Eğim Karşılaştırma Örnekleri

İki boyutlu doğrusal programlama problemlerin çözümünde grafik yöntemi kullanıyorsanız, performans fonksiyonunun eğimiyle kısıt çizgilerinin eğimlerini karşılaştırma yoluyla hangi köşe noktasının optimum çözüm olacağını bulabilirsiniz diye yazmıştık. (Yazmamışsak da şimdi yazdık sayın)

Siz de matematiksel ifadesi verilen kısıt çizgilerini grafik üzerinde nasıl göstereceğinizi ve eğim karşılaştırarak optimum köşe noktasını nasıl bulacağınızı görmek isterseniz, linki aşağıda verilen eski sınavı indirebilirsiniz.

Bir maksimizasyon problemi için bunu aşağıdaki grafiklerle gösterdik. Bu tür bir problemde optimum çözüm noktası orijinden en uzak kalan köşe noktası olacağına göre, performans fonksiyonu eğimini fizibilite bölgesinin üst sınırlarını oluşturan kısıt çizgilerinin eğimleriyle karşılaştırırsınız.

Performans eğimi hangi iki kısıtın eğimleri arasındaysa, optimum çözüm o kısıt çizgilerinin kesiştiği köşe noktasıdır. Aşağıdaki iki grafikte durum budur.

Tabi şu da var, performans eğimi en düşük eğimli kısıt çizgisinden bile daha düşük eğime sahip olabilir. O zaman optimum çözüm fizibilite bölgesinin en solunda ve üstündeki köşe noktasıdır. En solda olup da başka bir köşe noktasının altında kalan köşe noktası bir maksimizasyon probleminde optimum çözüm olamaz. Buradaki örnek grafiklerdeki gibi, dikey eksen fizibilite bölgesinin sol sınırını oluşturuyorsa, dikey ekseni de adı konmamış kısıt çizgisi olarak düşünürsünüz. Optimum çözüm en düşük eğimli kısıt çizgisinin dikey ekseni kestiği köşe noktasıdır. Aşağıdaki grafikte durum budur.

Öte yandan, performans eğimi en yüksek eğimli kısıt çizgisinden bile daha yüksekse, o zaman da en sağda ve altta kalan köşe noktası optimum çözüm olacaktır. En altta olup da başka bir köşe noktasının solunda kalan köşe noktası bir maksimizasyon probleminde optimum çözüm olamaz. Yine buradaki örnek grafiklerdeki gibi, fizibilite bölgesinin alt sınırı yatay eksen ise, yatay ekseni de bir kısıt çizgisi sayar ve onun en yüksek eğimli kısıt çizgisiyle kesişimini optimum köşe noktası olarak seçersiniz. Aşağıdaki grafikteki durum budur.

Yukarıdaki örneklerimizde performans fonksiyonu eğiminin negatif olduğu durumlara baktık. Dikkat etmişseniz, en dıştaki köşe noktasından geçen performans fonksiyonu çizgisi yatay ve dikey ekseni diğerlerinden daha dış noktalarda kesen çizgidir.

Minimizasyon problemi için de aynı kolaylığı kullanabilirsiniz, ama daha dik eğimler için daha sağa değil, daha sola, daha düşük eğimler için de daha sola değil, daha sağa bakarsınız. Bu türden karşılaştırmaları aşağıdaki grafiklerde gösterdik:

Anlayacağınız gibi, bir minimizasyon probleminde optimum çözüm "en içte" kalan köşe noktasıdır. Bu noktadan geçen performans fonksiyonu çizgisi yatay ve dikey ekseni diğerlerine göre daha içeriden keser.