica, utilizando los mismos datos observados, a saber, como los ya establecidos, en los que el intervalo desde el Equinoccio de primavera hasta el Solsticio de verano comprende 94 ½ días, y que desde el Solsticio de verano hasta el Equinoccio de otoño, 92 ½ días. Nuestras observaciones muy precisas de [un] Equinoccio y de [un] Solsticio en el 463 er. año desde la muerte de Alejandro, se confirman los totales de los días en esos intervalos: tal como hemos dicho Libro III Capítulo 2, el Equinoccio de otoño ocurrió el 9 de Athyr [III] [26 Septiembre del 139], después de la salida del Sol, el Equinoccio de primavera el 7 de Pachon [IX] [22 de Marzo del 140], después del mediodía (por lo tanto el intervalo [entre ellos] es 178 ¼ días), y el Solsticio de verano entre el 11/12 de Mesore [XII], [24/25 de Junio del 140], después de medianoche. Por lo tanto éste intervalo, desde el Equinoccio de primavera hasta el Solsticio de verano, comprende 94 ½ días, lo que deja aproximadamente 92 ½ días para completar el año; éste número representa el intervalo desde el Solsticio de verano hasta el siguiente Equinoccio otoñal.

[Ver Fig. 3.9] Sea la eclíptica ABGD con centro en E. En ella dibujamos dos diámetros, AG y BD, cada uno en ángulos rectos, a través de los puntos Solsticiales y Equinocciales. Sea A que representa el [Equinoccio] de primavera, B el [Solsticio] de verano, y así sucesivamente en orden.

Fig. 3.9

Ahora es claro que el centro de la Excéntrica estará ubicado entre las líneas EA y EB. El semicírculo ABG comprende más de la mitad de la longitud de un año, y por lo tanto corta más que un semicírculo de la Excéntrica; y el cuadrante AB también comprende un tiempo más largo y corta un arco mayor de la Excéntrica que el cuadrante BG. Siendo esto así, sea Z el punto que representa el centro de la Excéntrica, (y) dibujar el diámetro a través de ambos centros y el apogeo EZH. Con centro en Z y un radio arbitrario dibujar la Excéntrica del Sol ΘKLM, y dibujar a través de Z las líneas NXO paralela a AG y la PRS paralela a BD. Dibujar la perpendicular ΘTY desde Θ a NXO y la perpendicular KFQ desde K hacia PRS.

Ahora dado que el Sol atraviesa el círculo ΘKLM con movimiento uniforme, éste recorrerá el arco ΘK en 94 ½ días, y el arco KL en 92 ½ días. En 94 ½ días su Movimiento Medio es de aproximadamente 93;9º, y en 92 ½ días 91;11º.

Por lo tanto, Arco ΘKL = 184;20º

y, por sustracción del semicírculo NPO [del arco ΘKL],

Arco NΘ + arco LO [= 184;20º - 180º] = 4;20º

Entonces Arco ΘNY = 2 * arco ΘN = 4;20º también,

en consecuencia ΘY = cuerda arco ΘNY ≈ 4;32p (*)

y EX = ΘT = ½ ΘY = 2;16p (*)

(*) donde el diámetro de la excéntrica es = 120p,

Ahora ya que Arco ΘNPK = 93;9º,

y Arco ΘN = 2;10º

y cuadrante NP = 90º,

por sustracción, Arco PK = 0;59º,

y Arco KPQ = 2 * arco PK = 1;58º.

en consecuencia KFQ = cuerda arco KPQ = 2;4p, (*)

y ZX = KF = ½ KFQ = 1;2p (*)

(*) donde el diámetro de la excéntrica = 120p.

Y hemos demostrado que

EX = 2;16p en las mismas unidades.

Ahora dado que EZ ^ 2 = ZX ^ 2 + EX ^ 2,

EZ ≈ 2;29 1/2p

Donde el radio de la excéntrica es = 60p.

Por lo tanto el radio de la Excéntrica es aproximadamente 24 veces la distancia entre los centros de la Excéntrica y de la Eclíptica.

Ahora, ya que EZ / ZX = 2;29 ½ / 1;2,

ZX será alrededor de 49;46p donde la hipotenusa EZ es = 120p.

Por lo tanto, en el círculo alrededor del triángulo rectángulo EZX,

Arco ZX ≈ 49º.

en consecuencia ^ ZEX = 49ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº

en consecuencia ^ ZEX = 24;30º donde 4 ángulos rectos = 360º.

Entonces, dado que el ^ ZEX es un ángulo en el centro de la Eclíptica [(ADGB)], el arco BH es también de 24;30º, que es la cantidad por la que el Apogeo en H, está por delante del Solsticio de verano B.

Además, dado que los cuadrantes OS y SN son cada uno de 90º,

y Arco OL = arco ΘN = 2;10º,

y Arco MS = 0;59º,

en consecuencia Arco LM = 86;51º,

y Arco MΘ = 88;49º.

pero el Sol viaja en su Movimiento Uniforme recorriendo

86;51º cerca 88 1/8 días,

y 88;49º cerca de 90 1/8 días.

Por lo tanto está claro que el Sol recorrerá el arco GD, que se extiende desde el Equinoccio hasta el Solsticio de invierno, por alrededor de 88 1/8 días, y el arco DA, que se extiende desde el Solsticio de invierno hasta el Equinoccio de primavera, cerca de 90 1/8 días. Las conclusiones anteriores están de acuerdo con lo que decía Hiparco.

Utilizando esas cantidades, entonces, permitámonos ver primero que la mayor diferencia entre los Movimientos Medio y Anomalístico exista, y en qué puntos ocurrirá.

[Ver Fig. 3.10] Sea el círculo Excéntrico ABG con centro en D y el diámetro ADG a través del Apogeo A, sobre el cual E representa el centro de la Eclíptica.

Dibujar EB en los ángulo recto hasta AG, y unir DB.

Ahora dado que, donde BD, [es] el radio, [e] igual a 60p, DE, la Excentricidad, igual a 2;30p (de acuerdo a la razón 24 / 1), [entonces] en el círculo alrededor del triángulo rectángulo BDE,

DE = 5p donde la hipotenusa BD = 120p,

y Arco DE ≈ 4;46º.

Por lo tanto el ^ DBE, que representa la Mayor Ecuación de la Anomalía,

= 4;46ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº

= 2;23º donde 4 ángulos rectos = 360º.

En las mismas unidades, el ángulo recto BED = 90º,

y ^ BDA = ^ DBE + ^ BED = 92;23º.

Fig. 3.10

Por lo tanto, dado que el ^ BDA está en el centro de la Excéntrica y el ^ BED está en el centro de la Eclíptica, concluimos que la Mayor Ecuación de la Anomalía es de 2;23º, y la posición donde ésta ocurre es a 92;23º desde el Apogeo, medido a lo largo de la Excéntrica con Movimiento Uniforme, y (como probamos en un principio) un cuadrante, o 90º [desde el apogeo], medido a lo largo de la Eclíptica en Movimiento Anomalístico. Es obvio desde nuestros previos resultados que en el semicírculo opuesto , la velocidad media y la Mayor Ecuación de la Anomalía ocurrirá en los 270º del Movimiento Aparente, y en los 267;37º del Movimiento Medio sobre la Excéntrica.

Ahora queremos utilizar los cálculos numéricos, como prometimos en el Libro III Capítulo 4 (Fig. 3.2 y 3.3), y demostrar que uno también deriva las mismas cantidades desde las Hipótesis del Epiciclo, y dadas las mismas razones, éstas se mantienen [iguales] según el camino que [ya] explicamos.

[Ver Fig. 3.11] Sea el círculo ABG con centro en D y diámetro ADG, concéntrico a la Eclíptica, y el círculo del Epiciclo EZH sobre el centro A. Desde D dibujar una tangente hasta el Epiciclo, DZB, y unir AZ. Entonces, como antes, en el triángulo rectángulo ADZ, AD es 24 veces AZ, de modo que, en el círculo alrededor del triángulo rectángulo ADZ, AZ es, nuevamente, de 5p donde la hipotenusa AD es de 120p, y el arco sobre AZ es de 4;46º.

en consecuencia ^ ADZ = 4;46ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.

en consecuencia ^ ADZ = 2;23º donde 4 ángulos rectos = 360º.

Fig. 3.11

Por lo tanto, la Mayor Ecuación de la Anomalía, a saber el arco AB, ha sido hallada ser de 2;23º, también aquí de acuerdo con [el previo resultado], y el arco del Movimiento Anomalístico es de 90º, dado que representado por el ángulo recto AZD, mientras el arco del Movimiento Medio, que está representado por el ^ EAZ, es nuevamente de 92;23º.

Sobre la construcción de una tabla para subdivisiones individuales de la Anomalía

En orden de permitirle a uno determinar el Movimiento Anomalístico sobre alguna de las subdivisiones [del círculo], por ambas hipótesis demostraremos nuevamente como podemos calcular las otras [subdivisiones restantes] dado uno de los arcos en cuestión.

[Ver Fig. 3.12.] Primero, sea ABG el círculo con centro en D concéntrico a la Eclíptica, la Excéntrica EZH con centro en Θ, y sea EAΘDH el diámetro a través de ambos centros y del Apogeo E. Cortar el arco EZ, y unir ZD, ZΘ. Primero, sea dado el arco EZ, por ej. de 30º.

Fig. 3.12

Prolongar ZΘ y eliminar DK, la perpendicular a él desde D.

Entonces, dado que el arco EZ es, por hipótesis, de 30º.

^ EΘZ = ^ DΘK = 30º donde 4 ángulos rectos = 360º

^ EΘZ = ^ DΘK = 60ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.

Por lo tanto, en el círculo alrededor del triángulo rectángulo DΘK,

Arco DK = 60°

y el arco KΘ = 120° (suplementario).

En consecuencia las cuerdas correspondientes

Arco DK = 60p donde la hipotenusa DΘ = 120p.

y KΘ = 103;55p donde la hipotenusa DΘ = 120p.

Por lo tanto, donde

DΘ = 2;30p y el radio ZΘ = 60p,

DK = 1;15p y ΘK = 2;10p.

Por lo tanto, por adición [de ΘK al radio ZΘ],

KΘZ = 62;10p.

Ahora ya que DK ^2 + KΘZ ^2 = ZD ^2,

la hipotenusa ZD ≈ 62;11p.

Por lo tanto, donde ZD = 120p, DK = 2;25p,

y, en el círculo donde el triángulo rectángulo ZDK,

el Arco DK = 2;18º.

en consecuencia ^ DZK = 2;18ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº

en consecuencia ^ DZK = 1;9º donde 4 ángulos rectos = 360º.

Esto [1;9º] será la cantidad de la ecuación de la anomalía en esa posición.

Y el ^ EΘZ fue tomado como de 30º.

Por lo tanto, por sustracción, el ^ ADB es igual a 28;51º (que es igual al arco AB de la Eclíptica).

Además; si es dado alguno de los otros ángulos [relevantes, en cambio del ^ EΘZ], los ángulos restantes serán dados de inmediato, como es evidente, si en la misma figura [ver Fig. 3.13] eliminamos la perpendicular ΘL desde Θ hasta ZD.

Fig. 3.13

Supongamos primero que es dado el arco AB de la Eclíptica, por ej. el ^ ΘDL. Entonces la razón DΘ / ΘL será dada . Y ya que también es dada [la reazón] DΘ / ΘZ, lo será la ΘZ / ΘL . Por lo tanto el ^ ΘZL, Ecuación de la Anomalía, será dada , y también lo será el ^ EΘZ, por ej. el arco EZ de la Excéntrica.

(Segundo) o supongamos que es dada la Ecuación de la Anomalía, por ej. el ^ ΘZD: tomaremos, entonces, los mismos resultados en orden inverso. Desde el ^ ΘZD será dada la razón ΘZ / ΘL, y la [razón] ΘZ / ΘD fue determinada al principio. En consecuencia DΘ / ΘL será dada, y por lo tanto el ^ ΘDL, por ej. del arco AB de la Eclíptica, y [por ende] el ^ EQZ, por ej. del arco EZ de la Excéntrica.

Seguidamente [ver fig. 3.14] sea el círculo ABG con centro en D y diámetro ADG concéntrico con la Eclíptica, y sea el Epiciclo EZHΘ con centro en A (en la misma razón [al círculo ABG como la Excentricidad de la Excéntrica]). Cortar el arco EZ y unir ZBD y ZA. Nuevamente sea el arco EZ tomado por la misma cantidad de 30º. Eliminar la perpendicular ZK desde Z hasta AE.

Fig. 3.14

Dado que el Arco EZ = 30º,

^ EAZ = 30º donde 4 ángulos rectos = 360º

^ EAZ = 60ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.

Por lo tanto, en el círculo alrededor del triángulo rectángulo AZK [inscripto]

Arco ZK = 60º

y Arco AK = 120º (suplementario).

En consecuencia, las cuerdas correspondientes

ZK = 60p donde el diámetro AZ = 120p.

Y KA = 103;55p donde el diámetro AZ = 120p.

Por lo tanto donde la hipotenusa AZ = 2;30p y el radio AD = 60p

ZK = 1;15p, KA = 2;10p,

y, por adición, KAD = 62;10p.

Y dado que ZK ^2 + KD ^2 = ZBD ^2,

ZD = 62;11p, donde ZK = 1;15p. Entonces donde la hipotenusa DZ = 120p, ZK = 2;25p, y, en el círculo alrededor del triángulo rectángulo DZK, Arco ZK = 2;18º.

en consecuencia ^ ZDK = 2;18ºº donde 4 ángulos rectos = 360ºº

en consecuencia ^ ZDK = 1;9º donde 2 ángulos rectos = 360º.

Nuevamente, ésta es la cantidad de la Ecuación de la Anomalía, que está representada por el arco AB.

Y el ^ EAZ fue tomado como de 30º.

Por lo tanto, por sustracción, el ^ AZD, que representa el arco del Movimiento Aparente sobre la Eclíptica, es de 28;51º.

Estas cantidades están de acuerdo con las que hallamos en la Hipótesis de la Excéntrica.

Si aquí también algún otro ángulo es dado [en cambio del ^ EAZ], los ángulos restantes serán dados, [como puede ser visto] en la misma figura [ver Fig. 3.15] si la perpendicular AL es eliminada desde A hasta DZ.

Fig. 3.15

Pero si tomamos primero, como antes, el arco del movimiento aparente sobre la Eclíptica, por ej. dado el ^ AZD, desde éste será dada la rezón ZA / AL. Y ya que [la razón] ZA / AD fue dada al principio, lo será [también] DA / AL. Por lo tanto el ^ ADB será dado, por ej. el arco AB, arco de la Ecuación de la Anomalía, y también lo será el ^ EAZ, por ej. el arco EZ del Epiciclo.

Segundo, si tomamos la Ecuación de la Anomalía, por ej. dado el ^ ADB, entonces, por el mismo camino pero en orden inverso, desde éste [ángulo] será dada [la razón] AD / AL; y ya que DA / AZ fue determinada al principio, lo será también ZA / AL y por lo tanto será dado el ^ AZD, que corresponde al arco del movimiento aparente sobre la Eclíptica, y también será dado el ^ EAZ, ej. desde el arco EZ del Epiciclo.

Tomemos nuevamente la figura anterior de la Excéntrica [ver Fig. 3.16], y cortar desde H, el Perigeo de la Excéntrica, [es decir] el arco HZ que nuevamente tomaremos como de 30º. Unir DZB y ZΘ, y eliminar la perpendicular DK desde D hasta ΘZ.

Fig. 3.16

Luego dado que el arco ZH es = a 30º,

^ ZΘH = 30º donde 4 ángulos rectos = 360º

^ ZΘH = 60º donde 2 ángulos rectos = 360ºº.

Por lo tanto en el círculo alrededor del triángulo rectángulo DΘK,

Arco DK = 60º

y Arco KΘ = 120º (suplemento).

Por lo tanto las cuerdas correspondientes

DK = 60p donde el diámetro DΘ = 120p.

y KΘ = 103;55p donde el diámetro DΘ = 120p.

Por lo tanto donde la hipotenusa DΘ = 2;30p y el radio ΘZ = 60p,

DK = 1;15p y ΘK = 2;10p,

y KZ = 57;50p por sustracción [de ΘK desde ΘZ]

Y ya que DZ ^ 2 = DK ^ 2 + KZ ^ 2,

DZ ≈ 57;51p donde DK = 1;15p.

Por lo tanto donde la hipotenusa

DZ = 120p, DK = 2;34p.

Y, en el círculo alrededor del triángulo rectángulo DZK,

Arco DK = 2;27º.

en consecuencia ^ DZK = 2;27ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº

en consecuencia ^ DZK = 1;14º (aproximadamente) donde 4 ángulos rectos = 360º.

Estos [1;14º], son entonces, la Ecuación de la Anomalía.

Y dado que el ^ ZΘH fue tomado como de 30º, por adición, el ^ BDG, por ej. el arco GB de la Eclíptica, es igual a 31;14º.

Aquí también, en el mismo sentido [como antes], [ver Fig. 3.17] prolongamos BD y eliminamos ΘL hacia él.

Fig. 3.17

Entonces, si, primero, tomamos el arco GB de la Eclíptica, por ej. dado el ^ ΘDL, desde éste será dada la razón DΘ / ΘL. Y ya que ΘD / ΘZ fue también determinada en el comienzo, será dada ZΘ / ΘL. Por lo tanto, tendremos dados los ángulos

^ ΘZD, por ej. la Ecuación de la Anomalía y el ^ ZΘD, por ej. el arco HZ de la Excéntrica.

O si, (segundo), tomamos la Ecuación de la Anomalía, por ej. dado el ^ ΘZD, entonces, recíprocamente, desde éste será dada [la razón] ZΘ / ΘL. Y ya que ZΘ / ΘD fue también dada al comienzo, lo será DΘ / ΘL. Por lo tanto tendremos, como ángulos dados,

el ^ ΘDL, que corresponde al arco GB de la Eclíptica y el ^ ZΘH, por ej. el arco HZ de la Excéntrica.

Similarmente, en la figura anterior de la Excéntrica y del Epiciclo [ver Fig. 3.18], cortamos el arco ΘH desde el Perigeo, por la misma cantidad de 30º, [y] unir AH y DHB, y eliminamos la perpendicular HK desde H hasta AD.

Entonces, dado que el arco ΘH es nuevamente de 30º,

^ ΘAH = 30º donde 4 ángulos rectos = 360º

^ ΘAH = 60ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.

Por lo tanto en el triángulo rectángulo HKA, [inscripto] en el círculo

Arco HK = 60º

y Arco AK = 120º (suplementario).

Fig. 3.18

Por lo tanto las cuerdas correspondientes

HK = 60p. donde la hipotenusa AH = 120p.

y AK = 103;55p. donde la hipotenusa AH = 120p.

Por lo tanto donde AH = 2;30p y el radio AD = 60p,

HK = 1;15p, AK = 2;10p y KD = 57;50p, por sustracción.

y ya que HK ^ 2 + KD ^ 2 = DH ^ 2,

DH ≈ 57;51p donde KH = 1;15p.

Por lo tanto donde la hipotenusa DH = 120p

HK = 2;34p,

Y, en el círculo siendo DHK, el arco HK = 2;27º.

en consecuencia ^ HDK = 2;27ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº

en consecuencia ^ HDK = 1;14º donde (aproximadamente) 4 ángulos rectos = 360º.

Entonces, aquí también este es el tamaño de la Ecuación de la Anomalía, por ej. el arco AB.

Y ya que el ^ KAH fue tomado como de 30º, por adición, el ^ BHA es de 31;14º, [que] representa el movimiento aparente sobre la Eclíptica [contado desde el Perigeo]. Estas cantidades están de acuerdo con todas aquellas halladas en la [Hipótesis de la Excéntrica].

Aquí también, por el mismo camino [de antes], eliminamos la perpendicular AL hasta DB [ver Fig. 3.19].

Entonces si, primero, tomamos el arco de la Eclíptica, por ej. dado el ^ AHL, desde éste será dada la razón HA / AL. Y ya que HA / AD fue dada al principio, lo será DA / AL. Por consiguiente tendremos como ángulos dados

el ^ ADB, por ej. el arco AB, representando la Ecuación de la Anomalía y ^ ΘAH, por ej. el arco ΘH del Epiciclo.

O si, (segundo), tomamos como dado el arco AB, representando la Ecuación de la Anomalía, por ej. el ^ ADB, entonces, del mismo modo pero en orden inverso, desde éste será dada la razón DA / AL. Y ya que [la razón] DA / AH es dada desde el principio, también será dada HA / AL.

Por lo tanto tendremos dados

el ^ AHL, por ej. el arco de la Eclíptica y el ^ ΘAH, por ej. el arco ΘH de la Eclíptica.

Así, hemos demostrado lo que nos propusimos realizar.

Con el fin de tener convenientemente dispuesta la cantidad de la corrección para cualquier posición dada, [queremos] establecer una tabla, subdividida dentro de secciones [apropiadas], para el cálculo de las posiciones aparentes de la Anomalía. Los teoremas de arriba permitirán una amplia variedad [de éstas posiciones] en el formato de una tabla ^[6], aunque preferimos la forma donde el argumento es el Movimiento Medio y la función es la Ecuación de la Anomalía. Este formato está muy bien de acuerdo con las teorías presentadas, y brinda también un simple pero muy práctico camino de cálculo para cualquier resultado deseado. Entonces, utilizando el primer conjunto de teoremas [por ej. el de la Hipótesis de la Excéntrica] que hemos utilizado en los ejemplos numéricos anteriores, calculamos geométricamente, por el camino descrito, la Ecuación de la Anomalía correspondiente al arco del Movimiento Medio, para las subdivisiones individuales [del círculo]. En general, ambas [Hipótesis] para el Sol y para otros cuerpos, dividimos los cuadrantes en 15 subdivisiones cerca del Apogeo (por lo tanto en esos cuadrantes el intervalo de tabulación será de 6º), y los cuadrantes cerca del Perigeo dentro de 30 subdivisiones (por ende en ese el intervalo de tabulación será de 3º). El razonamiento es que las diferencias entre las Ecuaciones de las Anomalías [sucesivas], para subdivisiones iguales [del argumento], son mayores cerca del Perigeo que cerca del Apogeo.

Estableceremos la tabla de la Anomalía del Sol, entonces, en 45 líneas, como [lo hicimos] antes, y en 3 columnas. Las primeras dos columnas contendrán los números del Movimiento Medio a través de los 360º: las primeras 15 líneas comprenderán los dos cuadrantes cerca del Apogeo, las 30 siguientes los dos cuadrantes cerca del Perigeo. La tercer columna contendrá los grados de la Ecuación de la Anomalía a ser sumada o restada, correspondientes al Movimiento Medio apropiado. La tabla es la siguiente:

Tabla de la Anomalía del Sol

Sobre la época del Movimiento Medio del Sol

Queda por establecer la época del Movimiento Medio del Sol con el fin de permitir calcular una posición en particular para cualquier momento dado. Al hacer nuestra exposición de éste asunto, nuevamente utilizaremos aquellas posiciones de los cuerpos que nosotros mismos hemos observado [de la manera] más precisa (ésta es nuestra regla general tanto para el Sol y [como] para los otros planetas), aunque utilizaremos los Movimientos Medios que hemos derivado para calcular hacia atrás, hasta los comienzos del reinado de Nabonassar para las épocas que hemos establecido. Para ello éste es el principio de la era desde la cual antiguas observaciones son conservadas en su totalidad hasta nuestros días.

[Ver Fig. 3.20] Sea el círculo ABG con centro en D concéntrico con la Eclíptica, y EZH la Excéntrica del Sol con centro en Θ, y sea el diámetro EAHG a través de ambos centros y el Apogeo en E. Sea B [que] representa el Equinoccio de otoño sobre la Eclíptica. Unir BZD y ZΘ, y eliminar la perpendicular ΘK desde Θ sobre la prolongación ZD.

Fig. 3.20

Entonces, dado que B, el Equinoccio otoñal, está ubicado al comienzo de Libra, y el Perigeo G, en

5 ½º,

Arco BG = 65;30º.

en consecuencia ^ BDG = ^ ΘDK = 65;30º donde 4 ángulos rectos = 360º

en consecuencia ^ BDG = ^ ΘDK = 131ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.

Por lo tanto en el círculo alrededor del triángulo rectángulo DΘK,

Arco ΘK = 131º,

y su Cuerda ΘK = 109;12p donde el diámetro DΘ = 120p.

Por lo tanto donde DΘ = 5p y la hipotenusa ZΘ = 120p,

ΘK = 4;33p.

Y, en el círculo alrededor del triángulo rectángulo ΘZK,

Arco ΘK = 4;20º.

en consecuencia ^ ΘZK = 4;20ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº

en consecuencia ^ ΘZK = 2;10º donde 4 ángulos rectos = 360º.

Y encontramos ^ BDG = 65;30º.

Por lo tanto, por sustracción,

el ^ ZΘH (por ej. el arco ZH de la Excéntrica) = 63;20º.

Por lo tanto, cuando el Sol está en el Equinoccio de otoño, éste está a 63;20º del Movimiento Medio hacia adelante del Perigeo (por ej. en

5 ½º), y 116;40º del Movimiento Medio hacia atrás del Apogeo (por ej. en

5;30º).

Ahora que hemos establecido esto, [y] de entre los primeros de los Equinoccios observados por nosotros, uno de los mejores determinados en forma precisa, fue el Equinoccio de otoño que ocurrió en el decimoséptimo año de Adriano, en el 7 de Athyr [III] en el calendario Egipcio [25 de Septiembre del 132], cerca de 2 Horas Equinocciales después del mediodía. [De los cálculos de arriba] es claro que en aquel instante el Sol, en su Movimiento Medio, estuvo a 116;40º hacia atrás del Apogeo sobre la Excéntrica.

Ahora, desde [el comienzo del] reinado de Nabonassar [26 de Febrero del –746] hasta la muerte de Alejandro [12 de Noviembre del –323] hay un total de 424 años Egipcios, y desde la muerte de Alejandro hasta [el comienzo del] reinado de Augusto [31 de Agosto del –29] hay 294 años, y desde el primer año de Augusto, 1 de Thoth en el calendario Egipcio, al mediodía (establecemos todas las épocas al mediodía), hasta del decimoséptimo año de Adriano, el 7 de Athyr, 2 horas Equinocciales luego del mediodía, hay 161 años 66 días y 2 horas Equinocciales. Por lo tanto la suma total desde el primer año de Nabonassar, el 1 de Thoth en el calendario Egipcio, al mediodía, hasta el instante del Equinoccio de otoño [mencionado] arriba, hay 879 años egipcios 66 días y 2 horas equinocciales. En éste intervalo el Movimiento Medio del Sol es de aproximadamente 211;25º más allá de las revoluciones completas [de 360°]. Por lo tanto, si para los 116;40º, qué es la distancia [del Sol] desde el Apogeo de la Excéntrica en el Equinoccio de otoño [mencionado] anteriormente, sumamos los 360º de una revolución, y sustraemos del resultado los 211;25º del incremento en el Movimiento Medio sobre el intervalo [en cuestión], hallamos que, para la época en el Movimiento Medio en el primer año de Nabonassar, 1 de Thoth en el calendario Egipcio, al mediodía, que la distancia del Sol en el Movimiento Medio es de 265;15º hacia atrás del Apogeo. Por lo tanto su posición media es de

0;45º.

Sobre el cálculo de la posición Solar

Entonces siempre que deseemos conocer la posición del Sol en cualquier instante requerido, tomamos el tiempo desde la época (de Nabonassar) hasta un momento dado (contado con respecto al Tiempo Local en Alejandría), y entrar con él dentro de la Tabla del Movimiento Medio [del Sol]. Sumamos los grados [y sus subdivisiones] correspondientes a varios argumentos [períodos de 18 años, años, meses, etc.], sumar a esto la Elongación [desde el Apogeo de la época] , [es decir] 265;15º, restar las revoluciones completas [de 360°] del total, y contar el resultado desde los

5;30º hacia atrás a través [por ej. del orden de] los signos. El punto [con el] que comenzamos será la Posición Media del Sol. Seguidamente entraremos con el mismo número, que es la distancia desde el apogeo hacia la posición media del Sol, dentro de la tabla de la anomalía, y tomamos la cantidad correspondiente en la tercera columna. Si el argumento cae [(entra)] por la primera columna, esto es, si éste es menor que 180º, restaremos la [Ecuación] de la posición media; pero si el argumento cae por la segunda columna, por ej. éste es mayor que 180º, lo sumaremos a la posición media. Por lo tanto obtendremos la [posición] verdadera o aparente del Sol.

Sobre la desigualdad en los días [Solares]

Tales son, podemos decir entonces, las teorías concernientes al Sol. A continuación parece ser apropiado agregar una breve discusión sobre el tema de la desigualdad del día solar. Es prerrequisito necesario una comprensión de éste tema, dado que los Movimientos Medios, que hemos tabulado para cada cuerpo, están todos organizados sobre un sistema simple de iguales incrementos, como si todos los días solares fueran iguales en longitud. Sin embargo, esto puede ser visto que no es así. La revolución del Universo toma lugar uniformemente alrededor de los polos del Ecuador. Los caminos más relevantes para "marcar" ésta revolución son [aquellos] por su vuelta [(regreso del Sol)] al [(mismo)] Horizonte, o hacia el Meridiano [(del lugar)]. Por lo tanto una revolución del Universo es, claramente, la vuelta a un punto dado sobre el Ecuador, desde algún lugar tanto sobre el Horizonte o sobre el Meridiano hasta un mismo lugar; y un día solar, simplemente definido, como la vuelta del Sol desde algún punto tanto sobre el Horizonte o sobre el Meridiano hasta el mismo punto. Sobre ésta definición, un Día Solar Medio es el período comprendiendo el pasaje de los 360 grados de tiempo de una revolución del Ecuador más aproximadamente 0;59 grados de tiempo, que es la cantidad del Movimiento Medio del Sol durante ese período; y un Día Solar Anomalístico es el período comprendiendo el pasaje de los 360 grados de tiempo de una revolución del Ecuador más aquella prolongación del Ecuador que sale con, o cruza por el Meridiano con, el Movimiento Anomalístico del Sol [en tal período].

Esta "prolongación adicional" del Ecuador, mas allá de los 360 grados de tiempo, que cruza [el Horizonte o el Meridiano] no puede ser una constante, por dos razones: primero, por la Anomalía Aparente del Sol; y segundo, porque secciones iguales de la Eclíptica no cruzan en tiempos iguales tanto el Horizonte o el Meridiano. Ninguno de esos efectos provoca la diferencia perceptible entre la vuelta media y la anomalística de un solo día solar, aunque la diferencia acumulada sobre un número de días solares es bastante notable.

Tan lejos como concierna el efecto de la Anomalía Solar, la mayor diferencia [acumulada] ocurre entre dos posiciones del Sol donde su velocidad [verdadera] igual a su velocidad media. La suma de los días solares [anomalísticos tanto sobre uno como en otro de los dos intervalos] diferirán de la suma de los días Solares Medios [sobre el mismo intervalo] por alrededor de 4 ¾ grados de tiempo, y de la suma de los días solares [anomalísticos] sobre [tales] otros intervalos por el doble de ésta cantidad, [es decir] cerca de 9 ½ grados de tiempo. El Movimiento Aparente del Sol sobre el semicírculo conteniendo el Apogeo es 4 ¾° menor que el [Movimiento] Medio, y su Movimiento Aparente sobre el semicírculo conteniendo el Perigeo, es de la misma cantidad [de 4 ¾º] mayor que el [Movimiento] Medio.

Tan lejos como concierna el efecto de la variación del tiempo cruzar el Horizonte en la salida o en la puesta, la mayor diferencia [acumulada] ocurre entre el fin de los semicírculos limitados por los puntos Solsticiales. Aquí también, para ellos, los tiempos de salida para ambos de estos semicírculos, diferirán de los 180º del intervalo medio por la cantidad por la cual el día más largo o el más corto difiere del día Equinoccial (medido en grados de tiempo); y diferirán de cada uno por la cantidad por la cual el día más largo (o la noche) difiere del más corto.

Por lo que el efecto de la Anomalía Solar sobre la variación del tiempo que toma en cruzar el Meridiano, la mayor diferencia [acumulada] ocurrirá entre los puntos incluyendo dos signos que están sobre ambos lados tanto de un punto Solsticial o de un punto Equinoccial. La suma de [los tiempos de salida en la Esfera Recta de] esos [tales] dos signos tanto de un lado como del otro en un Solsticio, diferirá del intervalo medio cerca de 4 ½ grados de tiempo, y de [la suma de los tiempos de salida de] los dos signos tanto de un lado como del otro en un Equinoccio, [diferirá] por 9 grados de tiempo, ya que el último queda corto, y la anterior excede la cantidad de la media por alrededor de la misma cantidad. Por lo tanto establecemos el comienzo del Día Solar en épocas [astronómicas] por el cruce del Sol por el Meridiano [del lugar (culminación)], y no desde su salida o puesta, dado que la diferencia [de tiempo] con respecto al Horizonte puede alcanzar varias horas, y no es el mismo en cualquier lugar sino que varía de acuerdo a la diferencia con el día más largo o con el día más corto en diferentes latitudes, mientras, la diferencia [de tiempo] con respecto al Meridiano es el mismo en cada lugar sobre la tierra, y éste no es mayor que la variación de tiempo, debido a la Anomalía del Sol.

La mayor diferencia [acumulada] [entre los días Solares Medios y Anomalísticos] resultantes de la combinación de estos ambos efectos, a saber aquel debido a la Anomalía del Sol y aquel debido a [la variación de tiempo al] cruzar el Meridiano, que ocurre a intervalos donde los efectos arriba [mencionados] son ambos tanto aditivos o tanto sustractivos. Ahora el [máximo] resultado sustractivo desde ambos efectos ocurren sobre el intervalo desde [la parte] media de Acuario hasta [el fin de] Libra, y otro [máximo resultado] aditivo sobre el intervalo desde [el comienzo de] Scorpius hasta la mitad de Aquarius. Ambos de estos intervalos generan un máximo resultado aditivo o sustractivo, que está compuesto alrededor de 3 ⅔º debido al efecto de la Anomalía Solar, y por alrededor de 4 ⅔º debido a la [variación en tiempo en cruzar el] Meridiano [culminación]. Por lo tanto, la máxima diferencia partiendo de la combinación de ambos efectos de arriba es de 8 ⅓ grados de tiempo, o 5/9 nas. partes de una hora, entre los días solares [verdaderos] sobre ambos de esos intervalos y los [correspondientes] días solares medios, y el doble tanto como de 16 2/3 grados de tiempo, o de 1 1/9 horas, entre los días solares [verdaderos] de tal intervalo y aquellos de los otros. Obviar una diferencia de éste orden podría, quizás, generar un error no perceptible en el cálculo del fenómeno asociado con el Sol o con los otros [planetas]; pero en el caso de la Luna, dado que su velocidad es entonces mayor, el error resultante ya no podría pasarse por alto, ya que podría alcanzar hasta 3/5 de grado.

Por lo tanto, para establecer de una vez por todas las reglas para convertir cualquier intervalo sea cual fuere dentro de días solares medios, dados en días solares [verdaderos] (para los que me refiero a los días contados desde mediodía a mediodía o de medianoche a medianoche): determinamos la posición del Sol en la Eclíptica en ambos movimientos, medios y anomalísticos, en el comienzo y al final del intervalo de los días solares; entonces tomamos el incremento, en grados, desde [la primera] posición Anomalística (por ej. la Aparente) hasta la [segunda] posición Aparente, entrar con él [(incremento)] dentro de la tabla de los tiempos de salida en la Esfera Recta, y [por lo tanto] determinar el tiempo tomado por ésta distancia aparente [del Sol entre la primera y segunda posición] en cruzar el Meridiano, medido en grados del Ecuador. Tomamos luego la diferencia entre éste número de grados de tiempo y la distancia media [del Sol desde la primera posición hasta la segunda], medida en grados, y convertir ésta diferencia, que está en grados de tiempo, a una fracción de una hora Equinoccial. Sumamos el resultado al número dado de días solares [verdaderos] si la cantidad de grados de tiempo [correspondientes al tiempo de salida del movimiento aparente] fuera mayor que el Movimiento Medio, o lo sustraemos si éste fuese menor. El intervalo al que hemos llegado será corregido para las expresiones en días solares medios. Utilizaremos ésta clase de intervalo particularmente en el cálculo de los Movimientos Medios de la Luna desde sus tablas. Inmediatamente uno puede comprender, dados los días solares medios, que se pueden hallar los días solares civiles [correspondientes], por ej. los días definidos por una simple observación, realizando los cálculos anteriores de adición o sustracción de los grados de tiempo de [manera] contraria.

En nuestra época, esto es, en el 1° Año de Nabonassar, al mediodía del 1° de Thot, en el calendario Egipcio, la posición del Sol, como demostramos justamente arriba, estuvo en

0;45º en [su] Movimiento Medio, y en [su] Movimiento Anomalístico cerca de los 3;8º.