1 Funktionsbegrebet (ca. 10 sider)

I dette afsnit skal vi se på det generelle funktionsbegreb.

Sammenhængen kan beskrives på flere forskellige måder.

1. Det kan være en beskrivelse i almindelige ord. Fx kan det være: "Din idealvægt er din højde i cm, hvor du trækker 100 fra". Her er højden den uafhængige variable og idealvægten er den afhængige. Hvis du fx. er 165 cm høj, er din idealvægt 65 kg.

2. Det kan være en regneforskrift, fx. prisen på en taxatur. f(x) = 12x + 32. Her er turens længde x km den uafhængige variabel og prisen f(x) er den afhængige. En tur på 5 km vil derfor koste f(5) = 12*5 + 32 = 92 kroner.

3. Det kan være en tabel. Her ser du, hvad det koster at sende en pakke med Post Nord:

Her er pakkens vægt den uafhængige variable og pakkeportoen afhænger af vægten. En pakke på 7kg, der skal leveres hjem til modtageren, koster 110,- kr.

  4. Endelig kan det være en graf, fx. temperaturen i vejrudsigten fra DMI:

Her er tidspunktet den uafhængige variabel, og temperaturen afhænger af tidspunktet. Fx forudsiger DMI, at temperaturen er 15o lørdag kl. 9.

Ligefrem og omvendt proportionalitet

Der er to typer variabelsammenhænge, der tit optræder. Lad os se på et eksempel. En landmand ønsker at udlægge et stykke jord til kartofler. Han vil gerne have, at det er 5 meter bredt, men længden kan variere. Lad os betegne længden med variablen x.

Arealet af jordstykket bliver også en variabel, og den betegner vi med y:

y = 5・x 

Vi ser, at der er tale om en lineær sammenhæng a = 5. Grafen bliver en ret linje, der går gennem koordinatsystemets begyndelsespunkt (0,0).

De to variable vokser “i samme takt” på den måde, at hvis længden af jordstykket x fordobles, så vil arealet y også fordobles. Og hvis x gøres 7 gange længere, vil arealet også blive 7 gange større.

Vi opdager endvidere, at hvis vi ser på forholdet mellem de to variable ... 

... så bliver resultatet 5 uanset værdien af x. Vi siger, at de to variable x og y er ligefrem proportionale. Tallet 5 kaldes for proportionalitetskonstanten.

Nu ser vi på et andet eksempel. Landmanden vil udlægge et jordstykke på 100 m2 til kartofler, men vil variere både længde x og bredde y af jordstykket.

Nu kan vi skrive sammenhængen op mellem de to variable, fordi arealet er længde gange bredde:

100 = x・y

De to variable kan ændre sig, men de vil gøre det i “modsat takt”. Hvis fx bredden x fordobles, så må længden y nødvendigvis halveres, da resultatet af at gange dem sammen stadigvæk skal være det samme. Vi siger, at de to variable er omvendt proportionale med proportionalitetskonstant 100.

Sammenhængen mellem de to variable kan findes på denne måde:

Grafen bliver i dette tilfælde ikke en ret linje, men en figur, der kaldes for en hyperbel.

I alle tilfælde giver det tallet 1,5. Derfor kan vi fastslå, at der er tale om en ligefrem proportionalitet med proportionalitetsfaktor 

k = 1,5.

Sammenhængen kan derfor beskrives ved: 

y = 1,5 · x

Her ses x- og y-værdierne indsat som punkter i koordinatsystemet, og grafen for f(x) = 1,5 ·x er indtegnet med rødt.

Her kan du se punkterne indtegnet i et koordinatsystem og grafen for f(x) = 30/x er indtegnet med rødt.