Tablo Çözümü-2

Bu kez, başka problem örnekleri arasında sunduğumuz yatak-dolap üretim probleminin simplex tablo çözümünü adım adım açıklayarak gösteremeyi deneyeceğiz.

Öncelikle, problem kurulumunu gösterelim. Yatak ve dolapların birim kârlarını kullanan hedef fonksiyon aşağıdaki gibidir:

Z = 2000 x₁ + 500 x₂

Ahşap, MDF; boya ve işçilik saati kullanım kısıtları ise aşağıdaki gibidirler:

6x₁ + 2x₂ ≤ 42

x₁ + 7x₂ ≤ 49

x₁ + 2x₂ ≤ 15

5x₁ + x₂ ≤ 30

Simplex tablo çözümüne giriş için, bu matematiksel ifadeleri "eklemeli forma" getirmeyizi, yani bilinmeyen terimleri sol tarafta toplamalı ve gerektikçe pay/boşluk değişkenleri ekleyerek eşitsizlikleri birer eşitlik olarak yazmalıyız:

Z - 2000 x₁ - 500 x₂ = 0

6x₁ + 2x₂ + x₃ = 42

x₁ + 7x₂ + x₄ = 49

x₁ + 2x₂ + x₅ = 15

5x₁ + x₂ + x₆ = 30

Bu eklemeli formdaki boşluk değişkenleri aslında kullanılamayan ahşap miktarı (x₃), kullanılmayan MDF miktarı (x₄), kullanılmayan boya miktarı (x₅) ve kullanılmayan işçilik saatidir (x₆). Son çözümde bunlardan sıfır çıkanlar olursa, o kaynak (ahşap, MDF, boya ya da işçilik) tam kullanılmış demek olacaktır.

Artık simplex tablosunu oluşturabiliriz. Bunun için toplam kârı veren Z, asıl aktiviteleri (yani yatak ve dolap üretim adetlerini) veren hedef değişkenler (x₁ ve x₂) boşluk değişkenleri dahil, her terimi kendine ait sütuna koyacağız. Son sütunda da eklemeli formdaki eşitliklerin sağ tarafındaki sabit değerler olacak:

Tam şu anda, çözmeye çalıştığımız problemdeki hedef değişken sayısı (kâr getiren iki aktiviteyi temsil eden x₁ ve x₂ değişkenleri) ve yeni eklediğimiz boşluk değişkenleri de dahil, tüm bilinmeyenlerin sayısını gözden geçirelim:

• Toplam kârı veren Z ve kullanılmayan kaynak miktarlarını veren boşluk değişkenleri dahil, bu problemde 7 bilinmeyen vardır.

• Bilinmeyen sayısı aslı hedef değişken sayısı, artı hedef fonksiyon sonucu (buradaki toplam kâr Z) ve de artı kısıt sayısı (her bir kısıt için bir boşluk değişkeni) kadardır. Yani 2 + 1 + 4 = 7.

• Hedef fonksiyonun matematiksel ifadesi ile eşitliğe dönüştürülen kısıtları birleştirince, 5 adet eşitlik vardır.

• Bilinmeyen sayısı ile eşitlik sayısı arasındaki fark 2'dir. Yani bu tablo çözümüyle yalnızca 5 bilinmeyeni bulabileceğiz. Bilinmeyenlerden ikisi çözüme dahil olmayacaktır.

Şu anki başlangıç durumunda, hedef değişkenlerimiz çözüme dahil değildir. Çünkü başlangıç durumu, henüz hedefe yönelik bir aktivite olmadığı durumdur; bu örnekte kâr elde edilmesini sağlayacak yatak veya dolap üretimi yoktur. Bunu belli etmek için hedef değişkenlerimizi griyle etiketledik.

Bu başlangıç durumunda çözüme dahil olan boşluk değişkenlerine ait sürunlardaki 1 sayıları gördüğünüz gibi bir birim matris oluşturmaktadır. Kısıtlardan gelen eşitliklerdeki sağ taraflara bakarsanız, boşluk değişkenlerinin kısıt sınırlarına eşit olduklarını görüyorsunuz.

• Kullanılmayan ahşap miktarı x₃ = 42 m²,

• Kullanılmayan MDF miktarı x₄ = 49 m²,

• Kullanılmayan boya miktarı x₅ = 15 kutu,

• Kullanılmayan işçilik ise x₆ = 30 saat

şu an elimizde olan ilk çözüm değerleridir.

Çözüm: Birinci aşama

Çözümün birinci aşamasında, hedef değişkenlerimizden birini çözüme dahil etmeye çalışacağız. Bunun için de hedef fonksiyonun matematiksel ifadesinden oluşturduğumuz ilk tablo satırına bakacağız. Bu satırda hedef değişken x₁'in katsayısı olan -2000 bize diyor ki, üretmediğimiz her yatak bize 2000 TL kaybettiriyor. Bu fırsat maliyetidir, yani kârdan zarar ediyoruz. Çözüme dahil etmemiz gereken hedef değişken işte budur.

Bu sütunu "pivot sütun" olarak seçelim:

Evet, kârı arttırma hırsıyla yatak üretimine geçmeye karar verdik, ama kaç yatak üretebileceğiz? Bu sorunun cevabını kısıtlardan alacağız. Hedef fonksiyonla ilgili ilk tablo satırını boşverip, kısıtlardan oluşturduğumuz diğer tablo satırlarına bakalım. Bu eşitliklerin sağ taraf değerleri bize kullanabileceğimiz kaynakların sınır miktarlarını veriyordu. Bu değerlerin her birini pivot sütunda karşılık gelen değerlere bölelim:

Sağ taraf (R) sütununda yaptığımız hesaplar bize her bir kısıtın ne kadarlık yatak üretimine imkan verdiğini belirlemek için. Gördüğünüz gibi, son satırdaki işçilik kısıtı bize en fazla 6 adet yatak üretebileceğimizi söylüyor. Yatak üretim adedini belirleyen baş kısıt bu.

Bu son satırı da "pivot satır" olarak seçiyoruz:

İşçilik kısıtıyla ilgili son satırı pivot satır olarak seçmemizin anlamı şudur: İşçilik saatlerini tümüyle yatak üretimine adamaya karar verdik. Yani işçilik kısıtının boşluk değişkeni x₆'yı değil, artık yatak üretim adedi x₁'i çözüme dahil edeceğiz. Artık x₆ çözümdeki yerini x₂'ye bırakıyor. Bu yer değişimini renk değişimiyle belli ettik.

Pivot satır ve pivot sütun kesişiminde yer alan değer 5 bu aşamadaki "pivot değer"dir. Şimdi pivot satırdaki her değeri bu pivot değere böleceğiz:

Bir sonraki adım pivot sütundaki diğer değerlerin sıfırlanmasıdır. Örneğin, pivot sütunda ilk tablo satırındaki -2000 değerini sıfırlamak için, pivot değeri 2000 ile çarpıp ona eklememiz gerekir. Ama bunu yaparken, pivot satırdaki her değeri 2000 ile çarpıp, ilk satırda karşılık gelen değerlere eklemeliyiz.

Bu sıfırlama işlemini yaparken, aslında yatak üretiminin bize ne kadar kâr getirdiğini ve diğer kaynakları ne kadar kullandırdığını bulmuş oluyoruz.

Bu sıfırlama işlemini diğer her satır için de aynı şekilde yaparsak, yani o satırdaki pivot sütun değerini sıfırlayacak çarpanı bulursak, hesaplar aşağıdaki gibi olacaktır:

Bu hesaplamaları yaptığımızda çözümün ilk aşamasını tamamlamış oluruz:

Bir sonraki çözüm aşamasına geçmeden önce, her satırdaki değişimlerin anlamlarını açıklayalım:

• Toplam kârı veren ilk satırdaki sağ taraf değeri 12000 olmuştur. Bu aslında 6 yatak üretiminin getireceği (6 * 2000 = 12000) kârdır.

• Ahşap kısıtıyla ilgili ikinci satırın sağ tarafı 6 olmuştur; yani yatak başına 6 m² ahşap kullanıldıktan sonra, 42 m²'lik limitten geriye 6 m² ahşap kalmıştır.

• Benzer olarak, yatak başına 1'er m² MDF kullanıldıktan sonra 49 m² MDF'den geriye 43 m² kalmıştır.

• Eh, neden 9 kutu boya kaldığını anlamışsınızdır.

• Son satırdaki eşitlikte ise sağ taraf değeri artık kalan işçilik saati değil, tüm işçiliği kullanarak üretebileceğimiz yatak adedidir.

Çözüm: İkinci aşama

Toplam kârı veren ilk satırda hala negatif bir değer olduğunu görüyoruz. Bu -100 değeri dolap üretimiyle ilgili x₂ sütununda. Bize diyor ki üretmediğimiz her dolap bize 100 TL kaybettiriyor. Hmm, bir dolabın getireceği kâr 500 TL değil miydi? Neden bir dolap yapmamak 500 TL değil de 100 TL kaybettiriyor?

Bunun cevabını vermeden önce, tüm işçiliği yatak üretimine adadığımız için artık dolap üretemeyeceğimizi hatırlayın. Peki bu 100 TL'lik kayıp neyin nesi?

Durum aslında şu: Bir yatak üretmek 5 saat işçilik gerektiriyordu. Ve bir yatak o 5 saatlik işçilik kullanımıyla bize 2000 TL kazandırıyordu. Halbuki aynı 5 saat işçilikle 5 adet dolap üretseydik 2500 TL getirisi olurdu. Yani işçilik kullanımı açısından bakarsak, 5 dolap yerine 1 yatak üretmek bize 500 TL (dolap başına 100 TL) kaybettiriyormuş. -100 TL'nin açıklaması işte bu.

Daha tablo çözümüne geçmeden önce anlıyoruz ki belki de 1 yatak üretiminden vazgeçip 5 dolap üretsek, hatta 2 yatak yerine 10 dolap üretsek toplam kârı daha da arttırabiliriz.

Kesin sonuca varmak için yeni pivot sütunu belirleyelim ve hangi kısıtın dolap üretimini ne kadar kısıtlayacağını bulalım:

Sağ taraf değerlerinin pivot sütun değerlerine oranları bize gösteriyor ki bu kez boya kısıtıyla ilgili dördüncü eşitlik dolap üretim sınırını belirliyor. Diğer satırlardaki kesirlerin ondalık eşdeğerlerini hesaplamadık, ama eminiz ki 5'den daha büyükler.

Sonuç olarak, kalan boya miktarını veren x₅ değişkenini çözümden çıkartıp, onn yerine x₂ değişkenini çözüme dahil edeceğiz. Pivot satırdaki değerleri pivot değer 9/5'e böldükten sonra aşağıdaki tabloyu elde ederiz:

Şimdi de pivot sütundaki diğer değerleri sıfırlamamız gerekecek:

Bu hesaplamaları yapınca çözümün ikinci aşamasını tamamlamış oluruz:

Artık tablo ilk satırında negatif bir katsayı kalmadığına göre, çözüm tamamlanmıştır. Bu aşamada başka bir pivot sütun veya pivot satır seçimi yapmaya gerek yoktur. Çözümün sonuçlarını özetlersek:

• Kullanılmayan boya miktarı gösteren x₅ çözüme dahil değildir; boya kaynağı tümüyle üretimde kullanılmaktadır.

• Kullanılmayan işçilik saatini gösteren x₆ da çözüme dahil değildir; işçilik saatleri bütünüyle üretimde kullanılmaktadır.

• Yatak üretim adedini gösteren x₁ sütununda tek 1 değeri son satırdadır; bu satırın sağ taraf değeri 5 olduğuna göre, üretilecek yatak adedi 5 olacaktır.

• Dolap üretim adedini gösteren x₂ sütununda tek 1 değeri sondan önceki satırdadır; bu satırın sağ taraf değeri 5 olduğuna göre, üretilecek dolap adedi de 5 olacaktır.

• Çözümün gösterdiği maksimum kâr 12500 TL'dir; bu sonuç üretim adetleri ve birim kârların çarpımıyla doğrulanabilir.

• İkinci satırdan anlaşılacağı gibi, kullanılmayan ahşap miktarı 2 m²'dir.

• Üçüncü satırdan anlaşılacağı gibi, kullanılmayan MDF miktarı da 9 m²'dir.

İlk aşamada daha fazla kâr getirdiği için 6 yatak üretimine karar verdikten sonra, son bir yataktan vazgeçip 5 saatlik işçiliği dolap üretimine yönlendirmiş olduk. Bu iki aşamayı aşağıdaki grafikte köşe dolaşan kırmızı oklarla gösterdik.

Artık siz okuyucularımız şu soruya cevap arayabilir: Patron bu kullanılamayan ahşap ve MDF'yi almasa çözüm değişir miydi?