Problem çözümünde değişkenler küçük harfle gösterilir ve üretim miktarlarını (veya tanıma göre başka bir parametreyi) temsil ederler.
İki tip ürünü olan bir tesis için ürün adları X ve Y olsun. Bu sembolleri, karşılık gelen ürünlerin üretim miktarlarını temsil eden değişkenler olarak kullanabilirsiniz.
Bu ürünlerin üretiminde kullanılan makineler (adları A, B ve C olsun) ise üretim kaynaklarıdır.
Ürünler X ve Y'nin her bir biriminin üretimi bu makinelerde belli bir zaman alacaktır. Diyelim, bir birim X'in üretimi
A makinesinde 1 saat,
B makinesinde 3 saat,
C makinesinde 10 saat gerektiriyor.
Bir birim Y'nin üretimi ise
A makinesinde 1 saat,
B makinesinde 8 saat,
C makinesinde 7 saat
gerektiriyor olsun.
Bu makinelerin kullanılabileceği saat sınırlamaları,
A makinesi için 40 saat,
B makinesi için 240 saat,
C makinesi için 350 saat,
problemin kısıtlarını oluşturur.
Ürünlerin (üretimin tamamının satılabileceği varsayımıyla) satışlarından elde edilen toplam kârın belirlenmesi ise problemin çözüm hedefidir. Daha doğrusu, problemin hedefi bu toplam kârın olabilecek en yüksek düzeye getirilmesidir.
İleride göstereceğiz ki, her problemin hedefi en iyi sonuca erişmektir, ama bu her zaman kâr gibi bir niceliği en yüksek düzeye getirmek olmayabilir.
Toplam satış kârını ürünlerin birim miktarının satışından elde edilen birim kârları bilerek hesaplayabiliriz.
Birim kârlar
X için 5 TL,
Y için 7 TL olsun.
Problemin hedefi olan toplam kârın matematiksel formülü, ürünlerin üretim miktarlarını temsil eden x ve y değişkenleriyle,
Z = 5x + 7y
şeklinde ifade edilir. Problemin çözümü bu matematiksel ifadenin sonuç değerini en yüksek düzeye getirecek x ve y değişken değerlerini bulmayı gerektirir.
Problemin hedef formülü basit bir doğrusal ifade olduğuna göre, en yüksek kâr demek, en yüksek x ve y değerleri demektir. Yani en yüksek değer sonsuzdur. Ama, hayır, öyle değil. Makinelerin saat sınırlamaları sonsuz üretimi, imkansız kılar.
Geçerli çözüm için x ve y değerleri, makinelerin toplam üretim saatleri üzerindeki sınırlamaları belirleyen şu matematiksel eşitsizlikleri (kısıt ifadelerini) sağlayacak şekilde belirlenmelidir:
1x + 1y ≤ 40
3x + 8y ≤ 240
10x + 7y ≤ 350
Bunlardan başka, x ve y değerlerinin sıfırdan büyük, reel sayılar olma koşulu da vardır.