Kolay Çözüm Önerileri

İki değişkenli doğrusal programlama problemi için oluşturduğunuz grafik üzerinde çözümü daha baştan tahmin etmeniz zor değildir. Tek yapmanız gereken şey mantık yürütmek olacaktır.

Pene-Pen örnek problemi için oluşturduğunuz grafiğe bakın. Kapı ve pencereler doğramaları yapıldığında satışa hazır olsalardı, Tesis-1'in saat sınırlamasını aşmayacak sayıda kapı (4 lot), Tesis-2'nin saat sınırlamasını aşmayacak sayıda da pencere (6 lot) yapılabilirdi. Buna göre de toplam kâr

Z = 4 * 3000 TL + 6 * 5000 TL = 42000 TL olurdu.

Özetle, çözüm doğrama tesislerinin kısıt çizgilerinin (x₁ = 4 ve x₂ = 6) kesiştiği köşe noktasında bulunurdu.

Şimdiki durumda, bu iki ürünün montaj için ortak kullandıkları Tesis-3'ün saat sınırlaması bu kolay çözümü geçersiz kılmaktadır. Tesis-3 kısıt çizgisinin diğer tesis kısıt çizgilerini (x₁ = 4 ve x₂ = 6) kestikleri köşe noktaları olası çözüm noktalarıdır. Bu iki köşe noktası fizibilite bölgesinin çıkıntı yapan noktalarıdır. Orijine en uzak noktalardır. Yani, kısıtlara sağlayan en büyük x₁ ve x₂ değişken değerlerini bu noktalarda buluruz. Hangi köşe noktasının son çözüm olduğunu bilmek için de hangi noktadaki değişken değerleri için hedef fonksiyon değerinin en iyi olduğunu belirlemeniz gerekir.

Bunun için bir kolay yol grafik üzerindeki kısıt çizgileri eğimlerine bakmaktır. Montaj tesisi kısıt çizgisinin doğrusal fonksiyonu

3 x₁ + 2 x₂ = 18

idi. Bunun eğimini basitçe, x₁ katsayısını x₂ katsayısına bölerek bulabilirsiniz: -3/2, yani -1,5.

Bu kısıt çizgisinin x₁ arttıkça azalan bir eğime sahip olduğu dikkatinizi çekmiştir. Eğimdeki eksi işareti bundan dolayıdır.

Bu yol sizin için fazla kestirmeyse, işi ciddiye alın ve kısıt çizgisi formülünü dikey eksen değişkenini bir eşitliğin solunda yalnız bırakacak şekilde yeniden yazın:

x₂ = 9 - (3/2) x₁ veya x₂ = - (3/2) x₁ + 9

Bu formüldeki yatay değişken x₁ katsayısı -1,5 doğrunun eğimidir.

Olası çözüm noktaları olan köşe noktalarını bu eğimli kısıt çizgisi belirliyor. Son çözümün hangi köşe noktası olacağını ise performans fonksiyonunun eğimi belirler. Kolay çözüm için performans fonksiyonunu grafik üzerinde göstermenize bile gerek yoktur. Hatırlarsanız, toplam kârı veren hedef fonksiyon formülünü Z = 3 x₁ + 5 x₂ şeklinde oluşturmuştunuz. Bu çizginin eğimi de -3/5, yani -0,6'dır. Bu eğim değerini aşağıdaki grafikte de görüyorsunuz. Montaj tesisi kısıt çizgisinin eğimini de aynı grafikte gösterdik.

Bu eğim (sayı büyüklüğü itibariyle) montaj tesis kısıtı eğiminden daha küçüktür. Yatay kısıt çizgisi x₂ = 6 eğiminden de (sayı büyüklüğü itibariyle) daha büyüktür. Eğimi bu iki kısıt çizgisinin eğimleri arasında olduğuna göre, son çözüm bu iki kısıt çizgisinin kesiştiği köşe noktası olmalıdır ki öyledir. Çözüm o noktadadır. İşte çözümü kolay yoldan buldunuz.

Eğim karşılaştırma yöntemini kullanarak, kâr oranlarının değiştiği bir durumda çözüm farklı olur muydu sorusuna da cevap arayabilirsiniz. Diyelim piyasa öyle değişti ki kapının lot kârı artık pencere lot kârıyla aynı, yani ikiside 5000er TL. Artık performans fonksiyonu eğimi -1 olacaktır, ama aşağıdaki grafikte de gördüğünüz gibi, bu eğim hala montaj kısıt çizgisinin eğiminden daha küçüktür. Dolaysıyla (2,6) köşe noktası hala fizibilite bölgesinin orijine göre en dıştaki noktası olduğu için optimum çözüm noktasıdır.

Hatırlarsanız, grafik üzerindeki diğer olası çözüm Tesis-1'in x₁ = 4 dikey kısıt çizgisi ile Tesis-3'ün 3 x₁ + 2 x₂ = 18 eğimli kısıt çizgisinin kesiştiği (4, 3) köşe noktasıydı. Pene-Pen şirketinin sahibi size hangi durumda bu köşe noktasının son çözüm olacağını sormuş olsun.

Performans fonksiyonu eğimi montaj kısıtı eğimine eşitse o zaman bu iki çizgi çakışır (bkz. aşağıdaki grafik), yani ha (2,6), ha (4,3), her ikisi de optimum çözüm olabilecektir dersiniz. Bu durum ancak pencere lot kârı hala 5000 iken kapı lotu kârı tam tamına 7500 olursa gerçekleşir.

Performans fonksiyonunun eğimi (sayı büyüklüğü itibariyla) 3/2 = 1,5'dan daha büyük herhangi bir değer ise, çözüm bu (4,3) köşe noktası olacaktır. Örneğin pencere lot kârı 5000 iken kapı lot kârı 9000'e erişti diyelim. Bu durumu da aşağıdaki grafikte görüyorsunuz: