Başka bir Örnek

Pene-Pen örneğine dönelim ve bir kısıt daha ekleyelim. Güya pencere ve kapıların doğramaları montajdan önce boyanması gerekiyor. Boyama işini de belli bir çalışma süresi olan bir işçi yapıyor. Okuyucularımıza yeni bir tür egzersiz sunmuş olmak için, bu kısıtı problem sunumuna değil de, problem grafiğine ekledik.

Kısıt formülünü grafiğe son eklediğimiz çizginin başlangıç ve bitiş koordinatlarına bakarak elde etmeyi göstereceğiz. Sanki boyacının kapı ve pencere lotlarını boyamak için kaçar saat harcadığını ve toplam çalışma saati limitini bilmiyormuş gibi davranıyoruz.

Montaj tesisi (Tesis-3) kısıt çizgisiyle kesişecek şekilde eklediğimiz boyacı kısıt çizgisinin başlangıç koordinatları (0, 7), bitiş koordinatları ise (8, 1). Ortaokul matematik derslerini boş geçirmemişseniz, bu bilgilere göre kısıt çizgisi eğimini

Δx₂ / Δx₁ = (1 - 7) / (8 - 0) = -6 / 8 = -3 /4

şeklinde bulursunuz. Bu kısıt çizgisinin dikey ekseni x2 = 7 noktasında kestiğine göre, çizginin formülü:

x₂ = (-3 /4) x₁ + 7

şeklinde olmalıdır. Bu formülün her terimini 4 ile çarparak x₁ terimindeki paydadan kurtulursunuz. x₁ ve x₂ terimlerini aynı tarafa alarak da formülü "kapalı" şekliyle yazmış olursunuz:

3 x₁ + 4 x₂ = 28

Şunu önemle vurgulayalım: Bu kısıt çizgisinin formülüdür, kısıtın formülü değildir. Bu çizgi bir üst sınır koyduğu için, kısıt formülünü:

3 x₁ + 4 x₂ ≤ 28

şeklinde yazarsınız.

Bu formülden boyacı kısıtının açıklamasını anlamanız zor değildir. x₁ katsayısını bir kapı lotunun boyanma süresi, x₂ katsayısını bir lot pencerenin boyanma süresi, kısıtın sağ tarafındaki 28'i ise boyacının çalışma saati sınırıdır diye düşünebilirsiniz. Problem sunumuna bu kısıtı:

• Haftada en fazla 28 saat çalışan bir boyacı bir lot kapıyı 3 saatte, bir lot pencereyi 4 saatte boyamaktadır.

şeklinde bir ifadeyle ekleyebilirsiniz.

NOT: Bizim gösterdiğimiz kısıt formülünde ortak bölenler düşülmüş de olabilirdi. Yani boyacı kapı lotu başına 6, 9, 12, ... saat, pencere kotu başına 8, 12, 16, ... saat harcıyor ve haftada en fazla 56, 84, 112, ... saat çalışıyor da olabilirdi. Sözün kısası, normalde kısıt çizgisinin formülüne bakarak kısıtın asıl ifadesini kesin olarak oluşturamasınız.

Bu yeni kısıtın eklenmesiyle, problem grafiği üzerinde (eksen kesişimleri hariç) köşe noktası sayısı 3'e çıkar. Bu köşe noktalarını aşağıdaki grafikte A, B, C olarak gösterdik:

Şimdi problemi bu ek kısıtı da göz önüne alarak çözmeye çalışın. Kısıt çizgileri eğimlerine bakarak, şu sorunun çözümünü bulacaksınız:

• Kapı lot kârı 3000 TL olmak üzere pencere lot kârı ne olmalıdır ki

  • A noktası optimal çözüm olsun?

  • B noktası optimal çözüm olsun?

  • C noktası optimal çözüm olsun?

Çözümler aşağıdaki gibi olacaktır:

• A noktası x₂ = 6 ve 3 x₁ + 4 x₂ = 28 kısıt çizgilerinin kesişim noktasıdır.

  • Kısıt çizgilerinin eğimleri (sırasıyla) 0 ve -3/4 = -0,75'dir.

  • Performans fonksiyonu eğimi bu değerler arasındayken optimal çözüm A noktası olacaktır.

  • Çözümün A noktası olması için lot kârları oranı 0 ile 0,75 arasında olmalıdır.

  • Kapı lot kârı 3000 TL iken pencere lot kârı

  • 3000 / 0 = sonsuz ile

  • (yani, ya pencereler dünya kadar para ediyor, ya da aslında kapılar 3000 TL değil de, sıfır kârla, maliyetine satılıyor)

  • 3000 / 0,75 = 4000 TL

  • arasında ise optimal çözüm A noktası olacaktır.

  • Yani pencere lot kârı 4000 TL'nin üzerinde bir tutar olduğunda çözüm A'dır.

  • Şimdiki durumda lot kârları kapı için 3000, pencere için 5000 iken çözüm böyledir.

  • Bunu aşağıdaki grafikte gösteriyoruz.

• B noktası 3 x₁ + 4 x₂ = 28 ve 3 x₁ + 2 x₂ = 18 kısıt çizgilerinin kesişim noktasıdır.

  • Kısıt çizgilerinin eğimleri (sırasıyla) -3/4 = -0,75 ve -3/2 = -1,5'dur.

  • Performans fonksiyonu eğimi bu değerler arasındayken optimal çözüm B noktası olacaktır.

  • Çözümün B noktası olması için lot kârları oranı 0,75 ile 1,5 arasında olmalıdır.

  • Kapı lot kârı 3000 TL iken pencere lot kârı

  • 3000 / 0,75 = 4000 TL ile

  • 3000 / 1,5 = 2000 TL

  • arasında ise optimal çözüm B noktası olacaktır.

  • Kapı pencere lot kârları aynıyken çözüm böyle olacaktır. Bunu da aşağıdaki grafikte gösteriyoruz.

• C noktası 3 x₁ + 2 x₂ = 18 ve x₁ = 4 kısıt çizgilerinin kesişim noktasıdır.

  • Kısıt çizgilerinin eğimleri (sırasıyla) -3/2 = -1,5 ve sonsuzdur.

  • Performans fonksiyonu eğimi bu değerler arasındayken optimal çözüm C noktası olacaktır.

  • Çözümün C noktası olması için lot kârları oranı 1,5 ile sonsuz arasında olmalıdır.

  • Kapı lot kârı 3000 TL iken pencere lot kârı

  • 3000 / 1,5 = 2000 TL ile

  • 3000 / sonsuz = 0 TL (yani şirket pencereleri maliyetine satmış oluyor)

  • arasında ise optimal çözüm C noktası olacaktır.

  • Yani pencere lot kârı 2000 TL'nin altında bir tutar olduğunda çözüm C'dir.

  • Pencere lot kârı 5000 iken de kapı lot kârı 9000 olsa, yine çözüm C noktası olacaktır. Bunu da aşağıdaki grafikte gösteriyoruz:

A, B, ve C noktalarının koordinatlarını belirleyerek o çözümlere karşılık gelen değişken değerlerini, yani iki ürünün üretim/satış miktarlarını bulun. Bu değişken değerlerini performans fonksiyonuna koyarak da o çözümler için toplam kâr değerlerini bulun.