Tal bruges hver dag. De er en helt naturlig del af vores sprog. Vi bruger tallene 1, 2, 3, 4, 5, … osv. til at tælle med. Vi har to øjne og ti fingre. Der er fx 3600 sekunder på en time og 365 dage i året 2014. Danmark havde 5.584.758 indbyggere d. 1. april 2012.

Disse tal, som vi bruger til at tælle med, kaldes for de naturlige tal og betegnes med symbolet N:

                N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …}

Der findes uendeligt mange naturlige tal, så vi kan af gode grunde ikke angive dem alle i opremsningen ovenfor. Derfor sætter vi tre prikker … for at angive, at talrækken fortsætter efter samme mønster i det uendelige. 58 følger efter 57. 800 følger efter 799, og efterfølgeren til 1234567890123456789 er 1234567890123456790.

Vi bruger kun ti forskellige tegn til at skrive vores tal med, nemlig cifrene:

            0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Tallene 537 og 753 består af de samme tegn, men de står på forskellige pladser. Pladsen er afgørende for tegnets betydning. I det første tal betyder tegnet ”5” fem hundrede og i det andet tal betyder det halvtreds, altså fem ti’ere.

Vi kalder vores talsystem et positionssystem med grundtallet 10, netop fordi cifrene i tallet fra højre tæller enere, ti’ere, hundrede (som er ti ti’ere), tusinder (som er ti hundreder) osv.

Tallet 30153 skal opfattes således:

Vi behøver ikke tælle hver gang vi skal finde et bestemt antal. Hvis vi har 10 kasser øl, så ved vi, at vi har 300 øl, for der er 30 øl i en kasse. Vi harfire regningsarter plus (+) , minus (-) , gange ( · eller × ) eller dividere ( : eller / ). Hvis vi kun bruger de naturlige tal, kan vi altid lægge sammen og gange, resultatet bliver igen et naturligt tal. Men hvis vi trækker to naturlige tal fra hinanden, får vi ikke nødvendigvis et naturligt tal.

Udregningen 5 – 5 = 0 giver som bekendt nul, og det regnes ikke for et naturligt tal. Regnestykket 5 – 7 kan egentlig slet ikke udføres, for man kan jo ikke fjerne mere end man har. Der mangler 2. Alligevel har det ofte mening at foretage sådanne udregninger. Man kan jo skylde, hvis det drejer sig om en vare, man køber. Her kan man angive, hvor mange der faktisk mangler ved at sætte et minustegn foran tallet, så resultatet bliver

5 – 7 = – 2 .

Herved opstår de negative hele tal.

De hele tal består af de naturlige tal, nul og alle de negative hele tal. De betegnes med symbolet Z:

                Z = { …, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

Igen er der uendeligt mange hele tal, og de strækker sig nu både i positiv og negativ retning, hvorfor vi forsyner opremsningen med … både før og efter de angivne tal.

Tallene kan illustreres ved en tallinje. Det er en ret linje forsynet med et nulpunkt, der skal illustrere tallet 0, og forsynet med en pil, der angiver retningen af de positive tal. Så afsættes alle de naturlige tal i pilens retning med lige stor afstand og tilsvarende symmetrisk om nulpunktet anbringes de negative hele tal i den modsatte retning.

Vi kan regne med tal, og det er vigtigt at vide, hvornår man skal bruge de forskellige regnearter. Der er seks forskellige regningsarter, som passer sammen to og to.

Plus og minus

Hvis du har to tal, kan du lægge dem sammen, fx er

    5 + 7 = 12

Den modsatte regningsart til plus er minus. Du kan fx spørge om, hvad skal du lægge til 7 for at få 12?

   tal + 7 = 12

Her er svaret, at det er tallet 12 – 7 = 5.

At de to regnearter er hinandens omvendte kan vi se af udregningen:

    5 + 7 – 7 = 5

(+7 og –7 ophæver så at sige hinanden)

Gange og dividere

Multiplikation - eller gange - er en række fortsatte sammenlægninger af samme tal. Fx er

    7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 5 · 7 = 35

Læg mærke til at 1 · 7 = 7 og at 0 · 7 = 0

Division er den omvendte af gange. Hvis du fx spørger om hvor mange gange du skal have 7 for at få 35, altså:

    tal · 7 = 35

er svaret tallet 35/7 = 5. Vi siger også "7 går 5 gange op i 35" eller "35 er 5 gange større end 7".

At gange og dividere ophæver hinanden viser denne regning:

    5 · 7 / 5 = 35/5 = 7 (så at gange med 5 og derefter dividere med 5 ophæver hinandens virkning).

Potens og rod

Potenser er blot en række fortsatte gangestykker med samme tal, fx er:

    5 · 5 · 5 = 53 = 125

Vi siger, at "5 i tredje er 125".

Tallet for neden, 5, er det tal, der skal ganges, og tallet for oven, 3, er det antal gange 5 skal ganges med sig selv.

Læg mærke til at 51 = 5.

Rod er det omvendte af potens. Her kan vi fx spørge om hvilket tal, der ganget med sig selv 3 gange giver resultatet 125. 

    tal3 = 125

Svaret kaldes for den tredje rod, og vi skriver det som

 Potens og rod er hinandens omvendte regningsarter. Fx er:

Ligeledes kan resultatet af udregningen 3 : 5 angives som brøken:

På tallinje kan disse brøker indtegnes ved at inddele stykket mellem 0 og 1 i 5 lige store dele. 

Første delestreg angiver 1/5 og tredje delestreg angiver 3/5

I brøken 3/5 kaldes tallet under brøkstregen for nævneren, og det angiver, hvilke slags ”dele” der er tale om – i dette tilfælde 5’te dele. Tallet over brøkstregen kaldes for tælleren og angiver, hvor mange ”dele” vi har taget, i dette tilfælde 3 dele. Brøker kan altid opfattes som en division af tæller med nævner. 

Mængden af alle brøkerne kaldes for de rationale tal og betegnes med symbolet Q.

Hvis vi inddeler hver femtedel i tre lige store dele, har vi inddelt stykket mellem 0 og 1 i 15 lige store stykker.

Hvor vi før havde brøken 1/5 har vi nu brøken 3/15 og hvor der før stod 3/5 har vi nu 9/15. I begge tilfælde har vi ganget både tæller og nævner med samme tal, nemlig tallet 3. Vi siger, at vi har forlænget brøkerne med tallet 3. Selve brøkens værdi ændres ikke, når vi forlænger den. Det er samme tal.

På tilsvarende måde kunne vi gøre det modsatte. Vi kunne fx i brøken 9/15 dividere både tæller og nævner med tallet 3 og få brøken 3/5. Vi siger, at vi forkorter brøken med tallet 3. Igen ændres brøkens værdi ikke. Så det samme tal kan altså udtrykkes som brøk på mange forskellige måder ved at forlænge eller forkorte.

Forlænge eller forkorte brøker:

En brøk  forlænges med tallet n ved at gange både tæller og nævner med tallet n:

Brøkens talværdi ændres ikke.

En brøk  forkortes med tallet n ved at dividere både tæller og nævner med tallet n:

Omvendt kan en brøk omsættes til decimalbrøk ved simpelthen at udføre den division, som brøken repræsenterer:

Men det er nu ikke altid, at divisionen slutter som ovenfor. Et eksempel er: 

Divisionen bliver aldrig færdig, og vi ender med en uendelig decimalbrøk.

Udtryk bestående af tal og variable kan omformes efter bestemte regler. Lad os først se, hvordan man betragter sådanne udtryk. Sådanne regneudtryk består af led og faktorer. Led er adskilt af regnetegnene + (plus eller addition) og – (minus eller subtraktion), mens faktorer er adskilt af · (gange eller multiplikation) og : (dividere). Ofte undlader man at skrive gange tegnet, så udtrykket 5a betyder 5 gange med variablen a.

Udtrykket:           7a + 3ab – 6b

består af tre led, nemlig 7a, 3ab og 6b. Hvert led består af faktorer, og leddet 7a består af de to faktorer 7 og a. Leddet 3ab består af tre faktorer, nemlig 3, a og b.

Leddenes og faktorernes rækkefølge

I et udtryk kan man bytte om på leddene, som det passer en, blot man sørger for, at fortegnet (+ eller –) foran leddet følger med:

             7a + 3ab – 6b  =

             3ab + 7a – 6b  =

             3ab – 6b + 7a  =

             – 6b + 3ab + 7a

Ligeledes er faktorernes orden underordnet, blot man holder rede på, hvilke faktorer der skal ganges på resultatet og hvilke, der skal divideres. For eksempel er 3ab det samme som 3ba. Det er dog mest almindeligt at skrive bogstavs-faktorer i alfabetisk rækkefølge.

Når man skal udregne værdien af et udtryk, er der en bestemt rækkefølge, der skal følges. Den kaldes regnearternes hierarki:

1.  Først udregnes potenser og rødder (kvadratrødder ol.)

2.  Dernæst udregnes multiplikationer og divisioner.

3.  Til sidst udregnes additioner og subtraktioner

I udtrykket:             33 – 6 · 7 + 3 · 22

udregnes først potensen 22 = 4

og vi får:                33 – 6 · 7 + 3 · 4

Så udregnes alle leddene (de to multiplikationer foretages):

                               33 – 42 + 12

og endelig får vi det samlede resultat:  3.

Parenteser i regneudtryk

Hvis denne rækkefølge skal brydes, må man bruge parenteser. Parenteser betyder, at parentesens indhold skal udregnes først:

I udtrykket:         4 · (2 + 5) 

skal 2 + 5 først udregnes til 7 inden multiplikationen udføres:

                          4 · (2 + 5)  =  4 · 7  =  28

Man kan ophæve parenteser i udtryk efter bestemte regler:

Reglen om plus-parenteser:

Hvis parentesen optræder som et led i et udtryk med + (plus) foran og + eller – bagefter, kan parentesen blot fjernes:

    5 + (3a + 7b – 3ab) – 2a  =  5 + 3a + 7b – 3ab – 2a 

Reglen om minusparenteser:

Hvis parentesen optræder som et led i et udtryk med – (minus) foran og + eller – bagefter, kan parentesen fjernes, hvis vi ændrer alle fortegn (+ og – ) inde i parentesen til det modsatte tegn:

    5 – (3a + 7b – 3ab) – 2a  =  5 – 3a – 7b + 3ab – 2a 

Parentes i gangeudtryk:

Hvis en parentes optræder som faktor i et gangeudtryk og parentesen kun indeholdet ét led – men gerne flere faktorer – kan den blot fjernes:

             2 · ( 4 · 7)   =   2 · 4 · 7

At gange ind i en parentes:

Hvis parentesen optræder som faktor i et gangeudtryk og indeholder flere led, kan den fjernes, hvis hvert af leddene i parentesen ganges med de faktorer, der optræde uden for parentesen:

             7 (a + b – 3)  =  7a + 7b – 7 · 3  =  7a + 7b – 21

Fortegnsregler

Når man ganger eller dividerer to tal med hinanden vil resultatets fortegn afhænge af de to tals fortegn. Fortegnsreglerne ved multiplikation kan kort skrives således:

             (+) · (+)   =   (+)

             (+) · (–)   =   (–)

             (–) · (+)   =   (–)

             (–) · (–)   =   (+)

Der gælder de samme fortegnsregler ved division.   

Brøker

Hvis der optræder flere led eller faktorer i tæller og nævner i en brøk, skal tæller og nævner opfattes, som om de var anbragt i en parentes:

Når du arbejder med dit CAS-værktøj, kan du selv vælge, om du vil have et resultat angivet som brøk eller som decimalbrøk. Ofte foretrækker man decimalbrøker, for de er nemmere at overskue og sammenligne. Men mange gange er decimalbrøkerne meget lange, og, som vi har set, er nogle af dem uendelige. Derfor har man brug for at forkorte dem.

Der er fast regler for at forkorte decimalbrøker. Hvis vi vil forkorte tallet

    3,24513

til 3 decimaler, kigger vi på decimal nr. fire. Det er et 1-tal og det betyder, at vi skal runde ned og fjerne decimalerne fra nr. 4 og nedefter.

    3,24513 ≈ 3,245

Havde vi derimod haft tallet

    3,245722

er den fjerde decimal 7 og det betyder, at vi skal runde op. Så tredje decimal rundes op til tallet lige over; 5 bliver til 6.

    3,245722 ≈ 3,246

Nogle gange kan man beregne resultat af en udregning ved at bruge tilnærmede tal. Hvis vi fx skal beregne regnestykket

    985 · 5010

kan vi sige, at 985 er tæt på 1000 og 5010 er tæt på 5000

Derfor er resultatet tæt på udregningen

    1000 · 5000 = 5 000 000

Prøv selv på en lommeregner at se, hvor tæt på vi er kommet.