Oprindeligt har basis for anvendelsen af tal været et enkelt matematisk princip, der kaldes kardinalprincippet.

Hvis vi kommer ind i et klasseværelse med plads til 28 elever, er det nemt at se, om der faktisk er 28 elever i klassen, hvis de alle sidder ved deres plads. Hvis alle pladser er optaget, og ingen står op, må der nødvendigvis også være 28 elever. Vi ved det, fordi hver stol er optaget af en elev. Vi siger, at der er en 1-til-1-forbindelse mellem elever og stole. Hvor gang vi har to samlinger af genstande, kan vi nemt afgøre, om der er lige mange uden at tælle ved at se, om der er en 1-til-1-forbindelse mellem dem.

Oprindelsen af 1-til-1-forbindelse fortaber sig i forhistorien. Men man har fundet ridser i knogler fra istiden, der tyder på, at princippet er meget gammelt. Hvis man skal holde rede på et antal, fx antallet af kvæg i en flok, kan man ridse en streg for hver ko, man har. Så kan man altid sammenholde antallet af streger med antallet af kvæg, og det endda uden at tælle. Man må formode, at dette har været grundlaget for menneskets første opfattelse af antal. Hvis antallene bliver meget store, får man mange streger at holde rede på, hvilket bliver noget uoverskueligt. Derfor kan man samle stregerne i bundter på fem i hver.

På denne måde kan symbolet for fem streger hurtigt komme til at betyde antallet fem. Og med tiden kan sjusk og hurtigskrivning forvanske symbolet så det ender som et V. Romertallene er netop en forfining af stregemetoden, idet det første fire tal skrives: I, II, III, IIII. Tallet fem skrives som et V.

Hvordan symbolet for romertallet fem, V, er udviklet, vides ikke, men nedenstående er en rimelig teori.

Hvordan blev V symbol for 5?

Og hvordan blev X symbol for 10?

Ved større tal bliver også anvendelsen af I, V og X uoverskuelig, hvorfor man har brug for symboler for større tal. Herunder ses en oversigt over romertallene:

At lægge to romertal sammen er ikke den store kunst.

Eksempel: Se regnestykket LXXXVI + LXXVIII = CLXIIII

Det er lidt vanskeligere at gange to romer tal med hinanden.

Eksempel: Se regnestykket XXVI · LXI = MDLXVI

Som det ses var udregninger af selv simple multiplikationstykker ret komplicerede. Derfor havde man udviklet regnetavler til hjælp. En regnetavle er en slags kugleramme, abacus, hvor første række angiver enere, anden række 10-ere, tredje række 100-ere osv. Med en abacus blev udregningerne meget simplere. Et problem var dog, at når udregningen var færdig og regnebrættet pakket sammen kunne ingen se, hvordan udregningerne var foregået eller se, om de var rigtige. Der stod jo blot et resultat uden angivelse af, hvordan det var fundet. Desuden skulle man hele tiden oversætte mellem regnebrættets resultat og romertallene. I middelalderen var romertallene de tal, der brugtes i Europa.

I de arabiske lande brugte man de tal, vi i dag bruger, nemlig arabertallene. Her er der ikke langt fra regnebrættets resultat til tallet.

 Tallet 3.132 på regnebræt.

Problemet opstår, når der er en tom række på regnebrættet. Her mangler man i romertallene et symbol for en tomme række. Man mangler et tegn for ”ingenting” nemlig nullet. Øjensynligt var det inderne, der omkring vores tidsregnings begyndelse, indførte et symbol for ”den tomme række” i abacusen, et nul. Det har intellektuelt været meget vanskeligt at indføre dette symbol, nullet, som vi i dag anser for helt naturligt og uproblematisk.

Med arabertallene bliver regning med tal umiddelbart meget nemmere og overskuelige. Samtidig har regning med arabertal den store fordel, at selve udregningerne nemt kan anføres samtidig med resultatet, så enhver kan gennemse udregningerne for at tjekke om de er rigtige (en anden side af historien er selvfølgelig udviklingen af papir, som man kan skrive udregningerne på).

Gennem middelalderen får en ny samfundsklasse større og større betydning, nemlig handelsfolk. Disse fik større og større betydning, idet der i de store købmandsfamilier efterhånden samledes store rigdomme indtjent på salg af varer importeret fra Middelhavslandene til Italien. Disse købmænd optrådte endvidere som bankudlånere. Derfor havde de brug for regneteknik, så de kunne overskue og holde rede på deres regnskaber. Samtidig vil de på deres handelsrejser efterhånden flere kontakter med de arabiske lande, og opdager herigennem fordelen ved arabertallene. Men det var en vanskelig og langvarig proces at få arabertallene accepteret og udbredt blandt datidens lærte, som var tilknyttet klostrene. Almindelige mennesker kunne på den tid hverken læse eller kendte til andre tal end hverdagssprogets.

Statue af Fibonacci fra hans grav i Pisa.

En af de kendte matematikere fra perioden er Leonardo da Pisa (ca. 1170 - 1240). Han kaldes også for Fibonacci, der betyder ”søn af Bonacci”. Han opvoksede i Pisa, og hans far var købmand. Som ung foretog han flere handelsrejser i Middelhavsregionen for sin fars købmandshandel. Tidligt lærte han sig arabisk og studerede matematik hos arabiske lærde. Det siges, at overalt hvor han kom frem på sine rejser, opsøgte han lærde folk for at lære deres regnemetoder at kende. Omkring 1200 bosatte han sig i Pisa, hvor han underviste i regning og skrev flere bøger. Hans bøger kan bedst karakteriseres som regnebøger. Han udgav bogen Liber Abbaci, som simpelthen betyder ”Regnebog”. Den blev skrevet omkring 1202. Bogen er først og fremmest en lærebog i anvendelsen af arabertallene og en beskrivelse af, hvordan man regner med disse tal. På den tid kendte man ikke til de matematiske tegn, vi kender i dag, så alle problemer i bogen beskrives i ord. Bogen er heller ikke systematisk og abstrakt bygget op, som mange matematikbøger er i dag, men er en gennemgang af en lang række regneopgaver med anførte løsninger. Så kunne folk sidde og læse dem igennem for at få indtryk at, hvordan man løste problemer af matematisk art. Bogen anvendtes som en slags håndbog, hvor man kunne finde et problem, der lignede det man stod med, og her så finde en metode for problemets løsning.

Eksempel 1: Fra Liber Abbaci

Af fire mænd har de første tre tilsammen 27 dinarer. Den første har sammen med den tredje og den fjerde 31 dinarer. De to første har sammen med den fjerde i alt 34 dinarer, og de tre sidste har tilsammen 37 dinarer. Læg de fire pengebeløb sammen og få 129 dinarer. Del dette beløb i tre lige store dele og få 43 dinarer.

Så har første mand et beløb på 43 dinarer hvorfra der trækkes 37 dinarer, altså 6 dinarer,

Anden mand har et beløb på 43 dinarer fratrukket 31 dinarer, altså 12 dinarer.

Tredje mand har et beløb på 43 dinarer fratrukket 34 dinarer, altså 9 dinarer.

Fjerde mand har et beløb på 43 dinarer fratrukket 27 dinarer, altså 16 dinarer.

Eksempel 2: Kaninproblemet fra Liber Abbaci.

Mest berømt er nok kaninproblemet fra Liber Abbaci. Det lyder således:

Hvor mange kaninpar kan et par avle, når hvert par avler et nyt par på en måned, og et par først kan avle, når de er en måned gamle.

Hvis vi har et par nyfødte en måned, vil de ikke avle i næste måned, hvorfor der stadig er et par. Næste måned igen er dette par avlsklar, og der fødes et nyt par kaniner. Så nu er der to par. Næste måned igen vil det gamle par igen avle et par, mens det nye par et for ungt. Vi har så tre par. Af disse tre par er de to gamle nok til at avle, hvorfor der kommer to par til og i alt har vi 5 par. Således fortsættes og vi opnår den kendte række af Fibonaccital:

                1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

Overvej selv hvorfor systemet med, at de to foregående tal lagt sammen giver det næste passer med kaninernes mulighed for at avle nye par.