Embedded Files
Kapılar için alüminyum doğramaların üretildiği Tesis-1'de kapı başına (artık "lot" değil de "adet" gibi düşüneceğiz; zaten fark etmeyecek) 1 saat harcanıyordu ve Tesis-1 en fazla 4 saat kullanılabiliyordu. Bu bilgilere dayanarak üretilebilecek kapı sayısının en fazla x1 = 4 olduğu sonucuna varırsınız.
Bu sınırı yatay ekseni x1 = 4 noktasında kesen bir dikey çizgiyle gösterebilirsiniz. Bu çizginin solunda kalan alan Tesis-1 kısıtını aşmadan üretilebilecek kapı sayıları için çözüm kümesidir. Aşağıdaki resimdeki gri bölge bu çözüm kümesini gösteriyor.
Bu örnek problemde üretim planlaması yapılırken değiştirilebilecek iki üretim miktarı var: Alüminyum çerçeveli kapı ve ağaç çerçeveli pencere (lot cinsinden) üretim sayıları. Bunlar problemin değişkenleridir.
Bu örnek problemdeki gibi iki tane değişken olunca, onları iki boyutlu bir koordinat sisteminin eksenleri gibi düşünebilirsiniz. Hedef fonksiyon (bu örnekte toplam kâr) ve kısıtları ifade eden formülleri de koordinat sistemi üzerinde çizdiğiniz çizgilerle ifade edebilirsiniz. Formülleri ifade eden çizgilerin sınırladıkları alanlar da mümkün olan çözüm noktalarının kümesi olacaktır. Bunu bir grafik üzerinde adım adım ilerleyerek görün.
İlk olarak, kapı üretim lot sayısını (x1) yatay, pencere üretim lot sayısını (x2) lot sayısını dikey eksen olarak alarak iki boyutlu bir koordinat sistemini oluşturun:
Yine hatırlatalım, bu çözüm kümesine 4 değerinden küçük (ama 0 değerinden büyük; kim ister ki negatif sayıda kapı üretmeyi?) her reel sayı dahildir. Bir üretim lotundaki kapı adedi sayısının yeterince büyük olduğu varsayımıyla, arada kalan her ondalıklı sayıyı geçerli bir üretim miktarı olabilecekmiş gibi düşünebilirsiniz.
Pencereler için ağaç doğrama üreten Tesis-2'de ise pencere (lotu) başına 2 saat harcanıyordu ve tesis en fazla 12 saat kullanılabiliyordu. Bu bilgilere dayanarak, bu tesiste üretilebilecek pencere sayısının en fazla x2 = 6 olacağı sonucuna varırsınız.
Bu sınırlamayı da dikey ekseni x2 = 6 noktasında kesen bir yatay çizgiyle gösterirsiniz. Bu çizginin altında kalan bölge de Tesis-2 kısıtını aşmadan üretilebilecek pencere sayıları için çözüm kümesidir.
Son iki adımda elde ettiğiniz kapı ve pencere üretim sayılar çözüm kümelerini aynı grafik üzerinde gösterdiğinizde, Pene-Pen firmasının üretebileceği kapı ve pencere sayılarını sınırlayan bölgeyi oluşturmuş olursunuz. Aşağıdaki resimdeki koyu gri bölge, kapı ve pencere üretim planlamasının yapılabileceği "fizibilite bölgesini" gösteriyor:
Son olarak, kapı ve pencere montajlarını yapan Tesis-3 için belirlediğiniz sınırlamayı temsil eden çizgiyi çizeceksiniz. Hatırlarsanız, Tesis-3 için bir kapı montajı 3 saat, bir pencere montajı 2 saat alıyordu. Tesisin haftalık kullanım sınırı da 18 saatti. Demek ki bu sınırlamanın matematiksel ifadesi
3 x1 + 2 x2 = 18
şeklindedir. Böyle bir ifadeyi iki boyutlu koordinat düzlemi üzerinde göstermek için şu adımları izleyin:
x1 = 0 alarak, ifadeyi 2 x2 = 18 şekline getirin.
Bu eşitlikten bulduğunuz x2 = 9 değeri sınırlama çizgisinin x2 eksenini kestiği noktadır.
x2 = 0 alarak, ifadeyi 3 x1 = 18 şekline getirin.
Bu eşitlikten bulduğunuz x1 = 6 değeri sınırlama çizgisinin x1 eksenini kestiği noktadır.
Bu çizgiyi grafik üzerinde çizmek için iki eksen üzerindeki kesme noktalarını birleştirmeniz yetecektir. Bu çizginin altında kalan bölge montajın yapıldığı Tesis-3'ün sınırlamasına uyan kapı/pencere üretim sayılarının çözüm kümesidir. Bu son çözüm bölgesini önceki iki çözüm kümesiyle birleştirince, problemin tüm kısıtlarına uyan üretim sayıları kombinezonlarının çözüm kümesini, yani fizibilite bölgesini oluşturursunuz. Fizibilite bölgesinin son halini aşağıdaki resimde griyle boyanmış olarak gösterdik:
Bu taralı fizibilite bölgesi içindeki ve kenarları üzerindeki her (x1,x2) sayı kombinezonu problemin tüm kısıtlarını sağlar. Ne var ki problemin çözümünü tamamlamış olmazsınız. Son adım, hedef fonksiyon (toplam kâr) değerini en iyi (maksimum) yapacak olan sayı kombinezonunu bulmaktır.
Hatırlarsanız, toplam kârı veren hedef fonksiyon formülünü Z = 3 x1 + 5 x2 şeklinde oluşturmuştunuz. Bu doğrusal ifadeyi grafik üzerinde göstermek için eşitliğin solundaki kârı veren Z değerini bilmeniz gerekir. Siz zaten bu değerin en fazla ne kadar olabileceğini araştırıyorsunuz şu an, o yüzden, denemeler yaparak nereye kadar gidebileceğinizi bulabilirsiniz. Örneğin, aşağıdaki resimdeki gibi, Z değeri için sırasıyla 10, 20, 30 (göstermedik) ve en son 36 değerini koyarak fizibilite bölgesini gösteren grafik üzerinde bir kaç değişik kâr çizgisi çizebilirsiniz.
Çizim yönteminiz yine aynı olacaktır: Örneğin, Z = 10 için 3 x1 + 5 x2 = 10 çizgisini çizeceksiniz.
x1 = 0 alarak, ifadeyi 5 x2 = 10 şekline getirin.
Bu eşitlikten bulduğunuz x2 = 2 değeri kâr çizgisinin x2 eksenini kestiği noktadır.
x2 = 0 alarak, ifadeyi 3 x1 = 10 şekline getirin.
Bu eşitlikten bulduğunuz x1 = 10/3 = 3,333.. değeri sınırlama çizgisinin x1 eksenini kestiği noktadır.
Bu iki noktayı birleştirdiğinizde Z = 10 değeri için hedef fonksiyon, yani kârı veren fonksiyon çizgisini çizmiş olursunuz.
Unutmayın, hedef fonksiyon formülündeki değişken katsayıları aslında 1000 çarpanları içeriyordu.
Bu nedenle, Z = 10 değeri aslında toplam kârın 10000 TL olduğu durumdur.
Yukarıdaki resimde gördüğünüz gibi, Z = 10 çizgisi üzerindeki tüm noktalar, yani 10000 TL toplam kâr sağlayacak tüm üretim sayıları kombinezonları fizibilite bölgesi içindedir. Demek ki kısıtları sağlayarak 10000 TL toplam kâr elde edilebilir.
Z = 20 çizgisi de büyük ölçüde fizibilite bölgesi içindedir. Yani kısıtları sağlayarak toplam kârı 20000 TL yapacak şekilde üretim planlaması yapmak da mümkündür.
Toplam kâr en fazla ne kadar arttırılabilir diye soruyorsanız, kâr çizgisinin fizibilite bölgesine ancak tek noktada değecek kadar ötelendiği bir durum bulmanız gerekir. Bunun da yukarıdaki resimde Z = 36, yani 36000 TL toplam kâr durumunda gerçekleştiğini görüyorsunuz. O durumda kâr çizgisi fizibilite bölgesinin üst kısmındaki köşe noktası olan (x1 = 2, x2 = 6) noktasından, ancak değerek geçmektedir.
Sonuç olarak, optimal çözüm, yani en yüksek kârı sağlayacak olan üretim sayıları 2 lot kapı, 6 lot penceredir.
Page updated
Report abuse