2 Lineære sammenhænge (ca. 16 sider)

Regneforskrift, tabel og graf

Vi starter med et eksempel på en sammenhæng mellem to variable. Når du skal køre med taxa, betaler du startgebyr. Lad os eksempelvis sætte det til 32,- kr. Når du så kører, betaler du efter hvor langt du kører. Kilometerprisen er fx 12,- kr. Vi vil i dette eksempel ikke se på betaling for ventetid, som ellers også indgår i taxapriser.

Hvis du skal køre en tur på 5 km med taxa, betaler du 12 kr. for hver kilometer, du kører, hvorfor du i alt betaler 5 · 12 kr. Hertil lægges startgebyret på 32 kr., hvorefter prisen bliver:

5 · 12 kr. + 32 kr. = 92 kr.

En tur på 10 km koster: 

10 · 12 kr. +  32 kr. = 152 kr.

Således kan man fortsætte med at udregne priser for ture med forskellige længder. Man opdager ret hurtigt, at det er de samme udregninger, man foretager. Man tager nemlig turens længde i kilometer og ganger den med 12 kr., og dernæst lægger man startgebyret på 32 kr. til.

Der er to variable i spil. Den ene variabel er turens længde i kilometer. Lad os benytte symbolet x for denne variabel. Den anden variabel er prisen for turen, og vi benytter symbolet y for denne variabel. Formlen kan opskrives således:

         y  =   12 · x  +  32

De to variable optræder ikke på helt samme måde i dette eksempel. Når vi kører taxa, bestemmer vi, hvor langt vi vil køre. Men prisen bestemmer vi ikke, for den afhænger af turens længde. Dette ses i formlen, hvor vi i princippet kan vælge hvilken som helst værdi for variablen x (turens længde), men når denne er valgt, så er værdien af y (prisen) bestemt ud fra formlen. Hvis x vælges til 5 km, er y nødvendigvis 92 kr.

Vi vil sige, at værdien af den variable y afhænger af værdien af den variable x. Eller kort: y afhænger af x. 

Den variabel, som vi kan 'vælge' værdien af, kaldes for den uafhængige variabel. Mens variablen y, der afhænger af den valgte x-værdi, kaldes for den afhængige variabel. Traditionelt benytter man i matematik symbolet x for uafhængige variable og y for afhængige variable.

For at vise, at det er y, der afhænger af x, kan vi skrive:

          f(x)  =  12 · x  + 32

En sådan formel, der angiver, hvordan y udregnes, når vi kender x, kaldes for en regneforskrift. En sådan variabelsammenhæng kaldes også for en funktion.

Vi kan også fremstille sammenhængen mellem de to variable ved en graf, hvor værdierne for den uafhængige variabel er afsat ud ad x-aksen og værdierne for den afhængige afsættes op ad y-aksen. Før vi kan gøre dette, skal vi udarbejde en tabel. Her vælger vi frit nogle x-værdier.

Som det ses ligger punkterne på en ret linie, og vi kan tegne denne rette linje. På denne måde får vi tegnet grafen.

Ligesom formlen fortæller om sammenhængen mellem de to variable, fortæller grafen også om denne sammenhæng. Hver gang vi kender en x-værdi, så kan vi finde den tilsvarende y-værdi ved at gå fra x-værdien lodret op til grafen og derfra vandret hen til y-aksen, hvor vi aflæser den tilsvarende y-værdi.

Lineære sammenhænge

I mange tilfælde bliver grafen for en variabelsammenhæng til en ret linje. Vi vil her se på denne særlige type.

Eksempel 1

Sammenhængen: y  =  4x  +  5 er lineær, idet den kan skrives som:        

y  =  ax + b hvor a = 4 og b = 5.

Sammenhængen: y  =  5x er også lineær, idet a = 5 og b = 0.

Eksempel 2

Sammenhængen y  =  2x + 7 er lineær med a = 2 og b = 7. Vi opstiller en tabel:

Ud fra tabellen kan grafen tegnes:

Det bemærkes, at grafen bliver en ret  linje. Vi vil undersøge betydningen af de to tal, a=2 og b=7, der optræder i regneforskriften 

y  =  2x  +  7.

Skæringspunktet med y-aksen findes, hvor x har værdien 0. Det ses i tabellen, at det bliver 7, netop b-værdien.

Endvidere ses, at hver gang x-værdien vokser med 1, vokser y-værdien med 2. Dette svarer præcis til tallet a.

Her kan du se, hvordan grafen for forskellige lineære sammenhænge ændres, når du ændrer på tallene a og b:

Læg mærke til at tallet b angiver, hvor grafen skærer y-aksen. Det er altså der, hvor grafen starter på y-aksen.

Tallet a kaldes for hældningskoefficienten (eller blot hældningen), og det angiver, hvor stejl linjen er. 

• Hvis a er positiv, vil linjen pege opad - vi siger, at funktionen er voksende. Jo større a-værdi, jo stejlere linje.

• Hvis a = 0, vil linjen være vandret - vi siger, at funktionen er konstant.

• Hvis a er negativ, vil linjen pege nedad - vi siger, at funktionen er aftagende.

Figuren viser, at hver gang du bevæger dig et skridt i x-aksens retning, vil du bevæge dig tallet a op i lodret retning.

Herunder kan du se, hvordan hældningskoefficienten a og skæringen med y-aksen b kan aflæses fra grafen (bevæg de to punkter op og ned og sammenlign regneforskrift med hældningen vist i trekanten og skæringen med y-aksen):

Vi sammenfatter det hele i denne sætning:

Regneforskrift ud fra to punkter på grafen

Hvis du kender to punkter på grafen - eller to par af samhørende x- og y-værdier, kan du udregne hældningen a og skæringspunktet med y-aksen b.

Hvis de to punkter på grafen har koordinaterne P1 = (x1,y1)   og   P2 =(x2,y2) eller hvis de samhørende værdier for x og y findes i en tabel:

kan du finde hældningskoefficienten a ved denne formel:

og du kan efterfølgende finde skæringen med y-aksen ved denne formel:

Regneforskriften bliver

y = 800·x + 1500,        hvor x er antal timer og y er prisen for busleje.

fordi vi i alle tilfælde skal vi betale 1500 kr. og så skal vi også betale 800 kr. for hver time.

Eksempel 2

En spækhugger fødes typisk med en længde på 160cm, og den vokser omkring 37 cm om året. Hvis x er spækhuggerens alder og y er dens længde, kan regneforskriften skrives som:

y = 37·x + 160,        hvor x er alderen og y er dens længde

fordi længden er 160 cm til at begynde med, og den vokser med 37 cm/år.

Eksempel 3

I en model for mågebestanden omkring Andeby Lufthavn har man følgende formel:

y = –150x + 10 000,        hvor x er antal år efter 2017 og y er antallet af måger.

Ud fra tallene kan vi se, at der er 10 000 måger i 2017, for det er startværdien. Vi kan samtidigt se, at man forudser, at antallet falder med 150 måger om året, fordi det er hældningen.

Eksempel 4

Her er to reklamer for firmaer, der vasker hospitalskitler.

Vi vil undersøge, hvilket firma der er billigst at vælge. Derfor opstiller vi regneforskrifter for hvert firma.

Prisen hos RP-vask a/s kan udregnes som: 

y = 20·x + 600,    hvor x er antal kitler, der skal vaskes.

Hos Kvik-vask er prisen:

y = 30·x + 150.    hvor x er antal kitler

Vi tegner graferne for begge firmaer ind i samme koordinatsystem:

Den blå graf er for firmaet RP-vaks a/s, og den røde graf er for firmaet Kvik-vask. Da prisen er afsat op ad y-aksen, finder vi den billigste pris på den graf, der ligger nederst. 

De to grafer skærer hinanden i punktet (45,1500). Det betyder, at skal du have vasket 45 kitler, tager begge firmaer samme pris, nemlig 1500 kr. 

Hvis du skal have vasket under 45 kitler, er den røde graf nederst. Det betyder, at Kvik-vask er det billigste firma, hvis du skal have vasket under 45 kitler.

Hvis du skal have vasket mere end 45 kitler, er den blå graf nederst. Det betyder, at PR-vask a/s er det billigste firma, hvis du skal have vasket mere end 45 kitler.