Andre polynomier

Et polynomium er en funktion, hvis regneforskrift består af led, der alle indeholder en heltalspotens af x. Her er et par eksempler på polynomier:

                p1(x) = 7·x5 + 3·x2 – 2x + 1

                p2(x) = –2·x6 + 5·x4 + x + 7

                p3(x) =  x12 + 4·x10 –  x8 + 13·x7

Graden af et polynomium er den højeste potens af x, der forekommer. Du kan se, at graden af p1 er 5, og graden af p2 er 6, mens grafen af p3 er 12.

Polynomiers rødder 

En rod i et polynomium p(x) er en løsning til ligningen:

                    p(x) = 0

En rod er altså et sted, hvor grafen skærer x-aksen.

Her ses grafen for polynomiet p(x) = x3 – 4x2 + x + 6.

Du ser, at grafen for p(x) skærer x-aksen i tallene –1, 2 og 3. Det er altså polynomiets rødder. Det kan vi også tjekke ved at udregne:

                P(–1) = (–1)3 – 4·(–1)2 + (–1) + 6 = –1 – 4 –1 + 6 = 0

                P(2)   = 23 – 4·2 + 2 + 6 = 8 – 16 + 2 + 6 = 0

                P(3) = 33 – 4·32 + 3 + 6 = 27 – 26 + 3 + 6 = 0

Når du skal finde rødderne i et polynomium, er det nemmest at bruge et CAS-værktøj, der med "solve" nemt finder rødderne.

På de fleste CAS-værktøjer skal du blot indtaste: "solve(x3 – 4x2 + x + 6 = 0,x)" og du får så svaret: x = –1, x = 2, x = 3.

Man kan vise, at et polynomium af n’te grad højst kan have n rødder. Hvis polynomiet har ulige grad er der altid mindst én rod, hvorimod polynomier af lige grad godt kan være uden rødder.