Pythagoras sætning

Et af matematikkens kendetegn er måden at drage slutninger på efter logikkens regler. Disse slutningsregler sikrer os, at de formler, som vi bruger, faktisk også giver et rigtigt svar. Lad os se på Pythagoras’ sætning, som de fleste nok kender:

Lertavle med kileskrift fra Babylon med tabel over tal, der opfylder Pythagoras sætning. (plimpton 322)

Pythagoras (ca. 569 - 474 fvt.) var en græsk filosof, der fødtes på den græske ø Samos og senere grundlagde et religiøst/filosofisk broderskab i byen Kroton i Syditalien. Det kan synes mærkeligt, at han lagde navn til sætningen, da den på hans tid havde været kendt i mindst 1.500 år. Formlen kendtes og brugtes allerede i Mesopotamien ca. 2000 fvt (før vor tidsregning). Her har man fundet lertavler med kileskrift, der viser regneeksempler med Pythagoras sætning.

Den retvinklede trekant ABC har sidelængderne a = 3, b= 4 og c =5. Da a2 + b2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25 og c2 = 52 = 25 gælder Pythagoras sætning.

Her kan du se, hvordan man bruger Pythagoras sætning.

Man ved ikke, hvordan man i Mesopotamien opdagede sætningen. Men man mener, at babylonierne havde erfaret, at hver gang men målte sidelængderne i en retvinklet trekant, så passede formlen. Man havde ikke bevist sætningen. Et bevis betyder, at man er helt sikker på, at sætningen vil gælde i alle retvinklede trekanter. At den viser sig at være rigtig hver gang, man tegner en konkret trekant, betyder jo ikke, at den automatisk vil gælde i alle de mulige trekanter, man kan forestille sig. Der er uendeligt mange forskellige trekanter, og ligegyldigt hvor ihærdig man er, kan man altid kun nå at efterprøve et endeligt antal. Der vil stadig være uendeligt mange tilbage, som man ikke fik efterprøvet. Så man kan aldrig være helt sikker på at formlen altid vil være rigtigt, hvis man blot efterprøver. I matematik er man ikke tilfreds med kun at have efterprøvet en formel mange gange. Man ønsker fuldstændig sikkerhed for formlernes gyldighed.

I naturvidenskab er man derimod nødt til at affinde sig med kun at efterprøve sine teorier et endeligt antal gange. Og man kan endda ikke være sikker på, at få efterprøvet teorierne med 100% nøjagtighed, fordi ethvert eksperiment, der indebærer, at man måler, vil være behæftet med en vis måleusikkerhed. Lad os fx se på tyngdekraften. Hver gang vi slipper en ting, vil den falde mod gulvet. Det er altid sket indtil nu, så derfor tror vi på, at det også vil ske næste gang. Men vi kan ikke være helt sikre. Måske vil koppen, næste gang du taber den, blive hængende i luften. Det ville være uhyre mærkeligt, men ikke helt umuligt. Måske er tyngdekraften blevet brugt op? eller koppen er havnet i et ”hul”  i Jordens tyngdefelt. Men så længe vi ikke har observeret en kop, der blev hængende i luften, vil vi tro på, at tyngdekraften vil få alle genstande til at falde mod jorden, når de slippes. Sådanne erfarede kendsgerninger kaldes induktivt begrundede kendsgerninger.

I matematik er erfaringerne grundfæstede på anden vis. Vi afprøver ikke mange trekanter, og hvis vi gjorde, ville formlen højst sandsynligt alligevel ikke passe. Hvis du tegner en retvinklet trekant og måler sidelængderne med en lineal, så vil du almindeligvis ikke finde, at Pythagoras sætning er opfyldt.

Her er en trekant tegnet:

I den retvinklede trekant ABC er sidelængderne målt til: a = 3,7cm , b = 6,2cm og c = 7,2cm. Man udregner a2 + b2 til 52,13  og c2 til 51,84. Det ses at a2 + b2 ikke er præcis det samme som c2.

Figuren viser, at Pythagoras sætning tilsyneladende ikke gælder helt præcist. Men det betyder ikke, at den ikke er 100% rigtig. Afvigelsen kan skyldes, at vi ikke kan måle trekantens sidelængder helt præcist. Når vi måler a til at være 3,7 cm, er der sikkert op mod 1 mm unøjagtighed på målingen, så den rigtige længde vil ligge et sted mellem 3,6 cm og 3,8 cm.

Vi kan være helt sikre på, at Pythagoras sætning gælder, for den kan bevises. Og det er derfor, Pythagoras har lagt navn til sætningen, for han var den første, der beviste sætningen. Et matematisk bevis er et ræsonnement, der overbeviser alle om, at sætningen ikke kan være forkert. Lad os se på et bevis for Pythagoras sætning.

Som udgangspunkt ser vi på en vilkårlig retvinklet trekant:

Vi anbringer fire af disse trekanter, så de danner et stort kvadrat: 

Inde i dette kvadrat flytter vi rundt på de fire trekanter, så de danner denne figur:

Her kan du selv flytte rundt på trekanterne ved at trække i skyderen m:

Det store kvadrat har samme størrelse i de to figurer, og arealet af de fire trekanter ændres ikke, når de flyttes. Arealet af den hvide firkant i første figur, som er c2, må derfor være lig med arealet af de to hvide firkanter i anden figur, og de har arealerne a2 og b2. Altså må vi nødvendigvis konkludere, at:

             a2 + b2  =  c2

Da vi ikke har stillet særlige krav til sidelængderne i den trekant, vi startede med, kan vi udføre same procedure med alle andre trekanter og komme til samme konklusion. Pythagoras sætning vil derfor gælde i alle mulige trekanter. Dette er et matematisk bevis.

Her kan du se en videoudgave af beviset:

Eksempel: Pythagoræiske tripler.

Nu kunne man jo prøve at generalisere og forsøge at finde hele positive tal, der opfylder ligningen:

            a3 + b3  =  c3

Man opdager hurtigt, at det er meget vanskeligt at finde eksempler på hele positive tal, der opfylder denne ligning. Da matematikeren Pierre de Fermat (1601-1665) døde, fandt man i en af hans bøger en note, som han havde skrevet i margen.

Han havde skrevet, at ligningen an + bn  =  cn kun har heltallige løsninger, når n = 2. For n = 3, 4 eller højere hele tal, findes ingen løsninger. Endvidere skrev han, at han havde fundet et meget smukt og enkelt bevis for denne sætning, men at der ikke var plads i margin til at skrive beviset ned. Han nåede aldrig at skrive dette bevis, inden han døde. Lige siden har matematikere kæmpet med dette problem uden at det er lykkedes at finde et bevis for denne Fermats store sætning, som den siden blev kaldt. Et bevis blev givet af amerikaneren Andrew Wiles i 1993, men det er langt fra simpelt og enkelt. Beviset inddrager så avanceret matematik, at kun et fåtal af verdens matematikere er i stand til at gennemskue beviset. Men i dag ved vi altså, at Fermat havde ret i sin sætning, men vi kender stadig ikke det bevis, som han muligvis havde fundet.