Tema 8: Sucesiones. Términos general y forma recurrente.  Progresiones aritméticas

1. INTRODUCCIÓN.

2. SUCESIONES: CONCEPTO Y EJEMPLOS.

3. TÉRMINO GENERAL Y FORMA RECURRENTE.

4. PROGRESIONES ARITMÉTICAS

5. PROGRESIONES GEOMÉTRICAS

6. OTRAS PROGRESIONES

7. APLICACIONES

Def: Una sucesión de elementos de H (donde H puede ser ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ) es una aplicación de ℕ en H.

f: ℕ → H     la notación que se utiliza es aₙ = f(n)

    n ↦ f(n)

Def: A la fórmula o expresión matemática que nos permite obtener cualquier término de la sucesión en función del lugar que ocupa se le llama término general.

Ley de recurrencia: manera de hallar un término a partir de los anteriores.

Def: Una sucesión es recurrente de orden k si conocemos los k primeros términos a₁, a₂, a₃,..., aₖ y cada término siguiente viene dado en función de los k anteriores aₙ = f(aₙ₋₁, aₙ₋₂,..., aₙ₋ₖ)

Ejemplos:

• Sucesión de Fibonacci.

Nos centraremos en las sucesiones recurrentes de orden k, aₙ = f(aₙ₋₁, aₙ₋₂,..., aₙ₋ₖ) en las que la función f es lineal, es decir, es de la forma aₙ =α₁aₙ₋₁+α₂aₙ₋₂+...+αₖaₙ₋ₖ  ∀n>k con αᵢ∈ℝ y aₙ₋₁, aₙ₋₂,...,aₙ₋ₖ conocidos.

Llamamos progresión aritmética de números reales a toda sucesión de números reales en la que cada término, excepto el primero, se obtiene del anterior sumándole una constante llamada diferencia.   aₙ₊₁ = aₙ + d  ∀n∈ℕ

Toda progresión aritmética { aₙ } es una sucesión recurrente de segundo orden, ya que:

aₙ₊₂-aₙ₊₁ = aₙ₊₁-aₙ ⇒  aₙ₊₂=2aₙ₊₁-aₙ  ∀n∈ℕ

FORMAS DE DEFINIR UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA

Sabemos que toda progresión aritmética, por ser una sucesión, está definida si conocemos su término general. Pero, debido a sus características, una progresión aritmética también queda definida conociendo:

1. Un término cualquiera aₖ y la diferencia d:  aₙ-aₖ=(n-k)·d

2. Dos términos cualesquiera: aₚ-aᵣ=(p-r)·d

SUMA DE UN NÚMERO FINITO DE TÉRMINOS CONSECUTIVOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA

Sₙ=(a₁+aₙ)·n/2

Llamamos progresión geométrica de números reales a toda sucesión de números reales en la que cada término, excepto el primero, se obtiene del anterior multiplicándolo por una constante llamada razón.  gₙ₊₁ = r · gₙ   ∀n∈ℕ

Luego una progresión geométrica es una sucesión recurrente de primer orden.

Teorema: Toda progresión geométrica { gₙ }  puede escribirse de la forma gₙ =a · rⁿ con a y r números reales fijos y viceversa.

FORMAS DE DEFINIR UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

Sabemos que toda progresión aritmética, por ser una sucesión, está definida si conocemos su término general. Pero, debido a sus características, una progresión aritmética también queda definida conociendo:

1. Un término cualquiera gₖ y la razón r:  gₙ= g₁·rⁿ⁻¹ 

2. Dos términos cualesquiera: gₚ/gᵣ=rᵖ⁻ᵏ

PRODUCTO DE UN NÚMERO FINITO DE TÉRMINOS CONSECUTIVOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

Pₙ=√(g₁·gₙ)ⁿ

SUMA DE UN NÚMERO FINITO DE TÉRMINOS CONSECUTIVOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

Sₙ=g₁(1-rⁿ)/(1-r)

PROGRESIONES ARITMÉTICO-GEOMÉTRICAS

PROGRESIONES HIPERGEOMÉTRICAS