Embedded Files
En ligning er et udtryk hvori der forekommer en ubekendt, x, og et lighedstegn. Det kan fx være:
x2 + 1 = 0,5x + 4
En løsning til en ligning er et tal, der indsat på x'ets plads, giver samme tal på begge sider af lighedstegnet.
Hvis vi forsøger os med x = 1 giver
Venstre side: x2 + 1 = 12 + 1 = 2
Højre side giver: 0,5x + 4 = 0,5·1 + 4 = 4,5
Altså bliver de to sider af lighedstegnet ikke ens, og vi må konkludere, at x = 1 ikke er en løsning til ligningen.
Hvis vi forsøger os med x = 2 får vi:
Venstre side: x2 + 1 = 22 + 1 = 5
Højre side giver: 0,5x + 4 = 0,5·2 + 4 = 5
Nu bliver de to sider af lighedstegnet ens, og vi må konkludere, at x = 2 er en løsning til ligningen.
Vi kan ved hjælp af funktioner og grafer nemt løse ligningen. Vi tegner i samme koordinatsystem grafen for den funktion, der har venstresiden som regneforskrift:
f(x) = x2 + 1
og den der har højresiden som regneforskrift
g(x) = 0,5·x + 4
Venstresiden af ligningen har grafen for f(x) - den blå graf. Højresiden har grafen for g(x) - den røde graf. De to grafer skærer hinanden i punktet (2,5). Det betyder, at de begge giver y-værdien 5 for x = 2.
f(2) = 5 og g(2) = 5.
Altså er både højreside og venstreside lige store, og derfor er x = 2 en løsning.
Af graferne ser vi, at der er et skæringspunkt mere, nemlig x = –1,5. Her bliver både højre og venstre side 3,25, og x = –1.5 er også en løsning til ligningen.
Eksempel
Vi vil løse ligningen
x3 – 3x2 + x + 4 = 2x + 1
Vi starter med at se på ligningens venstreside og tegner grafen for
f(x) = x3 – 3x2 + x + 4
Dernæst ser vi på højreside og tegner grafen for
g(x) = 2x + 1
Så finder vi skæringspunkterne mellem de to grafen og aflæser x-værdierne for disse.
Graferne skærer hinanden i punkterne (-1,-1), (1,3) og (3,7). Vi aflæser x-værdierne, og dette giver os løsningerne
x = –1 , x = 1 , x = 3
I denne video kan du se, hvordan man gør i praksis (hér med GeoGebra 5, men metoden er den samme med GeoGebra 6).
Report abuse