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Un MOSAICO es una composición geométrica de figuras que recubren el plano de forma que:
se rellena todo el plano sin dejar huecos
no hay solapamientos
Para rellenar un plano con losetas (teselar) de forma periódica, existen cuatro estrategias:
1.-Traslación. Es como si la nueva loseta que añadimos fuera una anterior desplazada a una nueva posición sin giros de ningún tipo.
2.-Rotación. La nueva loseta surge por el giro de una anterior con centro en algún punto determinado y con un ángulo concreto.
3.-Reflexión. Cada loseta nueva es la imagen especular de una anterior, con un eje de simetría dado.
4.-Simetría con deslizamiento. Se trata de una reflexión seguida de una traslación en la dirección del eje de reflexión.
Estas cuatro estrategias se denominan movimientos en el plano, y son isometrías: conservan las distancias. Los dos primeros conservan la orientación( movimientos directos), y los dos últimos la invierten (movimientos inversos). Esto es importante, porque cada loseta puede tener dibujos asimétricos que hagan variar la composición.
Estas transformaciones se combinan entre ellas dando lugar a estructuras algebraicas que se denominan grupos de simetrías, en este caso Grupos cristalográficos planos . Pues bien, Fedorov demostró en 1891 que no hay más de 17 estructuras básicas para las infinitas decoraciones posibles del plano formado mosaicos periódicos.
Son los 17 grupos cristalográficos planos. Cada uno de ellos recibe una denominación que procede de la cristalografía, y se pueden clasificar según la naturaleza de sus giros.
Los 17 grupos de simetría del plano se pueden agrupar los en cinco apartados, según el orden máximo de los giros:
- Grupos de simetría sin giros: 4 grupos de simetrías..
- Grupos de simetría con giros de 180º: 5 grupos de simetrías.
- Grupos de simetría con giros de 120°: 3 grupos de simetrías
- Grupos de simetría con giros 90°: 3 grupos de simetrías.
- Grupos de simetría con giros de 60°: 2 grupos de simetrías.
El hecho de que sólo hay 17 grupos de este tipo fue establecido por Fedorov en 1891 (Jordan en 1869 había descrito 16); además, Fedorov llega a este resultado estudiando las formas de cristalizar los cristales naturales. Quizás no resulte sorprendente que en la Naturaleza aparezcan los 17 grupos, pero desde luego lo es que en la Alhambra puedan verse materializados en sus adornos. No consta en ningún escrito conocido que los constructores supieran que no existían otras formas, esencialmente distintas, de enlosetar. Nos limitaremos a describir los grupos, presentando un dibujo identificativo. La nomenclatura obedece a razones cristalográficas.
Clasificación de mosaicos en el Plano
Clasificación de mosaicos en el Plano
Hay 17 diferentes maneras, en un plano, de hacer patrones de mosaicos. Cada una de ellas consiste en una combinación de movimientos del plano.
p1: Dos traslaciones
p2: Tres simetrías centrales (o giros de 180º)
p3: Dos giros de 120º
p4: Una simetría central (o giro de 180º) y un giro de 90º
p6: Una simetría central y un giro de 120º
pm: Dos simetrías axiales y una traslación
pmm: Cuatro simetrías axiales en los lados de un rectángulo (p.e. 2 horizontales y 2 verticales)
pmg: Una simetría axial y dos simetrías centrales
cmm: Dos simetrías axiales perpendiculares y una simetría central
p31m: Una simetría axial y un giro de 120º
p3m1: Tres simetrías axiales en los lados de un triángulo equilátero (ángulos 60-60-60)
p4g: Una simetría axial y un giro de 90º
p4m: Tres simetrías axiales en los lados de un triángulo de ángulos 45-45-90
p6m: Tres simetrías axiales en los lados de un triángulo de ángulos 30-60-90
cm: Una simetría axial y una simetría con deslizamiento perpendicular
pg: Dos simetrías con deslizamiento paralelas
pgg: Dos simetrías con deslizamiento perpendiculares
Notación de la Unión Internacional de Cristalografía (o de Hermann-Mauguin)
Notación de la Unión Internacional de Cristalografía (o de Hermann-Mauguin)
• Símbolo 1. Es c (“centrado”) cuando el paralelogramo primitivo es un rombo que se puede enmarcar centrándolo en un rectángulo y p (“primitivo”) en cualquier otro caso. De los 17 grupos, sólo dos son centrados: cm y cmm.
• Símbolo 2. El mayor orden de rotación que podamos encontrar. Puede ser 1 (ángulo de 360º), 2 (ángulo de 180º), 3 (ángulo de 120º), 4 (ángulo de 90º) ó 6 (ángulo de 60º). Cuando un mosaico tiene un centro de rotación de un orden determinado, también tendrá otros centros de órdenes divisores.
• Símbolo 3. Corresponde al tipo de simetría y puede tener dos símbolos: m (“mirror” = espejo) simetría especular o axial y g (“glide” = deslizamiento), cuando tiene simetría con deslizamiento.
• Símbolo 4. La misma clasificación anterior, respecto a la presencia o no de un segundo tipo de ejes de simetría (m o g).
Si queremos saberlo todo de un mosaico, basta con saber cómo es la baldosa mínima que lo genera por repetición y cuáles son los movimientos necesarios para componerlo.
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