Tema 1: Números Naturales. Sistemas de numeración.

1. Introducción. Fundamentaciones del número natural.

Las antiguas culturas se aproximaron a las Matemáticas por el proceso de contar: puede decirse que los números surgieron hacia el año 3.000 a.C mediante la abstracción de la cantidad de objetos que se contaban.

Los números naturales y las fracciones positivas eran conocidas de los antiguos babilonios (2.000 a.C) y desde el siglo IV a.C, en "Los Elementos" de Euclides se encuentra no sólo la Geometría de secundaria, sino también las ideas básicas de teoría de números. 

Un siglo más tarde Eratóstenes  esboza la teoría de números. Y cinco siglos más tarde Diofanto ( siglo III) realizó la primera gran aportación al tema; en su obra Aritmética. Hasta la aparición de la obra del matemático francés Pierre de Fermat (siglo XVII).

Los conceptos básicos de la aritmética y por tanto del álgebra se han apoyado tradicionalmente en bases intuitivas e imprecisas. Insatisfcho por esta situación, el lógico y matemático alemán Frege (1.848-1.925) se vió conducido a su definición de número cardinal. Las bases de sus consideraciones provenían de la Teoría de Conjuntos de Boole y Cantor. Su programa de fundamentación de la Matemática no encontró eco apenas hasta que fue reemprendido por Bertrand Russeell cuando se convirtió en una de las metas más importantes de los matemáticos.

Casi simultáneamente, en Italia, Peano (1858-1932) estableció sus famosos axiomas.