Procentregning

Skal vi udregne 37% af 500,- kr., så skriver vi:

             37% af 500,- kr.   =   0,37 · 500,- kr.   =   185,- kr.

En procent omskrives til decimalbrøk ved at dividere procenttallet, p,  med 100, altså ved at flytte kommaet to pladser til venstre.

På samme måde kan et decimaltal omsættes til procenttal ved at gange med 100%, altså at flytte kommaet to pladser til højre.

             0,75   =   0,75 · 100%   =   75%

Procent:

Hvis man skal udregne p% af et tal K, så ganges tallet K med r  = p/100   - altså

Eksempel 

Hvis et beløb på 600,- kr. vokser med 15%, er stigningen:

             15% af 600 kr.   =   0,15 · 600 kr.   =   90 kr.

Det nye beløb er derfor:

             600 kr.   +   90 kr.   =   690 kr.

For at finde en nem metode til at lægge procent til et tal, analyserer vi udregningen fra eksemplet lidt:

             600 kr.   +   15% af 600 kr.   =

             600 kr.   +   0,15 · 600 kr.   =

             600 kr. · (1  +  0,15)   =

             600 kr. · 1,15

Altså lægges 15 % til et tal ved at gange tallet med 1,15. Et-tallet foran kommaet skyldes, at vi stadig har det oprindelige beløb, og decimalerne 0,15 svarer til den procentstigning, der sker. Tallet 1,15 kaldes for fremskrivningsfaktoren svarende til en procentvækst på 15%. Det er den faktor, man skal gange med, når en størrelse skal øges med 15%. Vi sammenfatter dette i følgende regel.

Lægge procent til:

Man lægger p% til et tal K ved at gange tallet K med fremskrivningsfaktoren 

K · ( 1 + r) 

Hvis værdien af en variabel bliver mindre, så er den absolutte ændring negativ. Hvis et par sko før udsalget koster p0 = 1200,- kr. og under udsalget sættes ned til p1 = 900,- kr., så er den absolutte ændring, dvs. prisnedsættelsen:

             ∆p = p1 – p0 = 900kr. – 1200kr.  =  –300kr.

Den relative ændring af prisen bliver derfor:

 Nu vil vi se på, hvordan man trækker en procentdel fra et tal. Hvis vi fx skal trække 15% fra 800,- kr., gør vi således:

             800 – 15% af 800   =

             800 – 0,15 · 800   =

             800 · (1 – 0,15)   =

             800 · 0,85   =    680,- kr.

Så vi ser, at samme regel gælder, når man trækker procent fra - blot man her husker, at procentændringen er et negativt tal.

Procentændring:

Hvis en variabel, K0, ændrer sig med procenten p% = p/100 = r, så findes den nye værdi ved at gange den oprindelige med fremskrivningsfaktoren (1+r):

                          K   =   K0 · (1 + r)

Når der er tale om at lægge procent til, regnes r som positiv, og hvis der er tale om at trække procent fra, regnes r som negativ.

Eksempel: Byggemarked

I et byggemarked angives alle priser uden moms. Når man handler der, skal man lægge 25% moms oven i vareprisen. At lægge 25% = 0,25 til en pris, svarer til at gange prisen med fremskrivningsfaktoren

            1 + r = 1,25

Hvis prisen uden moms er 500,- kr. bliver prisen med moms:

            Pris med moms   =   500 · 1,25   =   625,- kr.

Man kommer altså fra pris uden moms til pris med moms ved at gange med 1,25. Dette kan man bruge, hvis man skal regne den anden vej. Hvis prisen med moms er 1000,- kr., så kan vi finde prisen uden moms ved at dividere med fremskrivningsfaktoren 1,25:

            Pris uden moms  =  1000 / 1,25  =  800,- kr.

Eksempel: Udsalg

I en butik giver de 15% rabat på alle varer. Det betyder, at alle priser nedsættes med 15%. Derfor skal priserne ganges med fremskrivningsfaktoren:

            1 + r   =   1 – 15%   =   1 – 0,15   =   0,85

Hvis den oprindelige pris var 300,- kr. bliver den nye pris:

            ny pris   =   300 · 0,85   =   255,- kr.

Tilsvarende kan man finde den oprindelige pris, hvis man kender den nedsatte pris, ved at dividere med fremskrivningsfaktoren 0,85. Hvis en vare efter nedsættelsen koster 595,- kr., var den oprindelige pris:

            oprindelig pris   =   595/0,85   =   700 kr.

Eksempel: Aktier

En jernbaneaktie har på et tidspunkt en værdi på 1800,- kr. Første år stiger værdien med 17%, andet år med 5%, hvorimod aktieværdien falder med 13% det tredje år. Vi ønsker at udregne værdien af aktien efter de tre år. I skemaet herunder ses fremskrivningsfaktorerne svarende til procentændringerne:

Vi kan følge udviklingen af aktiens værdi år for år ved at gange med de tilhørende fremskrivningsfaktorer:

Værdien af aktien efter de tre år er altså 1923,83 kr.

Vi har ganget den oprindelige værdi af aktien med tallene

            1,17 · 1,05 · 0,87   = 1,019655

Dette tal svarer til en relativ ændring på

            r   =  0,019655   =   1,9655 % = ca. 2%

Aktiens værdi er altså i alt steget med 2% i de tre år.