Les fruits de la Terre

A quoi bon travailler ? S'il est vrai que nos industries détruisent la Terre et tout ce qui y vit, ne vaudrait-il pas mieux tout arrêter ? Les richesses naturelles sont des fruits de la Terre. Un travail qui les détruit est pire qu'un travail qui ne porte aucun fruit. Mais si on ne se lève plus pour travailler, comment allons-nous manger ? Être soignés ? Comment aurons-nous ce dont nous avons besoin pour bien vivre ?

Le paradis sur la Terre : aimez-vous les uns les autres. Aimer autrui est vivre pour son bien : percevoir, s'émouvoir, imaginer, penser, vouloir, parler et agir pour son bien, donc toujours lui rendre service. Si on ne pouvait pas fournir des services, on ne pourrait pas aimer vraiment, effectivement. Aimez-vous les uns les autres, vraiment, veut dire : rendez-vous des services les uns aux autres.

Les biens économiques sont des richesses parce qu'ils nous rendent service. On peut rendre service aux autres en produisant des richesses qui leur rendent service.

On produit des richesses avec des richesses. Dans un projet de production, les recettes sont toujours précédées par des coûts, parce qu'il faut avancer des richesses pour produire de nouvelles richesses. C'est pourquoi les projets de production ont toujours besoin d'être financés. Financer, c'est avancer des richesses pour réaliser des projets. En général, il faut avancer de l'argent, pour acheter des services, des fournitures et des biens de production.

Pour obtenir tous les biens et les services dont nous avons besoin, ou qui rendent la vie meilleure, sans épuiser les travailleurs, et sans gaspiller les ressources naturelles, qui sont en quantité limitée, il faut que nous soyons bien formés et bien équipés, parce qu'alors nous pouvons développer pleinement notre potentiel, être productifs et rendre service à tous, sans perdre notre vie à la gagner, et sans détruire la planète.

Pour former et équiper des travailleurs, il suffit de les financer. Nos capacités de financement sont limitées seulement par les ressources disponibles et l'intelligence qui nous donne les moyens de nous en servir. La finance donne les moyens de faire de la Terre un paradis, parce que les ressources sont gigantesques. Alors qu'est-ce qu'on attend ? Pourquoi la finance n'a-t-elle pas déjà fait le paradis sur la Terre ?

Grâce aux gains de productivité, qui sont parfois très grands, une économie où tout le monde serait au moins modestement riche est un objectif qui semble accessible. Il suffit d'investir pour que tous puissent être productifs. On veut de bons investissements.

Ce court traité sur la finance apporte quelques réponses, ou plutôt des débuts de réponse, aux questions suivantes :

Qu'est-ce qu'un bon investissement ?

Qui doit décider des investissements et de leurs modes de financement ?

Pourquoi ne sommes-nous pas toujours incités à choisir les bons investissements ? Pourquoi sommes-nous parfois incités à choisir les mauvais ?

Pour investir, il faut en général avancer de l'argent. Mais d'où vient l'argent ? Comment avoir une quantité d'argent suffisante pour financer tous les bons projets ?

Pour bien choisir un investissement, il faut anticiper la valeur des projets. Comment compter la valeur des projets dans lesquels on investit ?

La science de la finance est souvent étonnante. Voici quelques exemples qui seront expliqués dans ce traité :

Pour bien produire des richesses, il faut être comme Mozart.

Des richesses équivalentes à plusieurs milliards de dollars peuvent disparaître sans que rien de tangible n'ait disparu et sans que personne n'ait été volé.

Quand on boit une bouteille de Champagne, on peut épargner sa valeur.

La richesse est parfois créée sans travail, sans que personne n'ait été volé, et même sans qu'aucun bien tangible n'ait été produit.

Certains biens sont quasi-éternels. Ils ressemblent à des poules aux œufs d'or, parce qu'ils produisent un profit sans être consommé.

La logique financière peut nous inciter à choisir les projets les plus voleurs, ou les plus destructeurs de l'environnement.

Le projet le plus profitable n'est pas nécessairement le projet le plus voleur, il peut être seulement le projet le plus intelligent.

La circulation de l'argent ressemble à la multiplication des pains.

La création monétaire peut augmenter la production des richesses.

Les banques centrales ont refusé de payer les dettes en or qu'elles s'étaient engagées à payer.

Les banques centrales peuvent créer tout l'argent qu'elles veulent, pour le prêter, pour acheter n'importe quel actif, pour payer n'importe quelle dépense, pour verser des dividendes aux États ou pour le donner. Elles détruisent l'argent qu'elles ont créé lorsque leurs prêts sont remboursés, lorsqu'elles vendent des actifs et lorsqu'elles reçoivent des intérêts sur leurs prêts.

Les banques commerciales créent de l'argent quand elles prêtent, quand elles achètent un actif, quand elles paient n'importe quelle dépense et quand elles versent des dividendes à leurs actionnaires. Elles détruisent de l'argent quand leurs prêts sont remboursés, quand elles vendent des actifs et quand elles reçoivent des revenus.

Nous ne sommes plus retenus par la bride de l'or pour financer tous les bons investissements, parce que nous pouvons créer tout l'argent dont nous avons besoin.

Quand les agents restreignent leurs dépenses, ils s'appauvrissent collectivement, au lieu de s'enrichir, et n'atteignent pas l'objectif désiré d'augmentation de leurs réserves monétaires.

La logique financière nous conduit à dévaluer les richesses conservées pour les générations futures.

Un projet sans risque qui rapporte un profit régulier a une valeur optimale si et seulement si sa valeur actuelle nette est nulle.

La finance donne les moyens de réaliser des profits avec un taux de profit aussi grand que l'on veut, même un taux de profit infini.

Pour être de bons financiers, il faut penser comme des communistes.

Les surprofits des projets optimaux sont tous des multiples positifs d'une même grandeur aléatoire.

Des projets ou des actifs financiers très risqués doivent parfois être évalués comme des actifs sans risque.

Il existe une constante de prix du risque k qui permet de mesurer le coût du risque. kR est le coût d'un risque irréductible R, mesuré par l'écart-type du profit. 0 < k < 1. k semble être égal à 1/2 à peu près.

Une chance sur deux de gagner 100 coûte 50(1-k) = 25 si on joue contre un risque financier irréductible, et si k = 1/2.

Il est possible de jouer contre la fatalité, sans autre contrepartie, à (1+k)/(1-k) contre 1, avec des probabilités égales. (1+k)/(1-k) est strictement plus grand que 1 et pourrait être assez grand, 2 ou 3, ou davantage.

Il existe des risques négatifs qui ont une valeur positive. Si on on augmente un risque négatif en valeur absolue sans diminuer le profit moyen, on augmente la valeur de l'entreprise.

L'espace de tous les projets de valeur actuelle nette nulle est euclidien. Sa métrique est la covariance entre les surprofits des projets.

Le risque irréductible d'un projet est égal à la covariance de son surprofit avec le projet optimal dont le risque est 1.

On peut trouver une solution mathématique générale à tous les problèmes de calcul des risques financiers.

Les êtres humains achètent et vendent pour des milliers de milliards de dollars des actifs dont la valeur est nulle : les cryptoactifs.

Les vendeurs de cryptoactifs sont des voleurs et des pyromanes.

Un agent optimal peut prévoir ses décisions futures ou leurs probabilités, parce qu'il sait qu'il prendra des décisions optimales. Cette méthode d'anticipation conduit à une méthode générale de calcul de la valeur optimale de tous les projets risqués, et donc de la valeur de toutes les richesses.

Qu'est-ce que la richesse ?

La science économique invite souvent à souhaiter la croissance, pour lutter contre le chômage, parce que c'est bon pour les finances publiques et parce qu'elle est censée améliorer la qualité de nos vies. La pollution, l'épuisement ou la destruction des ressources naturelles, la détresse psychologique qui accompagne souvent un mode de vie consumériste, le gaspillage des richesses pour satisfaire la vanité, et bien d'autres effets, suffisent pour montrer que l'idolâtrie de la croissance a quelque chose d'insensé. Mais à l'opposé, l'apologie de la décroissance ne semble pas très sensée non plus, parce que nous devons produire des richesses pour vivre et bien vivre. Choisir entre croissance et décroissance est insensé. On veut les deux parce qu'on veut la croissance du bon et la décroissance du mauvais, tout simplement. Mais qu'est-ce qui est bon ? Et qu'est-ce qui est mauvais ? Qu'est-ce qui est vraiment une richesse ?

Les biens et les services

Le travail a de la valeur dès qu'il porte des fruits. Mais qu'est-ce qui est un véritable fruit ?

Être en bonne santé, bien percevoir, bien s'émouvoir, bien imaginer, bien penser, bien vouloir, bien agir, et tout ce qui constitue le bien vivre d'un esprit, sont tous des biens fondamentaux pour tous les esprits. Semblablement, être en mauvaise santé, mal percevoir, mal s'émouvoir, mal imaginer, mal penser, mal vouloir, mal agir, et tout ce qui constitue le mal vivre d'un esprit, sont tous des maux fondamentaux pour tous les esprits.

Les biens dérivés sont des moyens pour atteindre les biens fondamentaux. Les maux dérivés sont des causes des maux fondamentaux. Les biens et les maux fondamentaux s'excluent mutuellement mais pas les biens et les maux dérivés, parce qu'un moyen pour atteindre un bien fondamental peut être en même temps une cause d'un mal fondamental.

Les biens peuvent être indispensables ou seulement souhaitables. Les biens indispensables peut être plus ou moins indispensables, de même pour les biens souhaitables. Les maux peuvent être intolérables ou supportables. Les maux intolérables peuvent être plus ou moins intolérables, de même pour les maux supportables.

Prévenir un mal intolérable est un bien indispensable. Être privé d'un bien indispensable est un mal intolérable. Prévenir un mal supportable est en général un bien souhaitable. Être privé d'un bien souhaitable n'est en général pas un mal, parce que les biens souhaitables sont beaucoup trop nombreux pour qu'on puisse les avoir tous.

On distingue parfois les biens et les services. Mais les services sont aussi des biens, et même des biens plus fondamentaux que les autres, parce qu'un bien qui n'est pas un service est un bien parce qu'il rend un service. Par exemple la nourriture est un bien parce qu'elle rend le service de nourrir. Certains produits ne sont pas des biens parce qu'ils ne rendent aucun service. Ils ont en général une valeur négative, parce que s'en débarrasser a un coût.

Les services sont consommés au moment où ils sont produits. Les biens qui ne sont pas des services sont consommés après un certain délai, court (produits frais) ou plus ou moins long (biens durables, y compris les stocks de denrées non-périssables). Certains biens durables sont quasi-éternels (logements de qualité, bijoux, objets d'art ...). D'autres sont consommés par l'usage au cours de leur durée de vie. Même les biens quasi-éternels requièrent en général du travail pour être entretenus.

Un bien durable est comme un service mis dans une bouteille, une boîte de conserve ou un conteneur. Ceux qui produisent le bien durable offrent le service. Ceux qui utilisent et consomment le bien durable reçoivent le service. Un bien est un bien seulement s'il rend service. Le bien est toujours de rendre service. L'économie dans son ensemble est un système d'échanges ou de dons de services.

Les travailleurs sont parfois concurrencés et remplacés par des biens durables, parce que ceux-ci sont aussi des fournisseurs de services.

La richesse accumulée et conservée n'est pas seulement la somme de tous les biens tangibles et durables que nous conservons pour les services qu'ils nous rendront, parce que les projets en cours de réalisation et les entreprises sont également des biens durables. Comme pour tous les biens durables on attend d'eux qu'ils fournissent des services.

Une richesse est toujours un service ou un moyen de fournir des services. Un service est une richesse parce qu'il améliore la qualité de la vie, ou parce qu'il est un moyen de produire d'autres richesses. Les travailleurs, les biens tangibles et durables, les projets et les entreprises sont des richesses parce qu'ils fournissent des services.

La consommation finale est la consommation de biens et services qui améliorent directement la qualité de la vie (en principe, parce qu'ils peuvent aussi la détériorer) : alimentation, vêtement, logement, santé, éducation, transport, sport et divertissement, communication à longue distance... La consommation intermédiaire est la consommation de biens et de services qui servent dans la chaîne de production des biens et services finaux. Certains biens comme les moyens de transport, les ordinateurs et les smartphones, peuvent servir à la fois comme biens intermédiaires et comme biens finaux. La limite entre biens intermédiaires et biens finaux est souvent floue, parce que les biens finaux sont aussi en général des biens intermédiaires qui servent à produire de nouveaux biens.

La qualité de la vie ne dépend pas que de la consommation finale : avoir un bon travail et bénéficier de bonnes conditions de travail, se sentir en sécurité au présent, pour son avenir, celui de ses enfants, de son pays et de toute l'humanité, respecter et être respecté, aimer et être aimé, savoir méditer et se relaxer, être en paix avec soi-même et avec les autres, ne pas désespérer, respirer un bon air, bénéficier d'un bon climat et d'une nature accueillante ...

Les fruits de la Terre sont toutes les richesses qui nous été données par la Nature, plus toutes celles que nous pouvons produire. Nous sommes nous aussi des fruits de la Terre.

Comment les richesses sont-elles créées ?

La Nature crée en permanence des richesses. La lumière du Soleil, la pluie et le vent, la Terre, les mers et les rivières, la faune et la flore sont des richesses perpétuellement renouvelées.

Les travailleurs et les biens durables créent des richesses en fournissant des services.

Il faut en général consommer des richesses pour produire de nouvelles richesses. Il faut consommer des fournitures. La travailleurs doivent consommer des richesses pour reproduire leur force de travail. Les biens de production sont consommés par leur usage, sauf s'ils sont quasi-éternels.

Des richesses réunies peuvent produire plus de richesses que des richesses séparées. Une équipe de travailleurs peut faire ce que des travailleurs séparés ne peuvent pas faire. Des travailleurs bien équipés peuvent produire des richesses qui ne peuvent pas être produites sans un tel équipement. Ils ont aussi besoin de fournitures. Les biens de production requièrent en général des travailleurs pour être utilisés. Les projets et les entreprises créent des richesses avec des travailleurs, des fournitures et des biens de production, qui ne pourraient pas produire de telles richesses s'ils n'étaient pas ainsi réunis. Des projets réunis peuvent produire plus de richesses que des projets séparés, parce que la réalisation d'un projet peut augmenter la valeur d'un autre projet, quand il y a des synergies. L'art de produire des richesses est toujours un art de composition de richesses déjà présentes, comme une symphonie est une composition de tous les talents des musiciens d'un orchestre. Réunir des richesses et réaliser plusieurs projets en même temps pour trouver des synergies est comme trouver un accord entre plusieurs voix. Trouver la bonne progression et le bon rythme pour les projets ainsi réunis est comme trouver une belle mélodie et son rythme. Pour bien produire des richesses, il faut être comme Mozart.

Richesse réelle et richesse marchande

La richesse réelle (le capital) à un instant donné est l'ensemble de tous les biens durables qui existent à cet instant.

Il faut inclure dans la richesse réelle l'intelligence, la compétence et la santé des êtres humains (le capital humain) et les richesses naturelles (les mers, les océans, les fleuves, les rivières et les lacs, les paysages, la faune et la flore naturelles ...).

La richesse marchande est la valeur marchande de la richesse réelle. Elle est évaluée à partir des prix de marché. Lorsque les biens ne sont pas vendus, on évalue leur valeur marchande à partir des prix de marché de biens équivalents. Comme les êtres humains ne sont pas vendus comme esclaves, leur valeur marchande ne peut pas être évaluée, sauf par des moyens indirects (somme actualisée des revenus au cours de la vie ou prix du risque) très discutables. L'évaluation des richesses naturelles pose des problèmes semblables.

La richesse marchande dépend des anticipations de long terme. Les biens durables ont une valeur marchande parce qu'on anticipe qu'ils seront utilisés, et qu'ils pourront être vendus. Les entreprises ont une valeur marchande parce qu'on anticipe qu'elles feront des profits. Mais les modes de vie, et les anticipations des modes de vie à venir, peuvent varier. De telles variations sont difficiles à prévoir. Si par exemple, les êtres humains renoncent au tourisme par avion, toutes les infrastructures et les équipements destinés à produire et à consommer les avions, y compris les avions eux-mêmes, perdent automatiquement leur valeur. Si les fiancés perdent l'habitude d'offrir des diamants, la valeur marchande des stocks de diamant sera grandement diminuée. Les anticipations sont très fluctuantes. Elles varient avec la survenue d'évènements imprévus (catastrophes ...) et sont souvent irrationnelles (les esprits animaux) parce que personne ne peut prévoir avec certitude ce que nous réserve l'avenir. C'est pourquoi la valeur boursière des actions peut varier brutalement. Des milliards de dollars peuvent disparaître en un jour sans qu'aucun billet n'ait été brûlé, simplement parce que les êtres humains ont changé d'avis.

L'omniprésence des options

La liberté de choisir est le bien le plus fondamental. Si on supprime la liberté, on supprime la plupart des biens fondamentaux. Si tout est prescrit d'avance, les esprits ne sont plus que des serviteurs ou des esclaves. Et la liberté de choisir est aussi en général une condition de l'efficacité et de l'intelligence. Un programme qui veut tout prescrire par avance est le plus souvent trop rigide, empêche de s'adapter à la nouveauté et condamne à l'échec.

Avoir la liberté de choisir, c'est avoir des options. On a une option quand on a la possibilité ou le droit de faire quelque chose mais pas l'obligation. Par exemple, un ticket de loterie est une option sur son gain éventuel. On a le droit mais pas l'obligation d'encaisser le gain s'il y en a un.

Quand l'exercice d'une option est simplement d'encaisser un gain immédiat, la liberté de l'agent d'exercer l'option est plus ou moins fictive. En général, les agents ne refusent pas d'encaisser leurs gains. Mais il n'en va pas de même si l'exercice d'une option expose à des risques de pertes.

Habituellement on raisonne sur des options qui proposent seulement deux choix possibles : ou bien on exerce l'option, ou bien on ne l'exerce pas. Mais on peut aussi raisonner sur des options qui ont de nombreux choix possibles. Exercer l'option, c'est alors choisir une possibilité parmi les nombreuses proposées. Par exemple, si A et B sont deux options à deux choix, qu'on doit exercer à la même date, les deux ensemble peuvent être considérées comme une seule option à quatre choix : exercer A et B, exercer A sans B, exercer B sans A, n'exercer ni A ni B.

Ne pas exercer une option, c'est exercer l'option de ne pas l'exercer. Quand on a une option à deux choix, on a toujours en même temps l'option opposée de ne pas l'exercer. On exerce l'une quand on n'exerce pas l'autre.

Une option est de style européen (on dit plus couramment européenne) lorsque la date de son exercice est fixée par avance. Elle est de style américain lorsqu'on peut choisir la date de son exercice.

Un bien durable et consommable est une option sur sa consommation. On acquiert l'option en acquérant le bien, on exerce l'option quand on le consomme. C'est une option américaine dont l'échéance est la date limite de consommation.

Un bien d'équipement est une option sur son usage. S'il n'est pas usé par son usage, il est une succession illimitée d'options européennes, une option pour chaque jour, ou période, d'utilisation. Mais s'il est usé par son usage, il est semblable à un lot d'options américaines. À chaque fois qu'on l'utilise, on consomme une partie de son usage potentiel, ce qui revient à exercer une option américaine.

Une richesse naturelle est une option sur son usage. Si elle est renouvelable, comme une terre qui n'est pas dégradée par son utilisation, c'est une succession illimitée d'options européennes, une pour chaque jour, ou chaque période, d'utilisation. Si elle est consommée par son utilisation, comme une réserve naturelle de pétrole, elle est semblable à un lot d'options américaines.

Une compétence est une option sur son exercice. C'est une succession d'options européennes pour tous les jours, ou toutes les périodes, de travail.

Concevoir un projet, c'est acquérir l'option de le réaliser. Si le projet est daté, c'est une option européenne. Si le projet n'est pas daté, si on peut choisir le moment de sa réalisation, c'est une option américaine.

Une décision d'achat ou de vente est en général en même temps l'exercice d'une option et l'acquisition d'une nouvelle option.

Quand on a 1000 euros, on a acquis l'option de les dépenser, d'acheter tout ce qui est vendu dans la limite de 1000 euros. On exerce l'option en dépensant les 1000 euros. C'est une option américaine à durée perpétuelle.

Dès qu'il y a une incertitude sur la valeur des services attendus, un achat est semblable à l'achat d'une option. C'est comme acheter un ticket de loterie. Dès qu'on est libre de choisir les dates des services attendus, un achat est semblable à l'achat d'une option américaine. Les seules décisions d'achat qui ne ressemblent pas à des achats d'options sont celles pour lesquelles il n'y a d'incertitude ni sur les dates, ni sur la valeur des services attendus.

Quand on acquiert un bien durable, on acquiert l'option de le revendre. C'est une option américaine. L'exercice de l'option, la vente, est en même temps l'acquisition d'une nouvelle option, la somme d'argent cédée par l'acheteur.

Un prêt, s'il y a un risque de défaut, est comme une option sur son remboursement. C'est une option européenne, ou une succession d'options européennes, si les dates de remboursement sont fixées d'avance. Exercer l'option, c'est être remboursé, si on peut. La propriété d'une entreprise est comme une option sur ses profits. C'est une succession d'options européennes, pour toutes les dates de versement des dividendes. Exercer l'option, c'est recevoir les dividendes, s'il y en a.

Embaucher un employé est acquérir une option sur les services qu'il peut rendre.

Disposer librement des moyens de fournir des services, c'est toujours avoir un portefeuille d'options, parce que fournir librement un service aux autres ou à soi-même est l'exercice d'une option. La richesse est toujours une richesse d'options. Les moyens de fournir des services et la liberté d'en faire bon usage sont les fondements de la richesse.

L'épargne et l'investissement

Tout ce qui est produit est consommé ou épargné. C'est la loi du tiers-exclu : tout ce qui est produit est consommé ou n'est pas consommé. Être épargné, c'est être conservé, c'est ne pas être consommé.

Un stock de biens durables est une épargne, comme le stock des noisettes d'un écureuil.

La richesse accumulée est la somme de tous les biens durables que nous avons conservés et de tous les projets en cours de réalisation. Un bien durable peut être considéré comme un projet, le projet de s'en servir. Inversement, un projet peut être considéré comme un bien durable. Son prix d'achat est l'argent qu'il faut avancer pour le réaliser. Comme tous les autres biens durables, il est acheté pour fournir des services. Ses recettes sont les services qu'il produit.

Quand on avance l'argent pour réaliser un projet, on crée un bien durable, le projet, et on l'achète en même temps, on devient propriétaire du projet. Le projet qu'on a créé est un bien durable qu'on conserve, tant qu'il n'est pas terminé. L'argent qu'on a avancé, qu'on a investi dans un projet, est donc épargné.

Une façon d'investir est d'acheter des biens de production pour réaliser le projet de s'en servir, mais on peut aussi investir sans acheter le moindre bien de production, parce qu'on peut réaliser des projets en louant tous les biens dont on a besoin. Ce qui compte pour qu'il y ait investissement, et donc épargne, ce n'est pas l'achat de biens de production, mais l'argent avancé pour réaliser des projets qu'on espère profitables.

Une entreprise peut être considérée comme un projet. Être propriétaire de ses actions, c'est être copropriétaire d'un projet. L'argent épargné par l'actionnaire a été investi dans un projet.

L'augmentation d'un stock de biens invendus est en général une épargne non-désirée. Elle peut aussi être comptée comme un investissement non-désiré, parce qu'on a le projet de vendre les invendus. Si on compte toujours les stocks comme des investissements, l'épargne est égale à l'investissement. C'est une égalité comptable. Avec la loi du tiers-exclu, on obtient alors : tout ce qui est produit est consommé ou investi.

Une fête d'entreprise peut être comptée comme un investissement, parce qu'elle peut augmenter la valeur de l'entreprise, en encourageant l'esprit d'équipe par exemple. Tout l'argent dépensé pour la fête est investi et donc épargné, puisqu'un un investissement est toujours une épargne. En buvant des bouteilles de Champagne, on épargne leur valeur. L'adage est donc confirmé : une bouteille bue est une bouteille gagnée, pas une une bouteille perdue. Les bouteilles perdues sont celles qui ne sont jamais bues.

L'investissement net est égal à l'épargne nette. Il est la variation de la richesse globale au cours d'une période donnée. Il est égal à la variation de valeur de la somme de tous les biens durables qui sont conservés, si on compte les projets en cours de réalisation comme des biens durables conservés, et à la variation de valeur de tous les projets en cours de réalisation, si compte tous les biens durables conservés comme des projets en cours de réalisation, les projets de s'en servir, ou de les vendre.

L'achat d'un bien durable destiné à être consommé, un paire de chaussures par exemple, est une épargne tant que le bien n'est pas consommé, mais on le compte en général comme une consommation, pas comme un investissement, parce qu'on anticipe la consommation à laquelle il est destiné.

L'achat d'une obligation, ou toute autre façon de prêter son argent, est une épargne parce que l'obligation est conservée. Lorsqu'on prête son argent, l'épargne du prêteur est compensée par la désépargne de l'emprunteur, et l'épargne globale est nulle, parce qu'on n'a pas conservé davantage de richesse. Aucune richesse n'a été créée.

Conserver son argent sur son compte bancaire est une façon d'épargner en prêtant son argent à la banque. Comme pour les obligations, l'épargne globale est nulle. Aucune richesse n'est créée. L'épargne du client est compensée par la désépargne de sa banque.

L'achat d'un ticket de loterie est une épargne parce qu'il est conservé jusqu'au jour du tirage au sort. Les jeux de hasard sont en général des jeux à somme nulle. Tout ce qui est gagné par les uns est perdu par d'autres, et inversement. La vente de tickets de loterie est une épargne pour les acheteurs et une désépargne pour le vendeur, qui devra payer les gains. L'épargne globale est nulle. Comme pour les obligations, aucune richesse n'est créée par la vente des tickets de loterie.

Les produits financiers, sauf les actions et les obligations, ressemblent souvent à des tickets de loterie dans des jeux à somme nulle. Dans de tels cas, l'épargne de l'acheteur d'un produit financier est compensée par la désépargne du vendeur, et l'épargne globale est nulle. Aucune richesse n'est créée.

L'acquisition d'une option est une épargne, parce que l'option est conservée. Elle est consommée le jour de son exercice. Si l'exercice d'une option est l'acquisition d'une nouvelle option, il est une épargne qui remplace la précédente.

Les cryptomonnaies sont semblables à des tickets de loterie. Les acheter est donc une épargne, mais ce n'est pas pour autant un bon investissement.

Même la consommation finale peut être accompagnée d'une forme d'épargne, parce qu'elle peut produire des bons souvenirs qui sont conservés. Un bon souvenir est une richesse qu'on a épargnée.

Qu'est-ce qu'un passif ?

Un actif est une richesse durable, ou un droit de recevoir des richesses. Un passif est une dette, ou un devoir de restituer ou de fournir des richesses.

Les actifs et les passifs peuvent être risqués. Un ticket de loterie est un actif risqué pour l'acheteur et un passif risqué pour le vendeur.

Un passif n'est pas nécessairement le devoir de payer de l'argent. Il peut être le devoir de fournir un bien ou un service.

La vente à découvert est la vente d'un bien qu'on a emprunté. On doit le restituer à l'échéance du prêt et donc le racheter ce jour-la, si on ne l'a pas racheté avant. Lorsqu'on a vendu à découvert, le bien qu'on doit restituer est un passif. La vente à découvert est la technique financière pour jouer à la baisse, parce qu'on fait un profit si le prix du bien qu'on a vendu à découvert diminue.

Si un projet est risqué, il arrive qu'on ne sache pas s'il va rapporter une recette ou au contraire causer un coût qu'on devra payer. Un tel projet n'est ni un actif, ni un passif, mais un actif-passif aléatoire. C'est ce qui arrive lorsqu'une entreprise est à responsabilité illimitée. Les entreprises à responsabilité limitée n'exposent pas leurs propriétaires au risque de payer des dettes et sont donc toujours des actifs.

Un patrimoine ou un portefeuille est composé d'actifs et de passifs, risqués ou non, et d'actifs-passifs aléatoires.

A quoi bon épargner ?

On peut épargner pour réaliser des projets et produire ainsi de nouvelles richesses.

On peut aussi épargner pour conserver des richesses. Si ces richesses nous seront utiles, cela revient à réaliser le projet de s'en servir et de produire ainsi de nouvelles richesses. Mais si ces richesses conservées restent inutiles, comme de l'or enterré dans un jardin, on ne produit rien. Or les richesses nous sont données pour produire des richesses. C'est pourquoi Jésus condamne la thésaurisation comme un crime : "Quant à cet esclave bon à rien, jetez-le dehors, dans la nuit noire, où ne sont que plaintes et grincements de dents" (Matthieu 25,30, traduit par Lamontagne et Myre). Acheter de l'or revient à l'enfermer dans un coffre ou dans une cave. C'est comme l'enterrer dans un jardin.

L'or dans un coffre ne produit rien, et sa conservation consomme un peu de richesse : les frais de gardiennage. Les cryptomonnaies ne produisent rien, et leur conservation consomme beaucoup de richesses, tout particulièrement l'énergie électrique consommée. C'est pourquoi les cryptomonnaies ne sont pas un bon investissement, mais seulement un gouffre financier.

Le revenu

Le profit

Un projet est profitable lorsque la valeur des richesses qu'il produit est plus grande que la valeur des richesses qu'il consomme.

Les coûts d'un projet sont les richesses qu'il consomme, ses recettes sont les richesses qu'il produit. Les fournitures, le travail et l'usure des biens de production sont des coûts. Les biens et les services produits sont des recettes. Le profit est la différence de valeur entre les recettes et les coûts.

Lorsqu'un bien durable est un bien de consommation finale, ses recettes sont les services fournis par sa consommation, son coût est son prix d'acquisition. Si la valeur du service consommé est comptée par la valeur du bien consommé en même temps, la valeur de la recette est égale à la valeur du coût. En général, il ne suffit pas de remplir son garde-manger pour faire un profit. Un bien de consommation finale produit un service, mais en général il ne produit pas un profit, parce que la valeur du service qu'il fournit n'est pas augmentée par le projet de le conserver.

Un bien durable est quasi-éternel lorsqu'il produit des services sans être consommé. En général, il y a aussi des coûts d'usage, le chauffage d'un logement par exemple, ou la facture d'électricité pour un ordinateur. Si les services produits ont une valeur supérieure aux coûts d'usage, un bien quasi-éternel ressemble à une poule aux œufs d'or, parce qu'il produit un profit sans être consommé.

Lorsque des biens ou des services sont consommés dans un projet de production, la valeur des richesses qu'ils produisent dépend du projet. Plus un projet est intelligent, plus grandes sont les richesses qu'il produit pour un coût fixé. Le profit est possible parce qu'on peut se servir des richesses pour produire davantage de richesses. L'usage intelligent des richesses pour produire de nouvelles richesses fait apparaître le profit.

Une entreprise est en général un projet à durée indéterminée. Pour un projet à durée finie, on compte le profit réalisé le jour de clôture du projet. Pour compter le profit d'une entreprise, on peut la considérer comme une succession de projets à durée finie. L'entreprise est comme un projet qu'on reconduit à chaque période. La valeur de l'entreprise en début de période est comptée comme un coût initial du projet de cette période, la valeur de l'entreprise en fin de période est comptée comme une recette finale. Pour compter le profit d'une entreprise, il faut compter sa valeur, son capital, et son appréciation, ou sa dépréciation.

Un travailleur est pour lui-même une entreprise profitable. Sa recette est la rémunération de son travail. Ses coûts sont ceux qu'il doit payer pour travailler. Pour un travailleur, une augmentation du revenu de son travail est une augmentation de son profit. Pour l'entreprise qui l'emploie, c'est une augmentation de ses coûts, qui est retirée de son profit.

Le calcul des profits dépend des prix. Si les prix varient, un projet profitable peut devenir ruineux, et inversement.

Le profit est-il un vol ?

Le profit d'une entreprise ou d'un projet est un revenu de la propriété, pas un revenu du travail. S'il y a un travail de gestion de la propriété ou de l'entreprise, il faut le compter comme un coût du projet, qui est retiré du profit. Les profits d'une entreprise ou d'un projet sont des revenus versés à des propriétaires qui n'ont pas travaillé, alors qu'un travailleur doit gagner son profit, le revenu de son travail, à la sueur de son front. Faut-il en conclure que les profits des propriétaires sont une richesse volée aux travailleurs ?

Un prix injuste est un vol déguisé. S'il est trop élevé, l'acheteur est lésé, comme volé par le vendeur. S'il est trop bas, c'est le contraire. Mais si le prix est juste, il n'y a pas de vol. Lorsque la main d’œuvre est sous-payée, elle est comme volée par ceux qui achètent ses services. Le prix injuste du travail fait que dans ce cas, le profit est un vol.

On raisonne souvent sur des projets comme si tous les prix étaient fixés et imposés, parce qu'il y a comme une tyrannie des prix. Souvent on ne choisit pas les prix des coûts et on ne peut pas fixer un prix pour les recettes qui s'éloigne trop des prix qui existent déjà, si on veut espérer vendre. Si le système des prix est juste, il n'y a pas de vol. Un projet profitable n'est pas forcément un projet voleur. Le profit est une richesse créée par la réalisation du projet. Pour un projet profitable, les recettes sont supérieures aux coûts, parce que le projet est intelligent, parce qu'on a bien choisi les moyens pour produire des biens ou des services. La richesse créée par un projet est un fruit de l'intelligence. Si les prix sont justes, le projet le plus profitable n'est pas le projet le plus voleur, seulement le projet le plus intelligent.

Les propriétaires prennent les profits des entreprises et ne laissent rien aux autres, qui peuvent estimer avoir été volés, si la propriété est très injustement répartie. Mais c'est l'injustice dans la répartition des profits qui fait le vol, pas le profit lui-même.

Même si la propriété est publique, il faut quand même compter les profits d'un projet, si on veut savoir si on a fait un bon usage de nos richesses, parce que le profit est une création de richesse. Même dans un économie purement socialiste, on veut des projets profitables, parce qu'on veut créer des richesses.

Pour réparer l'injustice de la répartition de la propriété, on pourrait croire qu'il faudrait que les travailleurs soient toujours propriétaires de leurs moyens de production : la terre à ceux qui la travaillent. De cette façon, les richesses produites reviennent en totalité à ceux qui les produisent et les propriétaires ne peuvent rien gagner sans travailler. La redistribution des richesses aux travailleurs est parfois une mesure de justice, mais elle peut aussi conduire à des conséquences insensées, si on la généralise de façon abusive. Les responsabilités d'un propriétaire ne sont pas les mêmes que celles d'un travailleur. On peut souhaiter travailler sans être propriétaire. Exiger d'une hôtesse de l'air qu'elle soit actionnaire de la compagnie aérienne dans laquelle elle est recrutée serait insensé, et poserait des difficultés de recrutement. En outre, le capital par travailleur (la valeur de l'entreprise divisée par le nombre de travailleurs) varie beaucoup en fonction de l'entreprise. Certains travailleurs devraient donc être beaucoup plus riches que d'autres. La redistribution des moyens de production aux travailleurs pourrait donc aggraver les inégalités de richesse au lieu de les réduire.

Les propriétaires d'un projet sont ceux qui ont avancé l'argent ou les richesses pour le réaliser. S'ils ne peuvent pas recevoir les profits d'un projet et seulement subir ses pertes, ils ne sont pas incités à avancer leur richesse. Abolir les profits de la propriété privée, c'est supprimer des incitations à faire un faire un bon usage de la propriété.

Si les travailleurs ne veulent pas avancer l'argent d'un projet, ou ne peuvent pas, parce qu'ils ne sont pas assez riches, si les propriétaires privés ne le veulent pas non plus, il ne reste plus que l'État-Providence pour financer le projet. La propriété privée n'est pas nécessaire pour la liberté d'entreprendre parce que l'État peut jouer le rôle d'une banque universelle qui finance tous les projets dès qu'ils méritent d'être financés.

Avec un État magnifique, toujours intelligent, compétent, honnête et dévoué au service des citoyens, toute la grande propriété pourrait être publique sans porter atteinte aux libertés privées. Mais l'État n'est pas toujours magnifique. On peut craindre non sans raison que l'État soit parfois tyrannique.

La propriété privée donne souvent de bonnes incitations : prendre soin de ses richesses et en faire un bon usage pour réaliser des projets profitables. Mais elle peut aussi donner de mauvaises incitations. Si les prix sont injustes, les projets les plus profitables peuvent être aussi les plus voleurs. Dans ce cas, la recherche du profit nous pousse au vol. Les intérêts privés peuvent aussi être contraires à l'intérêt général en ignorant des coûts payés payés par le public. Les propriétaires ne paient pas toujours tous les coûts de leurs projets. Si les coûts impayés sont des coûts de dégradation de l'environnement, la recherche des profits privés peut pousser au crime écologique.

Les grands projets sont en général ceux qui concernent le plus grand nombre de citoyens. Si la richesse est très concentrée, les très riches peuvent se comporter comme des tyrans et prendre selon leurs intérêts privés des décisions qui concernent tout le monde, et qui parfois nuisent à tout le monde. Lorsque les projets concernent de très nombreux citoyens, il peut sembler souhaitable que la propriété soit publique, parce qu'un bon État prend toujours ses décisions dans l'intérêt général. La puissance publique peut donc être une façon de limiter la tyrannie des très riches. Mais si l'État est injuste, on a le choix entre la peste et le choléra, la tyrannie des très riches ou la tyrannie de l'État.

La démocratie sociale est de prendre le meilleur dans les deux mondes, les richesses privées et les richesses publiques. Elle est l'option la plus généralement choisie, à gauche, au centre et à droite.

Libéralisme ou socialisme ?

Le principe du libéralisme économique : l'intérêt général est atteint lorsque chacun est égoïste et travaille pour son intérêt particulier.

Le principe du socialisme : l'intérêt particulier de chacun est atteint lorsque chacun est solidaire et travaille pour l'intérêt général.

Les adversaires du socialisme affirment que l'intérêt général est toujours mal connu et qu'on travaille mal quand on cherche à l'atteindre, qu'il vaut mieux travailler pour son intérêt particulier, parce que nous sommes bien placés pour le connaître.

Il est vrai que l'intérêt général n'est pas toujours bien connu, et qu'on ne sait pas toujours comment bien travailler pour l'atteindre. Mais les intérêts particuliers ne sont pas toujours bien connus non plus.

Même d'un point de vue égoïste, l'égoïsme est une erreur, parce que la solidarité est la source des plus grandes joies. Se contenter de l'égoïsme est se priver du meilleur. Si on connait bien son intérêt particulier, on ne se contente pas de l'égoïsme.

Lorsque l'intérêt général est mal connu, croire que la poursuite des intérêts particuliers va résoudre miraculeusement le problème, comme s'il y avait une main invisible qui nous conduisait toujours vers l'intérêt général (Adam Smith) est souvent pure superstition. Lorsque l'intérêt général est mal connu, la solution n'est pas l'égoïsme, elle est tout simplement de mieux connaître l'intérêt général et les moyens de l'atteindre.

La création de richesses sans travail

La Nature produit sans cesse des richesses sans notre assistance, ne serait-ce que la lumière que le Soleil déverse sur la Terre en permanence.

Une unité de production entièrement automatisée ou robotisée peut fonctionner presque sans travail, pourvu qu'on puisse négliger les coûts de supervision et d'entretien.

Un logement de bonne qualité est un bien quasi-éternel qui rend un grand service, être logé, presque sans travail. Il faut quand même faire le ménage.

Si on compte la lecture comme un plaisir et non comme un travail, un livre est un bien quasi-éternel qui produit une richesse, le plaisir de lire, sans travail et sans être consommé.

Si on trouve de nouveaux usages très utiles pour une matière première, la valeur des stocks déjà accumulés est automatiquement augmentée. C'est une augmentation réelle de richesse, parce que les stocks sont comme des réservoirs des services qu'ils peuvent rendre. Les propriétaires du stock peuvent faire un profit en revendant leur stock plus cher que le prix d'achat. C'est un profit gagné sans qu'aucun travail n'ait été fourni et sans que personne n'ait été volé. La connaissance est une richesse qui peut créer de la richesse sans exiger le moindre travail, autre que celui d'acquérir la connaissance.

Qu'est-ce que le revenu ?

Le revenu d'un agent est la somme des revenus de son travail et de sa propriété. Il est consommé ou épargné.

Le revenu de la propriété est le profit, dans lequel il faut compter l'appréciation du capital, nette de sa dépréciation.

La dépréciation du capital doit être distinguée de sa consommation. Lorsqu'un bien durable est consommé par son usage, une automobile ou une paire de chaussures, par exemple, c'est une consommation du capital, pas une dépréciation. La dépréciation du capital est la diminution de sa valeur alors qu'il n'est pas consommé, diminué ou en partie vendu.

On augmente son capital en épargnant une part de son revenu, donc en plaçant son argent : en achetant des biens durables ou des parts d'entreprise, ou en payant les coûts initiaux de projets profitables. L'appréciation du capital est l'augmentation de sa valeur alors qu'on n'a rien acheté.

Lorsqu'une entreprise réinvestit ses profits, elle augmente son capital en avançant de l'argent, comme si les actionnaires avaient reçu des dividendes et s'en étaient servis pour acheter de nouvelles actions de l'entreprise.

On peut consommer en dépensant une part de son revenu, en consommant ou en vendant une part de son capital, ou en empruntant. Un emprunt pour consommer est une désépargne, parce qu'il augmente le passif sans augmenter l'actif. La valeur d'un patrimoine est la différence entre l'actif et le passif.

L'épargne peut toujours être comptée comme un investissement. Elle est la différence entre la valeur de la propriété conservée en fin de période et la valeur de la propriété conservée en début de période.

D'où vient l'argent ?

La monnaie et la multiplication des biens et des services

La monnaie (l'argent) est un multiplicateur de de biens et de services.

Chacun est incité à produire des biens et à fournir des services pour gagner de l'argent, et à demander des biens et des services, dès qu'il a les moyens de les payer. De cette façon, la monnaie incite tout le monde à fournir et à demander des biens et des services. Cette incitation est permanente. Il faut détruire l'argent, ou l'empêcher de circuler, pour annuler cette incitation, parce que dès que l'argent est disponible, les gens sont incités à le dépenser, donc à le faire circuler.

Les dépenses des uns font les revenus des autres, parce que les biens et les services achetés sont toujours vendus. Donc plus les gens dépensent de l'argent, plus ils en gagnent. La monnaie stimule l'activité économique en incitant à dépenser. Les revenus engendrés par l'offre de biens et de services conduisent à demander, et donc à offrir, de nouveaux biens et services, comme si les biens et les services déjà offerts pouvaient être multipliés, comme la multiplication des pains.

On peut mesurer la multiplication des biens et des services par la monnaie avec sa vitesse de circulation. Cette vitesse est le nombre de fois au cours d'une période donnée où une unité de monnaie a servi à acheter un service ou un nouveau bien.

Quand on augmente la masse monétaire, la monnaie mise en circulation incite les gens à dépenser davantage. Cela peut conduire à une augmentation de l'activité, des prix, ou les deux. S'il y a des capacités de production disponibles, les producteurs peuvent augmenter les quantités sans augmenter les prix. Dans ce cas l'augmentation de la masse monétaire conduit immédiatement à une augmentation de l'activité, parce que l'argent créé incite les agents à dépenser davantage. Cette relance par la demande a un effet permanent. L'augmentation de la demande se reproduit à chaque période, tant que l'argent créé n'est pas détruit, ou retiré de la circulation, et que les prix n'augmentent pas, parce que l'argent créé incite toujours à dépenser davantage. L'augmentation des prix peut annuler cette relance par la demande, parce que l'argent créé sert alors à payer plus cher les mêmes quantités qu'auparavant.

Les espèces

Les espèces sont les billets et les pièces mis en circulation par une banque centrale.

Même lorsque leurs billets étaient convertibles en or, les banques centrales créaient de l'argent en les imprimant, parce qu'elles imprimaient plus de billets que leurs réserves d'or.

Les banques centrales mettent de l'argent en circulation quand elles le prêtent et quand elles achètent des actifs.

Lorsque les billets étaient convertibles en or, ils étaient comme des dettes de la banque centrale, qu'elle devait rembourser en or à la demande, comme si les billets correspondaient à des dépôts en or. C'est pourquoi les billets sont comptés au passif d'une banque centrale.

Tant que les billets étaient convertibles en or, imprimer plus de billets que les réserves d'or était risqué, parce que les banques centrales pouvaient être exposées à des demandes massives de retrait en or qu'elles ne pouvaient pas honorer. Les réserves d'or étaient donc une contrainte qui limitait la création monétaire. L'augmentation de la masse monétaire était retenue par la bride de l'or.

Désormais les billets ne sont plus convertibles en or. Tout s'est passé comme si les banques centrales avaient fait défaut, comme si elle avaient refusé définitivement de rembourser leurs dettes. Les billets sont toujours comptés à leur passif, mais c'est une dette qu'elle n'ont plus à rembourser.

L'abandon de la convertibilité or aurait pu conduire à l'abandon des billets de banque, si les agents avaient décidé que cette monnaie de papier n'avaient plus aucune valeur et s'ils avaient choisi une autre forme de monnaie. Mais ce n'est pas ce qui s'est produit, parce qu'il n'y a pas eu d'autre monnaie capable de remplacer celle proposée par la banque centrale.

Quand une banque centrale vend des actifs, ou quand des prêts lui sont remboursés, elle retire de l'argent de la circulation et elle diminue en même temps son actif et son passif. C'est pourquoi il est sensé de compter les billets au passif de la banque centrale, même s'ils ne sont pas vraiment des dettes remboursables, parce qu'une banque centrale peut choisir de rembourser son passif.

Les promoteurs des cryptomonnaies prétendent qu'elles pourraient prendre la place des monnaies centralisées. Selon eux, on pourrait se passer des banques centrales et payer toutes nos transactions en cryptos. Mais c'est un mensonge. Le coût énergétique des paiements en cryptos est très élevé. Toutes les ressources énergétiques de toute la planète ne suffiraient pas pour remplacer les monnaies par des cryptos. Jusqu'à présent on n'a pas trouvé mieux que la monnaie centrale et le système bancaire pour produire toute la monnaie dont nous avons besoin.

Le miracle de la monnaie bancaire

Les comptes courants sont de l'argent prêté aux banques. Comme ils ne sont pas rémunérés, les banques empruntent ainsi de l'argent sans payer d'intérêts, tandis que les particuliers doivent payer des intérêts quand ils empruntent. Les banques gagnent de l'argent en prêtant avec intérêt l'argent qu'on leur a prêté sans intérêt.

On pourrait croire que les banques ne créent pas d'argent parce qu'elles ne font que prêter ce qu'on leur a prêté auparavant : les dépôts font les crédits. Les banques ne peuvent pas prêter plus d'argent que celui qu'on leur a confié. Mais lorsqu'elles accordent un nouveau prêt, elles augmentent le compte courant de l'emprunteur sans diminuer les autres comptes courants : les crédits font les dépôts. Or la somme de tous les comptes courants fait partie de la masse monétaire. Donc celle-ci augmente à chaque nouveau prêt bancaire. A chaque fois qu'une banque accorde un nouveau prêt, une quantité égale d'argent est créée.

La monnaie créée par un prêt bancaire a une contrepartie : l'obligation de remboursement de l'emprunteur. Lorsque le prêt bancaire est remboursé, la monnaie initialement créée est finalement détruite. S'il y a davantage de nouveaux prêts bancaires que de prêts remboursés, la masse monétaire augmente. Si en revanche, il y a moins de nouveaux prêts que de prêts remboursés, la masse monétaire diminue.

La création monétaire par les banques ressemble à un privilège malhonnête, parce qu'elles créent de l'argent à chaque fois qu'elles en prêtent. Mais il faut plutôt voir cette liberté de création monétaire comme une bénédiction. Pour réaliser des projets, il faut en général avancer l'argent. En l'absence de création monétaire, on est limité par la masse monétaire disponible. La création monétaire permet d'avancer l'argent pour réaliser des projets sans être limité par l'argent disponible au départ. Un bon banquier est à l’affût des entreprises et des bons projets qui méritent d'être financés. Créer de l'argent en finançant des entreprises et leurs projets fait partie du travail quotidien des banques. C'est la réalité, pas une utopie.

Si la création monétaire conduit à une augmentation de la demande sans une augmentation parallèle de l'offre, elle conduit à l'inflation, elle augmente les prix sans augmenter l'activité. Mais si la création monétaire est consacrée à de bons investissements, elle conduit à une augmentation des capacités de production, et les producteurs peuvent alors augmenter les quantités sans augmenter les prix. Il est donc possible de créer de la monnaie sans provoquer de l'inflation, pourvu que la monnaie créée soit utilisée pour des investissements vraiment productifs.

L'origine de la création monétaire par les banques

La monnaie en circulation peut exister sous plusieurs formes : les espèces C (le cash) détenues par les particuliers ou les entreprises autres que les banques commerciales, la monnaie bancaire B et les réserves R des banques commerciales. Les administrations publiques, sauf la banque centrale, sont considérées comme des entreprises.

B est la somme de tous les comptes courants des particuliers et des entreprises dans les banques commerciales.

R est la somme des réserves bancaires en cash et des comptes courants des banques commerciales à la banque centrale.

La banque centrale n'a pas de trésorerie, pas de réserves monétaires, parce qu'elle n'en a pas besoin. Pourquoi garder de l'argent en réserve alors qu'on peut en créer dès qu'on en a besoin ?

Les réserves en cash sont semblables à un compte courant à la banque centrale, mais c'est le client qui compte son argent, pas la banque centrale.

M1 = C + B est la somme des réserves monétaires des particuliers et des entreprises, autres que les banques commerciales.

M0 = C + R est la monnaie centrale, le passif de la banque centrale.

M = C + B + R est la somme de toutes les réserves monétaires en circulation détenues par les particuliers et les entreprises, y compris les banques commerciales.

Lorsqu'un particulier dépose 100 en espèces à la banque, C diminue de 100 tandis que R et B augmentent tous les deux de 100. M est donc augmentée de 100. On crée de la monnaie en déposant des espèces à la banque, parce que ce dépôt est compté deux fois comme réserve, une fois comme réserve de la banque, et une deuxième fois comme réserve du client.

Si un particulier retire 100 en espèces de sa banque, C augmente de 100 tandis que R et B diminuent tous les deux de 100. M est donc diminuée de 100. On détruit de la monnaie quand on retire de l'argent en espèces, parce que des réserves présentes deux fois ne sont plus présentes qu'une seule fois.

Si une banque prête 100 en espèces à un particulier, C augmente de 100 et R diminue de 100. M n'est donc pas modifiée. Le prêt d'espèces conduit à une création monétaire seulement s'il est déposé dans une banque.

Si un prêt bancaire à un particulier de 100 est remboursé en espèces, R augmente de 100 et C diminue de 100. M n'est donc pas modifiée.

Si une banque prête 100 en monnaie bancaire à un particulier, B augmente de 100, et R n'est pas modifiée, parce que la diminution des réserves de la banque prêteuse est compensée par l'augmentation des réserves de la banque de l'emprunteur. Un prêt bancaire à un particulier est une création de monnaie s'il est accordé en monnaie bancaire. La banque prêteuse ne crée pas l'argent qu'elle prête, parce qu'il est retiré de ses réserves. L'argent créé est la réserve supplémentaire de la banque de l'emprunteur.

Si un prêt bancaire à un particulier de 100 est remboursé en monnaie bancaire, B diminue de 100 et R n'est pas modifiée, parce que l'augmentation des réserves de la banque prêteuse est compensée par la diminution des réserves de la banque de l'emprunteur. Le remboursement d'un prêt bancaire est une destruction de monnaie s'il est remboursé en monnaie bancaire. La banque prêteuse ne détruit pas l'argent remboursé, parce qu'elle le met dans ses réserves. L'argent détruit est la diminution des réserves de la banque de l'emprunteur.

Si une banque achète à un particulier un actif en espèces au prix de 100, R diminue de 100 et C augmente de 100, M n'est donc pas modifiée.

Si une banque achète à un particulier un actif en monnaie bancaire au prix de 100, B augmente de 100 et R n'est pas modifiée, parce que la diminution des réserves de la banque acheteuse est compensée par l'augmentation des réserves de la banque du vendeur. Donc de l'argent est créé à chaque fois qu'une banque achète un actif et paie en monnaie bancaire. La banque acheteuse ne crée pas l'argent avec lequel elle achète l'actif, parce qu'il est retiré de ses réserves. L'argent créé est la réserve supplémentaire de la banque du vendeur.

Les banques peuvent augmenter la masse monétaire en achetant des actifs. Pourquoi alors n'achètent-elles pas tous les actifs, puisqu'elles peuvent collectivement créer toute la monnaie qu'elles veulent pour les acheter ?

Les banques ont des obligations de fonds propres. Quand elles créent de la monnaie en achetant des actifs, elles augmentent en même temps leur actif et leur passif. Les fonds propres d'une entreprise sont la valeur de l'entreprise, la différence entre son actif et son passif. Les banques ne peuvent donc pas créer de la monnaie en achetant des actifs de façon illimitée si elles satisfont à leurs obligations de fonds propres.

Quand un banque vend à un particulier un actif en espèces au prix de 100, R augmente de 100 et C diminue de 100, M n'est donc pas modifiée.

Quand une banque vend à un particulier un actif en monnaie bancaire au prix de 100, B diminue de 100 et R n'est pas modifiée, parce que l'augmentation des réserves de la banque vendeuse est compensée par la diminution des réserves de la banque de l'acheteur. Donc de l'argent est détruit à chaque fois qu'une banque vend un actif et est payée en monnaie bancaire. La banque ne détruit pas l'argent qu'elle reçoit parce qu'elle le met dans ses réserves. L'argent détruit est la diminution des réserves de la banque de l'acheteur.

Même les dépenses et les recettes courantes des banques commerciales sont accompagnées de création ou de destruction monétaire, lorsqu'elles sont payées en monnaie bancaire. De l'argent est créé à chaque fois qu'une banque paie en monnaie bancaire ses dépenses. De l'argent est détruit à chaque fois qu'une banque reçoit des recettes en monnaie bancaire.

Les banques créent de l'argent à chaque fois qu'elles dépensent. Si elles n'ont qu'à créer de l'argent pour s'offrir tout ce qu'elles veulent, pourquoi ne dépensent-elles pas davantage ? Comme toutes les entreprises, elles ont une obligation budgétaire. Les coûts doivent être compensés par des recettes. Comme l'argent qu'elles créent en payant leurs coûts est détruit quand elles reçoivent des recettes, elles ne peuvent pas augmenter la masse monétaire de façon illimitée en augmentant leurs dépenses.

Si une banque verse en monnaie bancaire un bénéfice de 100 à ses actionnaires, B augmente de 100 et R n'est pas modifiée parce que la diminution des réserves de la banque qui verse des bénéfices est compensée par l'augmentation des réserves des banques des actionnaires. M est donc augmentée de 100. La banque ne crée pas l'argent qu'elle verse à ses actionnaires parce qu'il est retiré de ses réserves. L'argent créé est la réserve supplémentaire des banques des actionnaires.

Comment l'argent est-il mis en circulation ?

La banque centrale met de l'argent en circulation en le prêtant, en achetant des actifs, en payant ses dépenses courantes et en versant ses bénéfices à l'État ou aux États pour la zone euro.. Elle retire l'argent de la circulation lorsque les prêts qu'elle a accordés sont remboursés, lorsqu'elle vend des actifs et lorsqu'elle reçoit les intérêts de ses prêts.

Si la banque centrale prête 100 à une banque commerciale, elle le crédite sur son compte courant à la banque centrale. R est augmenté de 100 et donc M aussi. La banque centrale crée l'argent qu'elle prête en le prêtant.

Si la banque centrale achète un actif à un particulier au prix de 100 en monnaie bancaire, B et R sont tous les deux augmentés de 100, parce que les réserves de la banque du vendeur augmente. M est donc augmenté de 200. Lorsque la banque centrale achète un actif elle crée deux fois plus d'argent que le prix de l'actif.

La banque centrale peut toujours créer autant d'argent qu'elle le souhaite pour le prêter, pour acheter des actifs, pour le donner ou pour toute autre dépense.

La monnaie bancaire est créée lorsque les banques prêtent, achètent des actifs, paient leurs dépenses et versent des bénéfices en monnaie bancaire. Elle est détruite lorsque les prêts bancaires sont remboursés, lorsque les banques vendent des actifs et lorsqu'elles reçoivent des revenus, toujours en monnaie bancaire.

Les espèces sont mises en circulation à la demande des particuliers et des entreprises dès qu'ils retirent des espèces de leur banque. La banque centrale imprime tous les billets qui sont demandés. La quantité de billets en circulation dépend de la demande des particuliers et des entreprises. En particulier, la banque centrale imprime tous les billets avec lesquels les criminels remplissent des valises, pour leurs paiements et leur épargne.

La quantité de mouvement de la monnaie

Comment injecter un milliard dans une économie ? On peut songer à deux façons :

si le milliard existe déjà et est immobilisé, on l'injecte en le mettant en circulation.
si le milliard n'existe pas déjà, on le crée en le mettant en circulation.

Dans le premier cas, la masse monétaire n'a pas changé. Seule la vitesse de circulation de la monnaie change, parce que le milliard auparavant immobilisé est mis en circulation. Dans le deuxième cas, la masse monétaire est augmentée et la vitesse de circulation n'a pas changé. Dans les deux cas l'effet est le même, parce que ce qui compte pour une économie n'est pas la masse monétaire M ou la vitesse V de circulation de la monnaie prises séparément, mais leur produit MV, la quantité de mouvement de la monnaie.

Le PIB mesure la production de richesses à l'intérieur d'un pays au cours d'une période donnée. Le PIB nominal est le PIB évalué aux prix courants. La vitesse V de la circulation de la monnaie est par définition le PIB nominal divisé par la masse monétaire M :

V = PIB/M

La quantité de mouvement de la monnaie, MV, est égale au PIB nominal.

Le paradoxe de la restriction des dépenses

Supposons qu'en moyenne les agents décident de dépenser moins d'argent, parce qu'ils font moins confiance à l'avenir et veulent davantage d'argent sur leur compte en banque ou en espèces, par sécurité. La perte de confiance dans l'avenir peut aussi conduire les agents à renoncer à des dépenses d'investissement, parce qu'il faut espérer pour investir dans des projets qu'on croit profitables. Comme les revenus des uns dépendent des dépenses des autres, les revenus de tous diminuent en moyenne. La restriction des dépenses conduit à une réduction de l'activité productive. De plus, les agents ne peuvent pas avoir tous plus d'argent en réserve, si la masse monétaire est constante, parce que celle-ci est la somme de toutes leurs réserves. En restreignant leurs dépenses, ils diminuent leurs revenus et ne peuvent pas atteindre leur objectif d'augmenter leurs réserves. Ils obtiennent un effet contraire à l'effet désiré, un appauvrissement au lieu d'un enrichissement. C'est le paradoxe de la restriction des dépenses. On l'appelle en général le paradoxe de l'épargne, mais c'est une expression trompeuse, parce que les dépenses d'investissement sont une épargne et leur augmentation ne conduit pas à une contraction de l'activité productive.

Lorsque les agents restreignent leurs dépenses, ils conservent leur argent plus longtemps et font donc diminuer V. Si M est constante, le PIB = MV diminue d'autant.

La perte de confiance dans l'avenir peut conduire les agents à augmenter leurs réserves de richesses réelles, comme un écureuil qui épargne pour l'hiver. Cette augmentation de l'épargne est en même temps une augmentation de l'investissement et ne conduit pas à une contraction de l'activité. Mais la peur de l'avenir peut aussi conduire les agents à restreindre leurs dépenses, parce qu'ils espèrent en vain augmenter leurs réserves monétaires, et elle provoque ainsi une contraction de l'activité.

Le paradoxe de la restriction des dépenses montre que la perte de confiance dans l'avenir suffit pour provoquer une augmentation du chômage. Donc, une économie peut entrer en récession pour des raisons purement psychologiques.

Lorsque l'argent ne circule pas, il n'a pas d'effet direct sur les achats, les ventes et les prix, comme s'il n'existait pas, comme s'il ne faisait plus partie de la masse monétaire. Mais cet argent immobile a quand même un effet économique, parce qu'il influence les décisions de son propriétaire. Les agents veulent en général avoir un minimum de réserves monétaires. Si leurs réserves diminuent, ils veulent les reconstituer et sont dissuadés de dépenser. C'est pourquoi même la monnaie qui ne circule pas peut stimuler l'activité.

Si une récession est provoquée par la restriction des dépenses, il suffit en principe de créer de la monnaie pour résoudre le problème. L'argent créé permet d'augmenter les réserves des agents comme ils le souhaitent.

La valeur d'un projet sans risque

On calcule la valeur d'un projet en anticipant son profit, donc ses coûts et ses recettes.

Les coûts et les recettes

Le calcul des coûts et des recettes est une méthode générale d'évaluation des décisions. Les règles marchandes imposent de tels calculs. Un entreprise qui ne compte pas correctement ses coûts et ses recettes fait en général faillite. Mais l'importance du calcul des coûts et des recettes ne s'arrête pas à la comptabilité d'entreprise. Pour la plupart des projets, même à but non lucratif, même avec des intentions seulement philanthropiques, on a intérêt à évaluer les coûts et les recettes, afin de faire les meilleurs choix, ou au moins des choix raisonnables, vraisemblablement satisfaisants. Il n'est pas nécessaire que les calculs soient très précis. Des évaluations grossières peuvent suffire pour prendre de bonnes décisions.

Lorsqu'il s'agit de richesses naturelles irremplaçables, le calcul des coûts et des recettes est rapide : le coût de leur disparition est infini, donc aucune recette ne justifie leur sacrifice.

En général, les entreprises ne paient pas, ou pas beaucoup, pour leurs dégâts sur l'environnement. Si on leur faisait payer ce coût en l'évaluant par le coût de remplacement des richesses perdues, elles devraient en tenir compte dans leurs prix de vente. Mais comme les prix de marché ignorent largement les coûts sur l'environnement, ils nous incitent à prendre de mauvaises décisions, à choisir des produits qui nous coûtent beaucoup plus cher que leur prix d'achat. Si on veut évaluer correctement les profits, il faut prendre en compte aussi les coûts ou les recettes cachés, ignorés dans les comptabilités des entreprises ou des particuliers.

La dévaluation de l'avenir

Si on connaît les coûts et les recettes, le calcul du profit semble facile : le profit est la somme de toutes les recettes moins la somme de tous les coûts. Si le projet est de courte durée, c'est un calcul exact, mais si le projet est à long terme, on évalue mal les coûts et les recettes si on ignore les délais. Une recette de 100 demain n'a pas la même valeur qu'une recette de 100 dans un an. Il en va de même pour les coûts. On a besoin d'un taux de change intertemporel pour convertir la valeur des paiements futurs en paiements présents. On l'appelle le taux d'actualisation. On l'évalue à partir des taux d'intérêt sur les prêts sans risque.

Avec un taux d'intérêt de 2% annuel, on reçoit 102 dans un an si on a placé 100 aujourd'hui. 102 dans un an vaut donc autant que 100 aujourd'hui. 100x(1.02)^20 = 148 dans 20 ans vaut autant que 100 aujourd'hui. 100x(1.02)^100 = 724 dans 100 ans vaut autant que 100 aujourd'hui. 100 dans 100 ans vaut donc 100/7.24 = 13.8 aujourd'hui. 13.8 est la valeur actuelle de 100 dans cent ans. La logique financière conduit à dévaluer systématiquement les biens à venir. L'intérêt des générations futures est donc très mal pris en compte par la logique financière.

L'erreur financière fondamentale, le péché capital du point de vue de la finance, est de laisser dormir les richesses, de ne pas s'en servir pour en produire davantage, d'enterrer son or dans son jardin par exemple, au lieu de financer une entreprise productive. La logique financière nous invite donc à exploiter au maximum toutes les richesses disponibles. Mais si on applique cette logique aux ressources naturelles non-renouvelables, on arrive à une conclusion absurde : on aurait tort de les conserver, parce qu'elles sont de la richesse inutilisée. Pourquoi les laisser aux générations futures alors qu'on peut s'en servir tout de suite pour gagner beaucoup d'argent ? Dans nos comptes financiers, les richesses conservées pour les générations futures ne valent rien ou presque rien, il vaudrait beaucoup mieux les exploiter tout de suite.

La logique financière sous-estime la valeur des biens de longue durée, parce qu'elle ne prend pas en compte leur valeur pour ceux qui ne sont pas encore nés. La demande des biens fait leur valeur, mais les absents ont toujours tort. Quand on ignore l'intérêt des générations futures, c'est de leur faute, parce qu'ils ne demandent rien, parce qu'ils ne sont pas nés.

Le système économique présent détruit notre avenir. Chaque jour la planète est plus dégradée que la veille. Les richesses naturelles disparaissent à vitesse grand V. Nous travaillons pour nous appauvrir. Si le développement économique est livré au laisser-faire, à la loi du marché qui fait que les biens sont évalués par ceux qui peuvent les payer, il nous conduit droit dans le précipice, parce que le marché dévalue l'avenir à long-terme.

Le profit d'un projet sans risque

Le profit est la différence entre la recette finale et le coût initial.

Le coût initial est évalué le jour de lancement du projet, et la recette finale, le jour de clôture du projet.

Les projets sans risque les plus simples ont un seul coût et une seule recette, payer 100 aujourd'hui pour recevoir 102 dans un an par exemple. Ils sont équivalents, d'un point de vue comptable, à une obligation zéro-coupon.

Une obligation est une dette. L'émetteur de l'obligation emprunte de l'argent. L'acheteur de l'obligation prête son argent. L'émetteur de l'obligation doit payer les intérêts et rembourser le capital. Les coupons d'une obligation représentent les intérêts qui doivent être payés avant le remboursement du capital. Une obligation zéro-coupon est remboursée en une seule fois, le capital et l'intérêt. Par exemple, on peut acheter 100 aujourd'hui une obligation qui engage l'émetteur à rembourser 102 dans un an.

Lors d'un projet de production, les coûts précèdent les recettes. Les coûts initiaux sont les coûts qui ne sont pas payés par des recettes antérieures. La durée d'un projet peut toujours être divisée en deux périodes, une où il faut avancer de l'argent pour couvrir les coûts, parce qu'ils ne sont pas payés par des recettes antérieures, et la période suivante où il n'est plus nécessaire d'avancer un tel argent, parce que les recettes suffisent pour couvrir les coûts. Les coûts initiaux sont les coûts nets de la première période. Les recettes finales sont les recettes nettes de la deuxième période. Les coûts initiaux sont l'argent qu'il faut avancer pour réaliser le projet. Les recettes finales sont l'argent qui reste dans la caisse une fois que les coûts initiaux ont été payés et que le projet est terminé.

L'argent qui n'est pas utilisé est de l'argent qui dort, qui ne rapporte aucun intérêt. C'est pourquoi une entreprise n'a pas intérêt à conserver une grosse trésorerie. Plutôt que de laisser l'argent dans la caisse, il vaut mieux le placer et gagner un intérêt sans risque. On peut ainsi gérer sa trésorerie au plus juste en achetant et en vendant des obligations sans risque. Les coûts de trésorerie sont les coûts qu'on paie si on ne gère pas sa trésorerie au plus juste, si on laisse l'argent dormir dans la caisse. Pour les ignorer, on peut supposer que la trésorerie est toujours placée avec un taux d'intérêt sans risque, comme si elle était toujours gérée au plus juste. Pour une petite trésorerie ou un projet de courte durée, les coûts de trésorerie sont très faibles, et on peut les ignorer, mais ils peuvent être très importants pour les grosses trésoreries sur une longue durée.

Si on a réduit à zéro les coûts de trésorerie, la recette finale est la somme des recettes finales actualisées le jour de clôture du projet.

Si par exemple le taux d'actualisation est de 2% annuel, une recette de 100 dans un an est équivalente à une recette de 102 dans deux ans.

Avec le même taux d'actualisation, un coût de 102 dans un an est équivalent à un coût de 100 aujourd'hui, parce qu'en payant 100 aujourd'hui et en le plaçant au taux sans risque, on peut payer 102 dans un an.

Si on a réduit à zéro les coûts de trésorerie, le coût initial d'un projet sans risque est la somme des coûts initiaux actualisés le jour de lancement du projet.

Le taux de profit est le profit divisé par le coût initial. Le taux de profit doit être compté par unité de temps. Un taux de profit de 21% pour un projet de deux ans est un taux de profit de 10% annuel.

La valeur actuelle nette d'un projet sans risque

La valeur d'un projet le jour de sa clôture est sa recette finale.

La valeur d'un projet sans risque le jour de son lancement est la valeur actualisée ce jour de sa recette finale.

Si par exemple la recette finale est 102 dans un an et si le taux d'actualisation est de 2% annuel, alors la valeur du projet aujourd'hui est 100.

La valeur actuelle nette d'un projet sans risque est la différence entre la valeur du projet et son coût initial, donc la valeur du projet nette de son coût initial. La valeur actuelle nette d'un projet le jour de son lancement est la différence entre la valeur actuelle de la recette finale anticipée ce jour et le coût initial. La valeur actuelle nette n'est pas le profit, parce qu'il faut actualiser la recette finale au jour de lancement du projet.

Si sa valeur actuelle nette est strictement plus grande que zéro, un projet sans risque est une aubaine. Sa valeur est plus grande que son coût initial, son prix. Si sa valeur actuelle nette est égale à zéro, il est un projet optimal, qui rapporte autant que des projets sans risque optimaux réguliers, et sa valeur est égale à son prix. Si sa valeur actuelle nette est strictement inférieure à zéro, il est un projet sous-optimal, qui rapporte moins que des projets sans risque optimaux réguliers, ou qui perd de l'argent, et sa valeur est inférieure à son prix. C'est pourquoi une des règles de la finance est de refuser un projet si sa valeur actuelle nette est négative.

Lorsqu'une entreprise marche bien, on s'attend à ce qu'elle utilise au mieux les ressources disponibles et à ce que sa valeur actuelle nette soit nulle, si on ignore les aubaines, parce qu'elle fait un surprofit optimal pour son cout initial. Valeur actuelle nette nulle veut donc dire qu'une entreprise vaut son coût initial parce qu'elle est gérée de façon optimale. Si la valeur actuelle nette est strictement plus grande que zéro, elle est une somme d'aubaines. Si une entreprise est mal gérée, sa valeur actuelle nette chute en dessous de zéro et est comme une somme de tous les coûts des erreurs de gestion.

Le surprofit d'un projet est l'excès de profit par rapport au profit d'un projet qui rapporte au taux d'intérêt sans risque et qui a le même coût initial.

Théorème : la valeur actuelle nette d'un projet sans risque est la valeur actuelle, le jour de lancement du projet, du surprofit anticipé.

Preuve : la valeur le jour de clôture du projet du coût initial est égale au coût initial plus le profit qu'aurait rapporté ce coût initial s'il avait été placé au taux sans risque. Le surprofit est donc la différence entre la recette finale et la valeur du coût initial le jour de clôture du projet. La valeur du surprofit anticipé le jour de lancement du projet est donc la différence entre la valeur ce jour-la de la recette finale anticipée et le coût initial, donc la valeur actuelle nette.

Théorème : la valeur actuelle nette d'un projet est la somme de toutes les recettes moins la somme de tous les coûts, tous actualisés le jour de lancement du projet.

Preuve : soit r le taux d'actualisation annuel. Cela veut dire qu'une valeur x à la date t1 vaut x(1+r)^(t2-t1) à la date t2. a^b est a exposant b. r = 5% veut dire r = 5/100 = 0.05. Si r = 5%, 1+r = 1.05. Les dates sont mesurées en années. Soit 0 la date du lancement du projet, t1, la date du premier jour où tous les coûts initiaux sont payés, et t2 la date du jour de clôture du projet. Les recettes et les coûts sont R(t) et C(t). Le coût initial C est la somme sur t de 0 à t1, t1 exclu, de (C(t)-R(t))(1+r)^(-t). La recette finale R est la somme sur t de t1 à t2 de (R(t)-C(t))^(t2-t). La somme sur t de 0 à t2 de (R(t)-C(t))^(-t) est donc égale à -C + R(1+r)^(-t2) = (R - C(1+r)^t2)(1+r)^(-t2). C'est le résultat désiré parce que la valeur actuelle nette est la valeur actuelle du surprofit anticipé R - C(1+r)^t2.

Théorème : un projet sans risque qui rapporte un profit régulier a une valeur optimale si et seulement si sa valeur actuelle nette est nulle.

Preuve : si un projet sans risque a un surprofit strictement plus grand que zéro, il est nécessairement une aubaine qu'on ne peut pas répéter régulièrement. Si on le pouvait, il suffirait d'emprunter au taux sans risque pour réaliser un profit illimité. Or les lois de la finance ne permettent pas des profits illimités. Un projet sans risque qui rapporte un profit régulier a donc nécessairement un surprofit inférieur ou égal à zéro. Donc un projet sans risque qui rapporte un profit régulier est optimal si et seulement si son surprofit est nul, d'où le théorème.

Théorème : la valeur actuelle nette de la somme de projets sans risques est la somme de leurs valeurs actuelles nettes.

Preuve : soit C1 et C2 les coûts initiaux de deux projets sans risque évalués le même jour. R1 et R2 sont les valeurs ce même jour de leurs recettes finales. La valeur actuelle nette du projet 1 est VAN1 = R1 - C1, celle du projet 2 est VAN2 = R2 - C2, celle du projet 1+2 est VAN(1+2) = R1+R2-(C1+C2) = VAN1 + VAN2. La valeur actuelle nette de la somme de deux projets sans risque est donc la somme des valeurs actuelles nettes des deux projets composants. On peut conclure en raisonnant par récurrence que la valeur actuelle nette d'une somme de n projets est la somme des n valeurs actuelles nettes des composants.

La composition des projets peut créer de la valeur parce que le coût initial et la recette finale d'un projet peuvent dépendre de l'existence d'un autre projet. Pour calculer la valeur actuelle nette d'une somme de projets, il faut compter les coûts initiaux et les recettes finales après avoir pris en compte cet effet de composition. En calculant ainsi, la valeur actuelle nette d'une somme de projets est toujours la somme des valeurs actuelles nettes des projets composants.

L'effet de levier

On peut bénéficier d'un effet de levier lorsqu'un projet a un taux de profit plus élevé que le taux auquel on peut emprunter. L'effet de levier permet d'augmenter le taux de profit, jusqu'à l'infini, en empruntant tout ou partie des fonds nécessaires au projet. Si on peut tout emprunter, il n'y a pas de fonds à avancer et le taux de profit est infini. Si on emprunte seulement une partie des fonds, on augmente le taux de profit, parce qu'on gagne sur la différence entre le taux de profit du projet et le taux auquel on emprunte.

Un exemple : si on investit 100 dans une entreprise dont le taux de profit est de 20% annuel, on fait un profit de 20 au bout d'un an. Si on a emprunté 50 au taux de 2%, on doit rembourser 51 au bout d'un an, le profit n'est plus que de 19, mais on a avancé seulement 50. Le taux de profit est donc de 19/50=38%. En empruntant, on a augmenté par effet de levier le taux de profit de 20 à 38%.

Un emprunteur peut toujours diminuer le coût initial d'un projet en empruntant une partie des fonds avancés. Cette diminution du coût initial est accompagnée d'une diminution de la recette finale, parce qu'il faut payer les intérêts sur l'argent emprunté. La valeur d'un projet est la valeur de sa recette finale et elle est donc diminuée par l'effet de levier. Mais si l'argent est emprunté au taux sans risque, la diminution de la valeur du projet est exactement compensée par la diminution du coût initial.

Théorème : si on finance un projet en empruntant au taux sans risque, son surprofit n'est pas modifié.

Preuve : Soit C le coût initial du projet, E la somme empruntée au taux sans risque r et R la recette finale. r est un taux annuel. On suppose pour simplifier que R est obtenue au bout d'un an. Si le projet n'est pas financé par l'emprunt, le profit est R - C et le surprofit est R - C - rC = R - C(1+r). Si le projet est financé par l'emprunt, le profit est R - (C-E) - E(1+r) = R - C - rE. rE est la partie du profit qui a été cédée pour rembourser l'emprunt. Le surprofit est le profit diminué des intérêts sur le coût initial : R - C -rE - r(C-E) = R - C - rC. Le surprofit n'est donc pas modifié par le mode de financement.

On peut faire varier le coût initial d'un projet de production sans faire varier son surprofit. Le coût initial n'est donc pas une grandeur pertinente pour évaluer la capacité à produire un surprofit. Le même projet de production crée le même surprofit quel que soit son mode de financement, donc quel que soit son coût initial, même si celui-ci est nul. Si le coût initial est nul, le profit est égal au surprofit.

Théorème : la valeur actuelle nette d'un projet sans risque n'est pas modifiée par son mode de financement.

Preuve : c'est un corollaire immédiat du théorème précédent, parce que la valeur actuelle nette d'un projet sans risque est la valeur actuelle de son surprofit.

On montrera plus loin que le théorème précédent peut être généralisé aux projets risqués.

Théorème : si on peut emprunter au taux sans risque, on peut toujours multiplier le taux de surprofit d'un projet par effet de levier.

Preuve : soit r le taux sans risque, p le taux de profit du projet. s=p-r est le taux de surprofit. Si on finance le projet en empruntant une fraction L des fonds avancés, le surprofit n'est pas modifié, mais le coût initial est multiplié par 1-L, le taux de surprofit est donc s/(1-L).

L'effet de levier permet donc d'obtenir un taux de profit aussi grand que l'on veut. Si on emprunte intégralement le coût initial du projet, il n'y a pas d'argent à avancer et le taux de profit est infini.

L'effet de levier, quand on peut en bénéficier, ressemble à une aubaine magnifique, puisqu'il permet d'augmenter le taux de profit autant qu'on veut. Si le projet n'est pas risqué, il n'y a pas de raison de se priver d'une telle aubaine. Mais les projets sont en général risqués. Si le taux de profit réalisé est inférieur au taux auquel on a emprunté, on doit supporter une perte, qui est d'autant plus importante qu'on a davantage emprunté. Se servir de l'effet de levier augmente donc le risque d'un projet et peut conduire à la faillite. C'est pourquoi on exige en général que les entreprises aient des fonds propres suffisants, qu'elles ne soient pas uniquement financées par l'emprunt. Ces fonds propres sont comme une sorte de coussin de sécurité, qui permet à l'entreprise de supporter d'éventuelles pertes (Admati & Hellwig 2013). Si une entreprise abuse de l'effet de levier, en ayant des fonds propres faibles par rapport à ce qu'elle emprunte, elle prend un risque de faillite et fait peser sur les prêteurs un risque de défaut. L'effet de levier est donc une façon d'augmenter le taux de profit espéré tout en augmentant les risques, et en se déchargeant d'une partie de ces risques sur les prêteurs.

Il est souhaitable, ne serait-ce que pour des raisons de justice sociale, pour que même les moins fortunés puissent entreprendre, que certains projets soient financés uniquement par l'emprunt, sans exiger de fonds propres initiaux, donc qu'ils bénéficient d'un effet de levier infini. Mais dans ce cas les prêteurs doivent savoir qu'ils prennent sur eux les risques du projet.

Les banques sont les premières bénéficiaires de l'effet de levier, parce qu'elles peuvent emprunter à un taux très faible, théoriquement nul, si les comptes bancaires ne sont pas rémunérés.

Le taux sans risque optimal

Le taux sans risque optimal est le plus petit taux auquel on peut emprunter aux conditions du marché, si on est un emprunteur sans risque. C'est aussi le plus grand taux auquel on peut prêter à un emprunteur sans risque, aux conditions du marché.

Les conditions du marché sont des conditions régulières, qui excluent les aubaines, et qui peuvent être répétées en principe autant qu'on le veut.

Emprunter à un taux plus petit que le taux sans risque optimal est une aubaine, parce qu'on peut prêter ce qu'on a emprunté à un taux plus élevé et bénéficier ainsi d'un effet de levier infini. De même, prêter à un taux plus grand que le taux sans risque optimal est une aubaine, si l'emprunteur est sans risque, et si on est soi-même un emprunteur sans risque, parce qu'on peut emprunter ce qu'on prête à un taux plus petit et bénéficier aussi d'un effet de levier infini.

Une aubaine ne peut pas être répétée autant qu'on le veut, sinon on pourrait gagner un profit illimité. Un taux de profit infini n'est pas impossible. Pour un projet sans risque, c'est une aubaine. Mais un profit infini, ou aussi grand qu'on le veut, n'est pas possible.

Comme les comptes bancaires ne sont pas rémunérés, on pourrait croire que les banques bénéficient en permanence d'un taux de profit infini, puisqu'elles peuvent emprunter à taux zéro. Mais elles n'empruntent pas vraiment à taux zéro. La distribution de billets, les chèques, et d'autres services, sont fournis gratuitement, ou presque, par les banques à leurs clients. Pour les banques, ce sont des coûts de l'argent emprunté à leurs clients, comme si elles devaient payer un intérêt.

Le taux sans risque optimal est le taux d'actualisation qu'il faut choisir pour évaluer tous les coûts et toutes les recettes de tous les projets, qu'ils soient risqués ou non, parce qu'il est un taux de change intertemporel pour les emprunteurs sans risque, qui peuvent placer de l'argent dans des projets risqués ou non.

Le calcul des risques

Les probabilités en économie

La théorie mathématique du risque est la théorie des probabilités. Elle a été conçue d'abord pour les jeux de hasard. Elle permet de calculer leurs gains moyens, et leurs risques, pourvu qu'il n'y ait pas de tricherie. Elle peut aussi être appliquée aux systèmes physiques qui contiennent un grand nombre de molécules. Leur mouvement aléatoire est brownien et ne peut pas tricher. Les probabilités sont dans la Nature.

Une économie n'est pas un casino. Les agents économiques ne sont pas en mouvement brownien. Quel sens peut-on alors donner aux probabilités en économie ?

On peut mesurer une probabilité quand une expérience aléatoire est reproductible. La précision de la mesure croît avec le nombre n de répétitions de l'expérience. Pour les systèmes physiques, n peut être aussi grand que le nombre de molécules, donc des milliards de milliards de milliards, parce que les molécules sont identiques. C'est pourquoi les mesures physiques probabilistes peuvent être très précises.

La précision d'une expérience est mesurée par la marge d'erreur relative, la marge d'erreur divisée par la grandeur mesurée. On peut montrer que la marge d'erreur relative est égale à l'inverse de la racine carrée de n, lorsque n est grand, pour une expérience aléatoire répétée n fois.

Les agents économiques sont tous différents les uns des autres. L'un n'est jamais la reproduction de l'autre. Les conditions dans lesquelles ils sont placés ne sont pas non plus reproductibles, parce que les temps changent, parce qu'on ne revient jamais en arrière. Il semble donc qu'en économie le nombre maximal de répétitions d'une expérience est égal à un. Ce n'est pas assez pour mesurer une probabilité.

Les agents économiques ne sont pas identiques mais ils sont parfois très semblables. Il en va de même pour les conditions dans lesquelles ils sont placés. Les probabilités économiques sont donc parfois mesurables, avec une précision qui dépend du nombre de répétitions de la mesure et de la plus ou moins grande ressemblance entre les diverses mesures. Souvent il faut se contenter d'estimations très imprécises.

La théorie mathématique est utile d'abord parce qu'elle nous apprend à raisonner sur les risques. Lorsque les probabilités sont mesurables, les modèles mathématiques peuvent être aussi de bons représentants de la réalité.

Comment compter le risque ?

Le risque d'un projet est mesuré par la dispersion de sa recette finale anticipée.

Une grandeur aléatoire X est définie avec des probabilités. S'il y a n résultats possibles X(i) où i varie de 1 à n, on attribue à chacun d'eux une probabilité p(X = X(i)) comprise entre 0 et 1, tous les deux inclus. Une probabilité égale à 1 veut dire que le résultat est certain, ou presque. Il est infiniment peu probable, que le résultat ne se produise pas. Si la probabilité est égale à zéro, le résultat est infiniment peu probable, presque impossible.

La somme sur tous les i des p(X=X(i)) est égale à 1, parce qu'il est certain que le résultat soit l'un des X(i).

La moyenne E(X), aussi appelée l'espérance de X, est la somme sur tous les i de p(X = X(i)) X(i).

La moyenne de la valeur absolue des écarts à la moyenne est une mesure de la dispersion, mais on lui préfère en général l'écart-type, la racine carrée de la moyenne des carrés des écarts à la moyenne, parce qu'il est souvent plus facile à calculer.

La variance var(X) est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne E( (X-E(X) )² ).

L'écart-type ect(X) est la racine carrée positive de la variance. var(X) = ect(X)². ect(X) = var(X)^(1/2).

L'écart-type mesure la dispersion d'une grandeur aléatoire mais il n'est pas l'unique indicateur du risque, parce que les écarts à la moyenne peuvent être dispersés de façons très différentes pour un même écart-type. La distribution des écarts à la moyenne, pas seulement leur écart-type, peut avoir une influence sur l'appréciation du risque. Mais dans la plupart des cas, l'écart-type est considéré comme une mesure suffisante du risque.

Le risque d'un projet est l'écart-type de sa recette finale anticipée.

Le profit est la différence entre la recette finale et le coût initial. Si le coût initial est fixé, l'écart-type du profit est égal à l'écart-type de la recette finale et est donc une mesure du même risque. Le surprofit est la différence entre le profit du projet et le profit qu'il aurait rapporté si son coût initial avait été placé au taux sans risque. Si le coût initial est fixé, l'écart-type sur le surprofit est donc égal à l'écart-type sur le profit et est lui aussi une mesure du même risque. On a donc prouvé :

Théorème : si son coût initial est fixé, le risque d'un projet est l'écart-type de son surprofit anticipé.

La compensation des risques

Les risques d'un projet peuvent être compensés par les risques d'un ou plusieurs autres projets. La réduction du risque par compensation est un exemple de création de valeur par composition des projets ou des options, parce que le risque doit être compté comme un coût.

Soit un jeu de tir à pile ou face. On peut parier sur pile en risquant 1 avec 1 chance sur 2 de gagner 2. Parier sur pile, c'est acquérir une option pour gagner 2. Le prix de cette option est 1. L'espérance de gain est 1=0.5x2 également. Selon la théorie financière, la valeur d'un projet n'est pas égale à son espérance de gain, il faut tenir compte du risque. Pour la même espérance de gain, un projet a d'autant moins de valeur qu'il est plus risqué. On devrait donc en conclure que le prix 1 pour parier sur pile et espérer gagner 2 est surévalué, puisque le projet est risqué, mais cette conclusion est fausse. On peut composer les projets. L'espérance de gain de plusieurs projets est la somme des espérances de gain de chacun d'entre eux. Si on parie sur pile et sur face en même temps, on obtient un projet sans risque pour gagner 2. Si les options de parier sur pile ou sur face coûtaient moins que 1, on pourrait les composer et obtenir un projet sans risque pour gagner 2 en payant moins que 2. De cette façon, on pourrait obtenir sans risque un profit sans limites à partir de n'importe quelle mise initiale, ce qui est impossible. Donc les options de parier sur pile ou face sont correctement évaluées par leur espérance de gain. On peut ignorer leur risque parce qu'il peut être compensé. Le risque de parier sur pile peut être compensé par le risque de parier sur face pour obtenir un projet sans risque.

On peut composer un portefeuille sans risque avec des options très risquées. Le rendement du portefeuille sans risque ainsi composé est la somme pondérée des rendements des actifs qui le composent. Si ces actifs avaient un rendement plus élevé que le rendement des actifs sans risque, le portefeuille sans risque ainsi composé aurait un rendement plus élevé que celui des autres portefeuilles sans risque, et on pourrait se faire un profit illimité, sans risque, simplement en vendant des portefeuilles sans risque et en achetant un portefeuille sans risque dont le rendement est plus élevé. Mais les marchés financiers ne permettent pas de se faire un profit illimité sans risque. Donc les actifs risqués doivent être évalués comme s'ils étaient sans risque, dés qu'ils peuvent faire partie d'un portefeuille sans risque. Pour évaluer un actif risqué, il faut tenir du compte du risque, mais pas du risque inhérent à l'actif, seulement du risque minimal d'un portefeuille dont l'actif est un composant, parce qu'on peut réduire les risques en composant des portefeuilles, parce qu'un risque peut être compensé par un autre risque. Un risque a un coût seulement s'il ne peut pas être compensé. Quand on évalue un actif financier, il faut tenir compte du risque irréductible. C'est le risque qui ne peut pas être réduit davantage en composant un portefeuille. Les options financières et les autres actifs doivent être évalués comme des actifs sans risque dès qu'ils peuvent faire partie d'un portefeuille sans risque, parce que leur risque peut être réduit à zéro.

Un projet, ou une option, ne doit pas être évalué comme s'il était isolé, séparé des autres projets, parce qu'alors on pourrait surestimer le coût du risque. Pour évaluer un projet, on doit évaluer le risque irréductible, on doit donc évaluer la contribution du projet à la valeur d'un projet optimal, composé de plusieurs projets dont les risques se compensent partiellement ou totalement, de façon optimale.

On diminue les risques en les diversifiant, pourvu qu'ils soient indépendants, ou peu dépendants. Lorsqu'un projet peut être répété plusieurs fois, on peut diminuer son risque si sa réussite à chaque fois est indépendante ou peu dépendante de sa réussite aux fois précédentes et aux fois suivantes.

La réduction des risques peut exiger du temps. Les risques présents peuvent être compensés par des risques pris à des temps ultérieurs. Les mauvaises années peuvent être compensées par de bonnes années.

Le travail d'une compagnie d'assurance est de réduire les risques en les compensant. Si elle ne réduit pas les risques, ou pas assez bien, elle est elle-même une entreprise risquée. Être assuré par une compagnie qui risque la faillite est à peu près comme ne pas être assuré du tout.

Indépendance, covariance et corrélation

Pour calculer la compensation des risques, il faut raisonner sur l'indépendance et la covariance entre des profits aléatoires.

Deux évènements A et B sont indépendants si et seulement si la probabilité de leur conjonction est le produit de leurs probabilités respectives, p(A et B) = p(A) p(B).

Deux grandeurs aléatoires X et Y sont indépendantes si et seulement si tous les évènements X = X(i) sont indépendants de tous les évènements Y = Y(j), p(X=X(i) et Y=Y(j)) = p(X=X(i)) p(Y=Y(j)), pour tout i et tout j.

La covariance entre deux grandeurs aléatoires mesure la corrélation entre les variations de l'une et les variations de l'autre. Si les variations de l'une ont en moyenne le même signe que les variations de l'autre, la covariance est positive. Si les variations de l'une ont en moyenne un signe opposé, la covariance est négative. Covariance positive veut dire que les grandeurs varient plus souvent dans le même sens qu'en sens contraire. Covariance négative veut dire qu'elles varient plus souvent en sens contraire que dans le même sens. Covariance nulle veut dire qu'elles varient aussi souvent dans le même sens qu'en sens contraire.

La covariance cov(X,Y) de deux grandeurs aléatoires est la moyenne des produits de leurs écarts à la moyenne E( (X-E(X))(Y-E(Y)) )

cov(X,Y) = somme sur tous les i et tous les j de p(X=X(i) et Y=Y(j))(X(i)-E(X))(Y(j)-E(Y)).

Théorèmes : pour toutes les grandeurs aléatoires X, Y, Z et tout nombre réel a,

cov(X,Y) = cov(Y,X)
cov(X,X) = var(X)
cov(X,a) = 0
cov(X,Y+Z) = cov(X,Y) + cov(X,Z)
cov(X,Y+a) = cov(X,Y)

cov(X,aY) = a cov(X,Y)

Preuves : elles résultent immédiatement de la définition de la covariance.

var(X+Y) = var(X) + 2cov(X,Y) + var(Y)

Preuve : var(X+Y) = cov(X+Y,X+Y) = cov(X,X) + 2cov(X,Y) + cov(Y,Y)

Théorème : si les grandeurs aléatoires X et Y sont indépendantes alors leur covariance est nulle.

Preuve : cov(X,Y) = somme sur tous les i et j de p(X=X(i))p(Y=Y(j))(X(i)-E(X))(Y(j)-E(Y)) = somme sur tous les i de p(X=X(i))(X(i)-E(X)) multiplié par la somme sur tous les j de p(Y=Y(j))(Y(j)-E(Y)) = 0, parce que la somme sur tous les i de p(Y=Y(j))Y((j) = E(Y) et la somme sur tous les j de p(Y=Y(j)) = 1.

Le coefficient de corrélation cor(X,Y) de deux grandeurs aléatoires X et Y est leur covariance divisée par le produit de leurs écarts-type, cov(X,Y)/(ect(X) ect(Y)).

Théorème : si le coefficient de corrélation entre deux grandeurs aléatoires X et Y est strictement plus petit que 1 alors le risque de leur somme X+Y est strictement plus petit que la somme de leurs risques.

Preuve : (ect(X+Y))² = var(X+Y) = var(X) + 2cov(X,Y) + var(Y) < var(X) + 2ect(X)ect(Y) + var(Y) si cor(X,Y) < 1. (ect(X) + ect(Y))² = var(X) + 2ect(X)ect(Y) + var(Y), donc (ect(X+Y))² < (ect(X) + ect(Y))² et ect(X+Y) < ect(X) + ect(Y).

En particulier, si X et Y sont risquées et indépendantes, le risque de leur somme est strictement plus petit que la somme de leurs risques.

Théorème : si le coefficient de corrélation cor(X,Y) entre deux grandeurs aléatoires X et Y est égal à 1 alors il existe deux nombres réels a et b, a > 0, tels que Y = aX +b presque toujours.

Un énoncé est vrai presque toujours, ou presque partout, lorsque sa probabilité est égale à 1.

Lemme : si var(X) = 0 alors X = E(X) presque toujours.

Preuve du lemme : si la probabilité que X est différent de E(X) n'est pas nulle, alors la probabilité que (X - E(X))² > 0 aussi, et var(X) > 0.

Preuve du théorème : soit a = ect(Y)/ect(X). var(Y - aX) = var(Y) - 2a cov(X,Y) + a²var(X) = 0 parce que cov(X,Y) = ect(X)ect(Y). Donc Y - aX = E(Y) - a E(X) presque toujours. D'où le théorème.

Lorsque Y = aX +b pour deux constantes a et b, on dit que Y est une fonction affine de X.

Dans la suite, on ne distinguera pas un énoncé vrai presque toujours d'un énoncé vrai tout court.

Les projets optimaux

Si une économie pouvait être divisée en de nombreux projets indépendants, tels que la réussite ou l'échec de l'un ne dépende pas de la réussite ou de l'échec des autres, alors il serait possible de compenser tous les risques, et d'obtenir pour l'économie dans son ensemble un risque presque égal à zéro. Mais les projets d'une même économie ne sont pas en général indépendants. La prospérité des uns dépend de la prospérité des autres. La ruine des uns peut entraîner la ruine des autres. C'est pourquoi il y a des risques qui ne peuvent pas être compensés. Les risques sont parfois irréductibles parce que les agents d'un même système économique sont interdépendants. Les risques irréductibles sont systémiques.

Un projet est optimal si et seulement si il a le risque le plus petit parmi tous les projets qui ont le même profit moyen et le même coût initial. Le risque d'un projet optimal est irréductible, au sens où il ne peut pas être réduit sans diminuer le profit moyen.

La définition précédente d'un projet optimal est équivalente à la suivante : un projet est optimal si et seulement si il a le profit moyen le plus grand parmi tous les projets qui ont le même risque et le même coût initial.

Les profits optimaux doivent être évalués avec des prix de marché, des prix moyens ou des prix ordinaires. Ils représentent les opportunités d'investissement disponibles pour l'économie dans son ensemble. S'il y a des aubaines, des prix très favorables par rapport aux prix ordinaires, il ne faut pas les compter quand on évalue les profits optimaux, parce qu'elles ne sont que des conditions particulières d'un agent qui a de la chance, et elles ne représentent pas l'économie dans son ensemble.

L'effet de levier sur un projet optimal

L'effet de levier fait varier le coût initial d'un projet en faisant varier sa recette finale. On pourrait espérer qu'il puisse transformer un projet sous-optimal en projet optimal, mais cet espoir est vain :

Théorème : si un projet est optimal, il reste optimal si on le finance partiellement ou totalement par un emprunt au taux sans risque, donc en profitant de l'effet de levier.

Preuve : l'emprunt diminue le profit moyen, parce qu'il faut rembourser les intérêts, mais il ne modifie pas la dispersion des profits, parce que les intérêts sont fixés d'avance. Donc le risque du projet n'est pas modifié par l'emprunt. Le surprofit n'est pas modifié par le mode de financement, et il est optimal pour le risque du projet. Le projet est donc optimal quel que soit son mode de financement.

Un projet risqué est représenté par une suite de coûts et de recettes aléatoires, tous datés, à partir desquels on peut calculer un coût initial, une recette finale, un profit et un surprofit tous aléatoires. Soit X la grandeur aléatoire qui représente le surprofit d'un projet risqué.

Théorème : si X est le surprofit aléatoire d'un projet dont le coût initial est C, alors X est aussi le surprofit aléatoire d'un projet dont le coût initial est D, quel que soit D.

Preuve : Si D < C, il suffit d'emprunter C - D au taux sans risque pour ramener le coût initial à D sans faire varier le surprofit. Si D > C, il suffit de prêter D - C au taux sans risque pour augmenter le coût initial de C à D sans faire varier le surprofit.

Si le coût initial est aléatoire, on peut le fixer à une valeur arbitraire, éventuellement nulle, en décidant d'emprunter tous les coûts qui ne sont couverts ni par cette somme initiale fixée d'avance, ni par des recettes.

Théorème : si X est le surprofit aléatoire d'un projet optimal dont le coût initial est C, alors X est aussi le surprofit aléatoire d'un projet optimal dont le coût initial est D, quel que soit D.

Preuve : c'est une conséquence immédiate des deux théorèmes précédents.

Un projet optimal est donc caractérisé seulement par son surprofit aléatoire, pas par son coût initial:

Théorème : un projet est optimal si et seulement si il a le risque le plus petit parmi tous les projets qui ont le même surprofit moyen.

Preuve : c'est une conséquence immédiate du théorème précédent.

La composition des projets optimaux

Théorème : si X est le surprofit aléatoire d'un projet optimal, alors aX est aussi le surprofit d'un projet optimal, si a > 0.

Preuve : si a < 1, il suffit d'acheter une part a du projet X pour obtenir un surprofit optimal aX. Si a > 1, il suffit d'augmenter la taille du projet X d'un facteur a.

Un projet est optimal pour les conditions du marché, qu'on suppose reproductibles de façon illimitée. C'est pourquoi on suppose que la taille d'un projet optimal peut toujours être augmentée. C'est une simplification théorique. Dans la réalité, il y a toujours des limites à l'augmentation de taille des projets.

Théorème : si X et Y sont les surprofits aléatoires de deux projets optimaux alors X + Y est aussi le surprofit aléatoire d'un projet optimal.

Preuve : si on achète X et Y, on obtient un projet dont le surprofit aléatoire est X+Y. Si le risque de X + Y était plus petit que la somme des risques de X et de Y, on pourrait réduire les risques de X et Y en les réunissant et en partageant leur risque commun et X et Y ne seraient pas des surprofits optimaux. Donc le risque de X + Y ne peut pas être plus petit que la somme des risques de X et de Y et ne peut donc pas être réduit.

La corrélation entre tous les projets optimaux

Théorème : deux projets optimaux risqués ne peuvent pas être indépendants.

Preuve : s'ils étaient indépendants, on pourrait réduire les risques en les réunissant. Or des projets optimaux ont un risque qui ne peut pas être réduit. Donc ils ne sont pas indépendants.

En particulier, la répétition d'un même projet optimal risqué ne permet pas de réduire son risque parce que les projets successifs ne sont pas indépendants les uns des autres.

La dépendance entre projets optimaux est très forte. Tous les projets optimaux sont très étroitement corrélés :

Théorème : les surprofits des projets risqués optimaux sont tous des multiples strictement positifs d'une même grandeur aléatoire.

Preuve : soient X et Y les surprofits de deux projets optimaux risqués. Le risque ect(X+Y) de leur somme est égal à la somme ect(X) + ect(Y) de leurs risques, sinon les réunir réduirait le risque et ils ne seraient pas optimaux. Donc cor(X,Y) = 1. Donc Y = aX + b, où a et b sont des constantes, et a > 0. Y et aX sont tous les deux des surprofits optimaux, donc b = 0. Les surprofits des projets optimaux risqués sont tous des multiples les uns des autres, donc tous des multiples d'un seul d'entre eux. D'où le théorème.

Ce théorème est très étonnant, presque incroyable, et on peut même avoir peur qu'il conduise à des absurdités. Les projets optimaux peuvent être réalisés en des lieux et à des dates différentes. Or il suffit de connaître la recette finale d'un seul projet optimal, pour connaître la recette finale de tous les projets optimaux. Par exemple, la recette finale d'un projet optimal qui se termine ici et maintenant devrait suffire pour connaître les recettes finales des projets optimaux présents ou à venir partout dans le monde. Réaliser un seul projet optimal devrait donc être comme une boule de cristal qui permettrait de prévoir les résultats de tous les projets optimaux présents et à venir. Mais alors ces projets ne seraient plus risqués puisque leurs recettes finales seraient connues d'avance. Réaliser un seul projet optimal et observer son résultat devrait donc suffire pour réduire tous les risques à zéro, et on n'aurait plus besoin de la théorie du risque et des compagnies d'assurance.

On ne peut pas trouver cette boule de cristal parce qu'on ne peut jamais savoir si un projet risqué est optimal. On ne peut pas le savoir avant de le réaliser, parce que les probabilités des recettes finales ne peuvent pas être connues avec précision. On ne peut pas non plus le savoir après l'avoir réalisé, pour la même raison.

Quand on estime le risque pour identifier un projet optimal, on ne peut pas conclure qu'il est vraiment optimal, parce que nos estimations ne sont jamais assez précises, on peut seulement conclure qu'il n'est peut-être pas très différent d'un projet optimal.

L'existence d'une unique grandeur aléatoire représentative de tous les projets risqués optimaux est une conséquence du modèle mathématique. Il suppose que toutes les probabilités de tous les évènements sont exactement définies par avance, comme si toutes les probabilités étaient écrites d'avance avec un nombre infini de décimales. Une telle exactitude des probabilités ne peut pas exister dans la réalité, parce que rien n'est jamais exactement reproductible. C'est pourquoi un unique projet risqué optimal qui représente tous les autres ne peut pas exister dans la réalité. Il n'a qu'une existence mathématique.

Même si elle n'existe que d'une façon mathématique, l'unique grandeur aléatoire représentative de tous les projets risqués optimaux a une signification réaliste. Elle veut dire que les agents qui réalisent des projets risqués optimaux sont tous dans le même bateau. Ils gagnent tous ensemble ou ils perdent tous ensemble, mais les pertes des uns ne peuvent pas être compensées par les gains des autres, sinon le risque serait réductible.

Quand on parie contre le risque irréductible, on parie sur la réussite de tous ceux qui parient également contre le risque irréductible, on est donc tous solidaires, on ne joue pas les uns contre les autres. On est incité à parier si on croit qu'on va réussir tous ensemble. On est dissuadé de parier si on croit qu'on va perdre tous ensemble. L'incitation à réaliser des projets optimaux risqués repose sur la solidarité entre tous ceux qui prennent des risques et leurs espoirs.

Quand on parie contre un risque irréductible, on acquiert un droit sur une part des bénéfices de la réussite collective espérée, mais on s'engage en même temps à subir une part des pertes, si c'est un échec collectif.

Les preneurs de risque sont ceux qui ont les moyens d'avancer de l'argent, donc les capitalistes. Pour optimiser leurs placements, ils ont intérêt à être tous solidaires, donc à penser comme des socialistes ou des communistes. On a donc prouvé :

Théorème : pour être de bons financiers, il faut penser comme des communistes.

Le risque et le temps

Le temps peut avoir plusieurs effets sur le risque :

Le temps peut augmenter le risque, parce qu'il faut du temps pour faire des profits. Plus le temps passe, plus les profits peuvent augmenter, plus leur dispersion également, donc le risque augmente.
Les risques présents peuvent être compensés par des risques à venir. Le passage du temps permet donc de réduire le risque par compensation intertemporelle : les bonnes années compensent les mauvaises années.
Plus un projet est éloigné dans le temps, plus il est difficile d'anticiper sa recette finale. Donc la recette d'un projet est plus risquée si elle est plus éloignée dans le temps. Cet éloignement de la recette finale est réduit quand le temps passe. Donc le passage du temps réduit le risque en réduisant les incertitudes.

Pour évaluer les risques, on doit estimer des probabilités en tenant compte de toutes les informations disponibles.

Un projet est relativement optimal lorsqu'il est optimal pour des probabilités données.

Un portefeuille est géré dynamiquement lorsque sa composition est modifiée au cours du temps.

Un portefeuille est statique si sa composition est constante.

De nouvelles informations arrivent à chaque instant et peuvent nous conduire à améliorer nos estimations des probabilités et à réduire les incertitudes. Les projets relativement optimaux peuvent donc changer au cours du temps. Plus le temps passe, meilleure est notre appréciation des projets optimaux et plus on est capable de réduire les risques. Si on ne gère pas un projet dynamiquement, on néglige cette possibilité de réduction du risque et on risque donc de perdre davantage d'argent. Un portefeuille ou un projet doit donc être géré dynamiquement pour rester relativement optimal.

Le coût et le bénéfice du risque

Le coût du risque

Quand un projet est risqué, les investisseurs exigent une compensation pour la prise de risque, sous la forme d'un surprofit, c'est à dire un excès de son profit par rapport au profit qu'on aurait obtenu si on avait placé son argent au taux d'intérêt sans risque.

Le coût du risque est le surprofit moyen optimal qu'on peut obtenir pour un risque donné.

La variation du surprofit moyen d'un projet optimal en fonction du risque permet de mesurer le coût du risque : le coût du risque est le surprofit moyen exigé pour compenser le risque.

Théorème : le coût du risque est proportionnel au risque.

Preuve : supposons que la propriété d'un projet optimal soit partagée entre plusieurs actionnaires qui se partagent les profits. L'écart-type sur le surprofit est partagé entre tous les actionnaires de la même façon que le surprofit. La compensation reçue par chaque actionnaire est donc proportionnelle au risque qu'il a pris sur lui, parce que le risque peut être mesuré par l'écart-type du surprofit.

Le coût du risque divisé par le risque est donc une constante k. On a donc prouvé :

Théorème : il existe une constante k de prix du risque telle que kR est le coût du risque R.

Cette constante de prix du risque est sans dimension, parce que l'écart-type sur le profit a la même dimension que le surprofit. Le risque et le coût du risque sont mesurés en dollars, si l'unité monétaire est le dollar. On montrera plus loin que la constante de prix du risque k est nécessairement inférieure à 1. Est-elle vraiment constante et universelle ? Non, parce que l'attitude vis à vis du risque et la compensation exigée pour un même risque peut varier au cours du temps. Est-elle la même pour toutes les entreprises et tous les projets ? Pas nécessairement, parce que l'écart-type n'est pas la seule condition qui caractérise un risque. Des projets différents peuvent avoir des distributions de profits et de pertes très différentes tout en ayant le même écart-type du profit. Ces différences de distribution peuvent avoir une influence sur la perception du risque et l'exigence d'une compensation. Mais l'écart-type du profit peut être considéré comme une bonne mesure du risque pour la plupart des projets. C'est pourquoi la constante de prix du risque k peut être considérée comme la même pour tous les projets et toutes les entreprises.

Il suffit de connaître les profit moyens d'un projet optimal sans risque et d'un projet optimal risqué pour calculer la constante de prix du risque k et à partir de là les coûts de tous les risques et donc la valeur de tous les projets. Un projet optimal sans risque et un projet optimal risqué sont comme des étalons de mesure à partir desquels on peut mesurer la valeur de tous les projets, qu'ils soient optimaux ou non.

Combien vaut k ? Le taux d'actualisation est le taux optimal de profit sans risque. 2 ou 3% annuel sont des valeurs réalistes, peut-être plus, jusqu'à 4 ou 5%, si les propriétaires sont très avantagés, peut-être moins, en période de récession. Un taux de profit moyen de 10% annuel avec un écart-type de 15% est représentatif d'une entreprise bien gérée qui prend des risques tout en restant prudente. Avec un taux d'actualisation de 2 ou 3% annuel, cela fait un taux de surprofit de 7 ou 8%, pour un risque de 15%. Si on estime que ces valeurs représentent un risque irréductible pour un projet optimal, k vaut à peu près 1/2.

L'actualisation du coût du risque

Le coût du risque est kR si l'écart-type de la recette finale est R. Ce coût est évalué le jour de clôture du projet. Pour calculer la valeur anticipée du projet, il faut actualiser ce coût le jour du lancement.

Théorème : le coût du risque doit être actualisé avec le même taux d'actualisation que les autres coûts et les recettes.

Preuve : si on place des recettes finales au taux sans risque, on obtient avec un délai de nouvelles recettes finales qui ont simplement été multipliées par un même facteur d'actualisation. L'écart-type sur les recettes finales est donc lui-aussi multiplié par ce même facteur d'actualisation. Puisqu'on n'a pas pris de nouveau risque, le coût du risque anticipé ne doit pas être modifié. D'où le théorème.

Deux erreurs courantes sur le coût du risque

On évalue parfois le coût du risque en modifiant le taux d'actualisation utilisé pour calculer la valeur du projet. Cette façon de calculer semble sensée pour ceux qui l'utilisent, parce que le taux d'actualisation est évalué à partir des obligations zéro coupon sans risque. Ils en concluent qu'un autre taux d'actualisation doit être utilisé pour les projets risqués. Mais ce raisonnement est insensé. On se sert du même taux d'actualisation pour évaluer les coûts et les recettes. Il n'y a pas de sens à dévaluer des pertes parce qu'elles sont risquées. Des pertes risquées ne coûtent pas moins mais plus que des pertes non-risquées égales en moyenne, parce qu'elles augmentent le risque d'un projet. Le taux d'actualisation dépend des conditions de l'ensemble de l'économie à une date donnée, pas des projets qu'il sert à évaluer. Tous les coûts et toutes les recettes de tous les projets, qu'ils soient risqués ou non, doivent être évalués avec le même taux d'actualisation.

On évalue parfois le risque et son coût avec l'écart-type du taux de profit annuel, parce que cet écart-type ressemble à une bonne mesure du risque. Mais un tel calcul du coût du risque n'est pas exact. Un exemple : soit un projet sur deux ans qui a un taux de surprofit sur deux ans égal à 60% ou -20% avec des probabilités égales. Le taux de surprofit moyen est 20% sur deux ans. L'écart-type est 40% donc ce projet est optimal si k = 1/2. Soit r = 2% le taux d'actualisation annuel. La taux de profit sur deux ans est donc 64.04% ou -15.96%. 64% biannuel est 1.64^(1/2) - 1 =28.1% annuel. -16% biannuel est (0.84)^(1/2) - 1 = -8.3%. Le taux de surprofit annuel est donc 26.1% ou -10.3% avec des probabilités égales. Le taux de surprofit annuel moyen est (26.1-10.3)/2 = 7.9 % et l'écart-type sur le taux de surprofit annuel est(26.1+10.3)/2 = 18.2 %. Les taux de profit et de surprofit diffèrent seulement par une constante, donc ils ont le même écart-type. Si on évaluait le risque avec l'écart-type du taux de profit annuel, on en conclurait que ce projet est sous-optimal, alors qu'il est optimal. L'écart-type du taux de profit annuel n'est donc pas une bonne mesure du risque pour un projet qui dure plusieurs années.

La valeur anticipée des gains et des pertes aléatoires

Le prix du risque permet de calculer la valeur des gains ou des pertes aléatoires dont le risque est irréductible. La valeur d'un gain aléatoire est le gain moyen diminué du coût du risque. La valeur d'une perte aléatoire est la perte moyenne augmentée du coût du risque :

Soit un gain de 100 avec une probabilité 1/2, donc un gain moyen de 50. L'écart-type du gain, donc le risque, est égal à 50. Si la constante de prix du risque est k, le coût de ce risque est 50k, puisque le risque de 50 est supposé irréductible. La valeur de ce gain aléatoire est donc égale à 50(1-k) si son risque est irréductible.
Soit une perte de 100 avec une probabilité 1/2, donc une perte moyenne de 50. L'écart-type de la perte, donc le risque, est égal à 50. Le coût de ce risque est 50k. La valeur de cette perte aléatoire est donc égale à 50(1+k) si son risque est irréductible.

Si k = 1/2, une chance sur deux de gagner 100 coûte 25 pour celui qui joue contre un risque financier irréductible. Au jeu de pile ou face, cette chance coûte 50. A la loterie nationale, elle coûte 100. Ceux qui aiment prendre des risques ont donc intérêt à jouer contre les risques financiers irréductibles.

Théorème : la constante k de prix du risque est toujours strictement inférieure à 1.

Preuve : si k était égale à 1, un gain moyen non-nul sans risque de perte aurait une valeur nulle, comme si un ticket de loterie pouvait être gratuit. On pourrait donc bénéficier d'un profit illimité sans prendre le risque de perdre le moindre sou. Un tel profit n'est pas permis par les lois de la finance. Si k est strictement supérieure à 1, un gain moyen non-nul sans risque de perte aurait une valeur négative. Cela veut dire qu'on pourrait être payé pour l'accepter, ce qui est impossible.

Le bénéfice du risque

Le risque est compté comme un coût lorsqu'on compare des projets qui ont le même profit moyen. Mais il peut aussi être compté comme un bénéfice si on compare des projets optimaux qui ont le même coût initial, parce qu'alors, plus le risque est élevé, plus le profit moyen est élevé. Le risque est aussi un bénéfice si on considère un projet optimal dont le coût initial est nul. Un tel projet est possible lorsqu'on peut emprunter au taux sans risque pour financer intégralement un projet risqué. On bénéficie alors d'un effet de levier infini.

Supposons que le taux d'actualisation est de 2% annuel, et que la constante k de prix du risque est de 0.5. Cela veut dire qu'un écart-type de 1 sur le profit doit être compensé par une augmentation de 0.5 du profit moyen. Soit un projet qui coûte 100 aujourd'hui et dont l'unique recette est 126 ou 94 dans un an, chacune avec la même probabilité 1/2. Le profit moyen est 10. L'écart type du profit est 16. Le surprofit moyen est 8. Ce projet risqué est optimal, parce qu'on a compensé un risque égal à 16 par une augmentation de 16k = 8 du profit moyen. Une telle compensation justifie la prise de risques.

Supposons qu'on puisse emprunter 100 au taux sans risque pour financer le projet risqué précédent. On doit rembourser 102 dans un an. On a donc une chance sur deux de gagner 24 et une chance sur deux de perdre 8. C'est comme jouer à pile ou face à 3 contre 1.

La côte de 3 contre 1 dépend de la constante k=0.5 de prix du risque, mais elle est toujours supérieure à 1 contre 1 pour un projet risqué optimal, dès que le coût du risque est supérieur à zéro.

Soit un projet qui coûte 100 aujourd'hui et dont l'unique recette est 118 + 16k ou 86 + 16k dans un an, chacune avec la même probabilité 1/2. Le profit moyen est 2 + 16k. L'écart-type du profit est 16. Le surprofit moyen est 16k. Ce projet est optimal parce qu'on a compensé un risque égal à 16 par une augmentation de 16k du profit moyen. Si on emprunte 100 au taux sans risque pour financer le projet précédent, on a une chance sur deux de gagner 16 + 16k et une chance sur deux de perdre 16 - 16k. On joue donc à 1+k contre 1-k, donc à (1+k)/(1-k) contre 1, avec des probabilités égales. Cette cote ne dépend que de la constante k de prix du risque, pas du taux d'actualisation. On a donc prouvé :

Théorème : si la constante de prix du risque est k, on peut jouer à (1+k)/(1-k) contre 1 avec des probabilités égales.

Seul le risque irréductible rapporte un tel bénéfice. Si le risque peut être réduit à zéro, comme dans un jeu de pile ou face ordinaire, la côte de pile contre face doit être de 1 contre 1, sinon l'un des joueurs est lésé.

Un risque irréductible est pris contre la fatalité. Il n'y a pas d'autre contrepartie.

Lorsqu'on peut jouer à (1+k)/(1-k) contre 1 avec des probabilités égales, on ne peut pas répéter plusieurs fois le jeu pour augmenter les bénéfices tout en diminuant les risques, parce qu'alors on réduirait le risque. Or on a supposé que le risque était irréductible.

La valeur d'un projet risqué

Seul le risque irréductible a un coût

Pour évaluer le coût du risque d'un projet qui n'est pas optimal, il ne faut pas tenir compte de son risque intrinsèque, parce celui-ci peut être réduit sans coût, s'il est compensé par d'autres risques. Si on vendait un projet risqué en ignorant cette possibilité de réduction, l'acheteur ferait un gain au détriment du vendeur, simplement en compensant le risque.

Le coût du risque d'un projet est le coût de son risque irréductible. Si le risque est intégralement compensable, il peut être annulé et n' a alors aucun coût. Seul le risque irréductible a un coût.

Le coût du risque d'un projet est le surprofit moyen d'un projet optimal qui a le même risque irréductible et le même coût initial.

La valeur d'un projet le jour de son lancement est la valeur actuelle ce jour de sa recette finale moyenne diminuée du coût de son risque irréductible.

Comment mesurer les risques irréductibles ?

Si un projet est optimal, son risque irréductible est son risque. Mais si un projet n'est pas optimal, son risque n'est pas irréductible. Comment alors mesurer son risque irréductible ?

On réduit le risque en le compensant par d'autres risques, donc en intégrant un projet risqué à un plus grand projet. Les projets ainsi réunis sont comme les composants d'un portefeuille. On réduit les risques au maximum en incorporant un projet à un portefeuille optimal.

Si un projet peut être une part d'un portefeuille optimal qui a le même taux de surprofit moyen, son risque irréductible est sa part du risque irréductible du portefeuille optimal, donc le risque du portefeuille optimal multiplié par le coût initial du projet divisé par le coût initial du portefeuille.

Mais un projet peut aussi avoir un taux de surprofit moyen différent du portefeuille optimal dont il est un composant. Comment alors lui attribuer sa part du risque du portefeuille ?

Pour que la valeur du portefeuille optimal soit la somme des valeurs de ses composants, il faut que que son risque soit la somme des risques irréductibles attribués à chacun de ses composants.

Soient deux projets dont les surprofits sont X et Y. On suppose que X+Y est le surprofit d'un portefeuille optimal et que son risque est R.

Si E(X+Y) > 0, le risque irréductible de X dans X+Y est R E(X)/E(X+Y) et celui de Y est R E(Y)/E(X+Y).

Si E(X+Y) = 0 alors les risques irréductibles de X et Y sont égaux et opposés, parce qu'un projet optimal dont le surprofit moyen est nul est sans risque.

Puisque le risque est un écart-type, il est toujours un nombre positif. Mais si on répartit le risque d'un projet optimal sur ses divers composants, ceux-ci reçoivent une part négative si leur surprofit moyen est négatif. C'est pourquoi le risque irréductible d'un projet peut être négatif. Réduire un risque négatif est augmenter sa valeur absolue. Le coût d'un risque négatif est négatif. Cela veut dire qu'il n'est pas un coût mais un bénéfice.

Théorème : le risque irréductible de X ne dépend pas du portefeuille optimal X +Y dans lequel il est mesuré.

Preuve : soient X + Y et X + Z deux portefeuilles optimaux. X + Z = a(X + Y) où a >= 0. Si E(X+Y) > 0, Rx = E(X)/E(X+Y) ect(X+Y). Si a > 0, Rx = a E(X)/E(X+Z) ect(X+Z)/a = E(X)/E(X+Z) ect(X+Z). Si a = 0, Z = -X et le risque irréductible Rx de X est égal et opposé à celui Rz de Z. Rx = - Rz. Soit W tel que Z + W est optimal et E(Z + W) > 0. Il existe b > 0 tel que Z + W = b(X + Y). Rz = E(Z)/E(Z + W) ect(Z + W) = -b E(X/E(X+Y) ect(X + Y)/b = -E(X)/E(X+Y) ect(X + Y), donc égal à -Rx quand Rx est mesuré dans X + Y, comme il se doit. Si E(X + Y) = 0 et a > 0, les rôles de Y et Z sont inversés, mais la preuve est la même. Si E(X + Y) = 0 et a = 0, alors Y = Z = -X, et Rx = - Ry = -Rz. D'où le théorème.

L'existence des risques négatifs pose une difficulté pour la définition des projets optimaux. Réduire un risque négatif peut vouloir dire le réduire en valeur absolue ou au contraire l'augmenter en valeur absolue. Un projet dont le risque est négatif n'est jamais optimal au premier sens, parce qu'on peut augmenter son surprofit moyen en réduisant son risque en valeur absolue, mais il peut être optimal au second sens, parce qu'on ne peut pas augmenter son risque en valeur absolue sans diminuer son surprofit moyen. On peut donc raisonner sur des projets à risque négatif optimal.

Un projet est à risque négatif optimal lorsque son risque irréductible est négatif et ne peut pas être augmenté en valeur absolue sans diminuer le surprofit moyen du projet.

Les projets à risque négatif optimal sont très paradoxaux, très différents des projets optimaux à risque positif, et ils ne sont pas optimaux si on entend la réduction des risques en son sens ordinaire, où le risque est toujours positif, parce qu'il est un écart-type.

Un projet ne peut pas être incorporé à un portefeuille optimal si son coût initial est trop élevé, parce que tout portefeuille qui le contiendrait serait sous-optimal. Si son coût initial est trop faible, il est une aubaine, et ne peut pas être incorporé à un portefeuille optimal, parce que ceux-ci excluent les aubaines.

Le risque d'un projet ne dépend pas de son coût initial, s'il est fixé d'avance. Le risque irréductible n'en dépend pas non plus. On peut faire varier le coût initial d'un projet sans faire varier son risque et trouver ainsi un coût initial tel que le projet puisse être incorporé à un portefeuille optimal.

Le risque irréductible d'un projet est le risque irréductible du projet qui a les mêmes recettes finales et dont le coût initial a été ajusté pour pouvoir faire partie d'un portefeuille optimal.

Tous les projets peuvent être répartis en trois catégories, selon que leur risque irréductible est positif, nul, ou négatif. Soit X le surprofit d'un projet et X° le surprofit du même projet lorsqu'on a ajusté son coût initial pour qu'il puisse faire partie d'un portefeuille optimal. Le risque irréductible de X est positif si E(X°) > 0, nul si E(X°) = 0, et négatif si E(X°) < 0.

Théorème : la valeur absolue du risque irréductible d'un projet dont le surprofit est X est égale au risque d'un projet optimal dont le surprofit moyen est égal à |E(X°)|.

Preuve : soit Y le surprofit d'un projet tel que X°+Y est le surprofit d'un projet optimal. Soit R le risque de X°+Y. R = ect(X°+Y). Soit Rx et Ry les risques irréductibles de X et Y respectivement.

Si E(X°) > 0 ou < 0, Rx = R E(X°)/E(X°+Y). |E(X°)|/E(X°+Y) (X°+Y) est un projet optimal dont le surprofit moyen est |E(X°)| et son risque est R |E(X°)|/E(X°+Y), donc égal à |Rx|.
Si E(X°) = 0, Rx = 0. Le risque de X°+Y est nul. X°+Y est le surprofit d'un projet optimal sans risque, donc E(X°+Y) = 0 = E(X°).

Théorème : si on augmente un risque irréductible négatif en valeur absolue sans diminuer le profit moyen, on augmente la valeur d'un projet.

Preuve : la valeur d'un projet est la valeur de son surprofit moyen moins le coût du risque irréductible. Si le risque irréductible est négatif, le coût du risque est négatif et augmente donc la valeur du projet.

La valeur actuelle nette d'un projet risqué

La valeur actuelle nette d'un projet risqué est sa valeur nette de son coût initial.

Comme pour les projets sans risque, si la valeur actuelle nette d'un projet risqué est inférieure à zéro, il semble qu'il faut refuser le projet, parce qu'il ne mérite pas son coût initial. Cette règle doit être appliqué avec souplesse, parce que les risques et leurs coûts sont souvent difficiles à mesurer. Il faut alors se contenter d'estimations grossières. Si la valeur actuelle nette d'un projet risqué est égale à zéro, le projet est correctement évalué par son coût initial. Si la valeur actuelle nette d'un projet risqué est supérieure à zéro , le projet est une aubaine, parce que sa valeur est supérieure à son coût initial.

La valeur actuelle nette d'un projet risqué n'est pas la valeur actuelle de son surprofit moyen, parce qu'il faut tenir compte du coût du risque irréductible :

Théorème : la valeur actuelle nette d'un projet risqué est la valeur actuelle de son surprofit moyen moins le coût de son risque irréductible. Si X est le surprofit, Rx le risque irréductible de X et k la constante de prix du risque, VAN(X) = E(X) - k Rx.

Preuve : la valeur actuelle nette d'un projet risqué est la valeur actuelle de sa recette finale moyenne moins le coût de son risque irréductible moins le coût initial. Le surprofit moyen est la différence entre la recette finale moyenne et la valeur, le jour de clôture du projet, du coût initial. La valeur actuelle, le jour de lancement du projet, du surprofit moyen, est donc la différence entre la valeur actuelle de la recette finale moyenne et le coût initial. D'où le théorème.

Théorème : la valeur actuelle nette d'un projet n'est pas modifiée par son mode de financement.

Preuve : quand on se sert de l'effet de levier, on ne modifie pas le surprofit d'un projet, on ne modifie donc ni son surprofit moyen, ni son risque irréductible.

Théorème : la valeur actuelle nette d'une somme de projets est la somme des valeurs actuelles nettes des projets composants.

Preuve : ce théorème a déjà été prouvé pour les projets sans risque. Soient X et Y les surprofits de deux projets, risqués ou non. Le risque irréductible de X+Y est la somme des risques irréductibles de X et Y. La moyenne de la valeur actuelle nette de X+Y est la somme des moyennes des valeurs actuelles nettes de X et de Y. Donc la valeur actuelle nette de X+Y est la somme des valeurs actuelles nettes de X et de Y. En raisonnant par récurrence, on établit ce théorème pour un nombre quelconque de projets composants.

Pour calculer la valeur actuelle nette d'une somme de projets, il faut avoir pris en compte au préalable l'effet de création de valeur par composition, parce que les coûts initiaux et les recettes finales des divers projets peuvent dépendre de l'existence des autres projets.

Théorème : la valeur actuelle nette d'un projet optimal est nulle.

Preuve : le risque d'un projet optimal est son risque irréductible et il est exactement compensé par le surprofit moyen.

La réciproque n'est pas vraie pour un projet risqué. Un projet risqué peut avoir une valeur actuelle nette nulle sans être optimal, si son risque n'est pas irréductible.

Lemme : si un projet peut faire partie d'un portefeuille optimal alors sa valeur actuelle nette est nulle.

Preuve : soient X et Y les surprofits de deux projets risqués tels que X+Y est un projet optimal. Si la valeur actuelle nette VAN(X) > 0, le surprofit moyen E(X) > k Rx, où Rx est le risque irréductible de X, et X serait une aubaine. Si VAN(X) < 0, E(X) < k Rx. R = Rx +Ry. E(X+Y) = k R = k Rx + k Ry = E(X) + E(Y) donc E(Y) > k Ry, et Y serait une aubaine. Or un portefeuille optimal ne doit pas contenir d'aubaine. Donc la valeur actuelle nette de chacune de ses parts est nulle.

En particulier, si X° est le surprofit d'un projet X dont on a ajusté le coût initial pour qu'il puisse faire partie d'un portefeuille optimal, la valeur actuelle nette du projet X° est nulle.

Théorème : Si X est le surprofit d'un projet et X° = X + C le surprofit du même projet lorsqu'on a ajusté son coût initial pour qu'il puisse faire partie d'un portefeuille optimal, alors la valeur actuelle nette de X est la constante -C.

Preuve : la valeur actuelle nette de X est celle de X° moins C, donc égale à -C, parce que la valeur actuelle nette de X° est nulle.

Théorème : la valeur actuelle nette d'un projet est nulle si et seulement si il peut faire partie d'un projet optimal.

Preuve : si la valeur actuelle nette d'un projet de surprofit X est nulle, alors X = X° et peut donc faire partie d'un projet optimal. La réciproque a déjà été prouvée.

La vente à découvert

Soit un projet P défini par un coût initial fixé C et une recette finale aléatoire R. Vendre P à découvert est le vendre après l'avoir emprunté avec le devoir de le restituer. R est la valeur finale de P, donc aussi la somme qu'on doit payer pour le restituer. C est le prix qu'il faut payer pour acquérir P, donc aussi la somme qu'on reçoit si on le vend à découvert. Vendre P à découvert est donc le projet qui a une recette initiale fixée d'avance C et un coût final aléatoire R. Une recette initiale peut être considérée comme un coût initial négatif, et un coût final comme une recette finale négative. Vendre P à découvert est donc le projet -P dont le coût initial est -C et la recette finale -R.

Théorème : si X est le surprofit d'un projet P, -X est le surprofit du projet -P de vendre P à découvert.

Preuve : X = R - C(1+r)^t où r est le taux d'actualisation et t la durée du projet. -X = -R - (-C)(1+r)^t est donc le surprofit du projet dont le coût initial est -C et la recette finale -R.

Théorème : le risque de la vente à découvert d'un projet P est égal au risque de P.

Preuve : R = ect(X) = ect(-X) est à la fois le risque de P et le risque de la vente à découvert de P.

Théorème : la valeur actuelle nette de la vente à découvert d'un projet P est égale et opposée à la valeur actuelle nette du projet P.

Preuve : soit X le surprofit de P. VAN(X-X) = VAN(0) = 0 = VAN(X) + VAN(-X). Donc VAN(X) = -VAN(-X)

Si on achète P en payant son coût initial en même temps qu'on le vend à découvert, on réalise un projet sans risque qui a un coût initial nul et un surprofit nul, il a donc une valeur actuelle nette nulle.

Théorème : le risque irréductible de la vente à découvert d'un projet P est égal et opposé au risque irréductible du projet P.

Preuve : VAN(X) = E(X) - k Rx. VAN(-X) = E(-X) - k Rx-, où Rx- est le risque irréductible de -X. Rx- = ( E(-X) - VAN(-X) )/k = ( -E(X) + VAN(X) )/k = -Rx.

Théorème : un projet est à risque négatif optimal si et seulement si il est équivalent à la vente à découvert d'un projet optimal.

Preuve :

si un projet est équivalent à à la vente à découvert d'un projet optimal alors son surprofit X est tel que -X est le surprofit d'un projet optimal et son coût initial est -C où C est le coût initial de ce projet optimal. Si Y est le surprofit d'un projet P à risque négatif qui a le même coût -C, la vente à découvert de P a un coût C et un surprofit -Y. Comme X est optimal, -E(X) > -E(Y), donc E(X) < E(Y). E(X) = k Rx et E(Y) = k Ry, donc Rx < Ry et |Rx| > |Ry|. Donc tous les projets à risques négatifs qui ont le même coût initial que X ont un risque irréductible plus petit que celui de X en valeur absolue. Donc X est à risque négatif optimal.
si X est le surprofit d'un projet à risque négatif optimal dont le coût initial est C et le risque irréductible Rx, alors -X est le surprofit de la vente à découvert de ce projet et son risque irréductible est -Rx. Le coût initial de cette vente à découvert est -C. Soit Y le surprofit d'un projet P qui a le même coût -C. -Y est le surprofit de la vente à découvert de P et a le même coût C que X. Comme X est à risque négatif optimal, le risque irréductible Ry- de -Y est plus petit en valeur absolue que celui de X : Rx < Ry-. Donc Ry = -Ry- > -Rx. Donc -X est un projet optimal. Donc X est équivalent à la vente à découvert d'un projet optimal.

L'espace vectoriel des projets

Théorème: tous les projets forment un espace vectoriel.

Preuve : un projet est identifié à la variable aléatoire de son surprofit. La somme de deux projets X et Y est le projet dont le surprofit est X+Y, donc la réunion des projets X et Y. Le projet aX est l'acquisition de a parts du projet X si a est positif ou la vente à découvert de |a| parts du projet X si a est négatif. L'espace de tous les projets est donc un espace vectoriel.

Les surprofits de tous les projets, quels que soient leurs dates et leurs durées, doivent tous être évalués, c'est à dire actualisés, le même jour, pour qu'on puisse les comparer et les additionner.

Théorème : dans l'espace vectoriel des projets, le vecteur nul représente un projet sans risque dont le profit est celui obtenu si on avait placé le coût initial du projet au taux sans risque optimal.

Preuve : ect(0) = 0 donc un projet de surprofit X = 0 est sans risque. X = R - C(1+r)^t où R est la recette finale, C le coût initial, t la durée du projet et r le taux sans risque optimal. Donc R = C(1+r)^t. Donc le profit est R - C = C(1+r)^t - C.

Théorème : VAN(aX) = aVAN(X)

Preuve : VAN(aX) = E(aX) moins le risque irréductible de aX. Que a soit positif ou négatif, le risque irréductible de aX est a fois le risque irréductible de X. Donc VAN(aX) = aE(X) moins a fois le risque irréductible de X = a VAN(X).

Théorème : dans l'espace vectoriel de tous les projets, les projets de valeur actuelle nette nulle forment un sous espace vectoriel.

Preuve : si VAN(X) = 0 et VAN(Y) = 0 alors VAN(X+Y) = VAN(X) + VAN(Y) = 0 et VAN(aX) = a VAN(X) = 0.

Théorème : un projet est optimal si et seulement si il est optimal dans l'espace vectoriel des projets de valeur actuelle nette nulle.

Preuve : tous les composants d'un projet optimal ont une valeur actuelle nette nulle, parce qu'un projet optimal ne doit pas contenir d'aubaine, donc aucun projet dont la valeur actuelle nette est strictement supérieure à zéro, et parce qu'il ne doit pas non plus contenir la vente à découvert d'une aubaine, parce que ce serait une erreur qui réduirait la valeur du projet.

Théorème : l'espace des projets de valeur actuelle nette nulle est euclidien.

Preuve : c'est un espace vectoriel avec une forme bilinéaire symétrique positive, la covariance entre deux variables aléatoires. On suppose qu'il est de dimension finie, parce qu'on raisonne sur les projets qu'on peut réaliser avec les moyens d'aujourd'hui. Il reste à montrer que la covariance est définie positive dans l'espace des projets de valeur actuelle nette nulle. Si cov(X,X) = var(X) = 0 alors ect(X) = 0 et X = 0 parce que VAN(X) = 0. D'où le théorème.

Le risque irréductible et la covariance avec les projets optimaux

X° est le surprofit d'un projet de surprofit X dont on a ajusté le coût initial pour qu'il puisse faire partie d'un portefeuille optimal. Si la valeur actuelle nette du projet de surprofit X est nulle, X = X°.

O1 est le projet optimal de risque unité. ect(O1) = 1. Son surprofit moyen E(O1) = k, où k est la constante de prix du risque.

Théorème : le risque irréductible d'un projet de surprofit X est égal à sa covariance avec le projet optimal de risque unité O1. E(X°)/k = cov(X,O1), où k est la constante de prix du risque.

Preuve :

Si E(X°) > 0, soit Y le surprofit d'un projet optimal qui a le même surprofit moyen que X°. Soit Z = aX° + (1-a)Y, le surprofit d'un portefeuille qui contient une part a du projet X° et une part (1-a) du projet Y. Le surprofit moyen de Z est le même que celui de X° et Y. Si a est négatif, Z contient (1+|a|)Y à l'actif et |a|X° au passif. Cela veut dire que pour constituer Z, on a vendu |a|X° à découvert. Puisque Y est un projet optimal, d/da var(Z) = 0 en a = 0. var(Z) = a²var(X°) + 2a(1-a)cov(X°,Y) +(1-a)²var(Y). Donc d/da var(Z) = 2a var(X°) + (2-4a)cov(X°,Y) + (2a - 2)var(Y). En a=0, d/da var(Z) = 2cov(X°,Y) - 2var(Y) = 0. Donc var(Y) = cov(X°, Y) = cov(X,Y). Or var(Y) = (E(Y°)/k)² = (E(X°)/k)² et cov(X,Y) = E(X°)cov(X,O1)/k. D'où le théorème.

Si E(X°) < 0, il n'y a pas de projet optimal qui a le même surprofit moyen que X°, parce qu'ils ont tous un profit au moins égal au profit sans risque, donc un surprofit positif ou nul.

Lemme : si X est le surprofit d'un projet, (-X)° = -X°.

Preuve du lemme : VAN((-X)°) = 0 = E((-X)°) - k Rx-, où Rx- est le risque irréductible de -X. VAN(-X°) = 0 = E(-X°) - k Rx-. Donc E((-X)°) = E(-X°). Or (-X)° = -X° + C où C est une constante. Donc C = 0 et (-X)° = -X°.

Preuve du théorème : E (-X°) > 0 donc E(-X°)/k = cov(-X°,O1) = -cov(X°,O1). Donc E(X°)/k = cov(X,O1).

Si E(X°) = 0, E(X°+O1)/k = cov(X°+O1,O1) = cov(X°,O1) + cov(O1,O1) = E(O1)/k = 1, donc cov(X°,O1) = cov(X,O1) = 0.

Comment construire un espace vectoriel de projets ?

Choisir un nombre fini de grandeurs aléatoires, toutes d'espérance nulle, et une constante de prix du risque strictement comprise entre 0 et 1.
Choisir parmi ces grandeurs aléatoires et leurs multiples une grandeur aléatoire Op dont la variance est égale à 1 . Tous les projets optimaux sont alors représentés par a(Op + k), pour tout nombre a positif ou nul.
Si X est l'une des grandeurs aléatoires initialement choisies, X° = X + k cov(X,Op) représente un projet dont la valeur actuelle nette est nulle. Si Z = aX + bY, Z° = aX° + bY° = Z + k cov(Z,Op). En particulier Op° = Op + k.
L'espace vectoriel des projets de valeur actuelle nette nulle est l'espace vectoriel engendré par les X°, pour toutes les grandeurs aléatoires X initialement choisies.
L'espace vectoriel de tous les projets est l'espace de toutes les grandeurs aléatoires Z = Y + a, pour tout nombre a et toute grandeur aléatoire Y qui représente un projet de valeur actuelle nette nulle. a est la valeur actuelle nette de Z. Z est le surprofit aléatoire du projet.

Avec un tel espace vectoriel, on peut prouver, du fait de sa construction, tous les théorèmes sur la valeur actuelle nette et le risque irréductible. Voici deux exemples :

Le surprofit moyen E(X) d'un projet optimal X est égal à k ect(X).

Preuve : E(a(Op + k)) = a E(Op) + k a = k a. ect(a(Op + k)) = a ect(Op) = a, parce que a > ou = 0. Donc E(a(Op + k)) = k ect(a(Op + k)).

Si un projet est optimal alors il est optimal dans l'espace des projets de valeur actuelle nette nulle.

Preuve : soit X un projet optimal et Y un projet de valeur actuelle nette nulle qui a la même espérance que X. X = a(Op + k), donc ect(X) = a et E(X) = ka. E(Y) = k cov(Y,Op) = E(X) = ka, donc cov(Y,Op) = a = ect(X). D'après l'inégalité de Cauchy Schwarz, cov(Y,Op)² < ou = var(Y) var(Op) = var(Y). Donc ect(Y) > ou = ect(X). X a le risque le plus petit parmi tous les projets de valeur actuelle nette nulle qui ont le même surprofit moyen et est donc optimal dans l'espace des projets de valeur actuelle nette nulle.

Un tel espace vectoriel est la solution générale de tous les problèmes de calcul des risques financiers, parce qu'on peut toujours réduire le problème mathématique à l'étude d'un tel espace vectoriel.

Le théorème de Modigliani-Miller

Il faut distinguer le prix initial et la valeur d'une part de propriété d'un projet. Si P est un projet de valeur V dont le coût initial est C, alors le prix initial d'une part x (un nombre compris entre 0 et 1) de P est xC et sa valeur est xV. Le prix initial et la valeur peuvent être différents, sauf si la valeur actuelle nette du projet est nulle, parce qu'alors il vaut son coût initial : V = C.

Pour un projet dont la valeur est V et le coût initial C, la valeur d'une mise initiale de 1 est V/C.

Théorème de Modigliani-Miller : si la valeur actuelle nette d'un projet est nulle, alors l'effet de levier ne change pas la valeur d'une mise initiale pour financer le projet.

On peut donner de ce théorème plusieurs preuves :

L'effet de levier ne change pas la valeur actuelle nette d'un projet. Donc V = C avec ou sans effet de levier, pour un projet dont la valeur actuelle nette est nulle. Donc la valeur d'une mise initiale de 1 est toujours 1, quel que soit l'effet de levier choisi.
Si l'effet de levier multiplie le surprofit X par un facteur a, il multiplie en même temps le risque irréductible Rx, par ce même facteur. Or V = C + E(X) - k Rx. Pour un projet de valeur actuelle nette nulle, E(X) = k Rx et E(aX) = a(EX) = k a Rx. Si on finance un projet par effet de levier, on fait varier le surprofit moyen E(X) et le coût du risque k Rx d'un même montant. Comme l'un compense exactement l'autre, la valeur d'une mise initiale n'est pas modifiée.

Pour une même mise initiale, l'effet de levier augmente le risque, parce qu'on investit dans un projet plus grand, financé à la fois par la mise initiale et par l'emprunt. L'augmentation du surprofit moyen par effet de levier est la compensation pour une augmentation du risque.

Si le risque irréductible d'une entreprise est négatif, il doit être compté comme une recette. L'effet de levier augmente le risque en valeur absolue et donc augmente cette recette, mais il diminue en même temps le surprofit moyen, parce que celui-ci est négatif. La diminution du surprofit moyen est compensée par l'augmentation en valeur absolue du risque négatif. C'est pourquoi la valeur d'une mise initiale n'est pas modifiée.

L'hypothèse des marchés efficients est que toutes les entreprises sont cotées à leur juste valeur, donc que leur valeur actuelle nette est toujours nulle. C'est pourquoi Modigliani et Miller se sont servis de cette hypothèse pour démontrer leur théorème.

La valeur nulle des cryptoactifs

Théorème : la valeur des cryptoactifs est toujours nulle.

On peut donner plusieurs preuves de ce théorème :

La valeur d'un bien est la valeur des services qu'il peut rendre. Or les cryptoactifs ne rendent aucun service. Donc leur valeur est nulle.
La valeur d'un projet est la valeur de sa recette finale moins le coût du risque irréductible. Les gains des vendeurs de cryptoactifs dépendent de l'existence des acheteurs. S'il n'y a plus d'acheteurs, les cryptoactifs ne pourront plus être vendues et la recette finale de leurs propriétaires sera égale à zéro. Selon toute vraisemblance, les êtres humains comprendront que les cryptoactifs sont une escroquerie et ils cesseront de les acheter. Donc la recette finale sera nulle. Le risque est l'écart-type de la recette finale et est donc également nul. Le risque irréductible est lui aussi nul. D'où le théorème.

Quand on achète un cryptoactif, on achète un bien dont la valeur est certaine, parce qu'elle est nulle. C'est donc une façon sûre de perdre la totalité de l'argent qu'on a avancé. Si on veut gagner de l'argent, ou ne pas trop en perdre, après avoir acheté des cryptoactifs, il faut trouver des gens crédules qui acceptent d'acheter des actifs qui ne valent rien. Les cryptoactifs sont comme des tickets de loterie, où l'on parie sur l'existence de gens suffisamment crédules pour les acheter alors que leur valeur est nulle.

Pour que les cryptoactifs soient une monnaie, il faudrait accepter de payer des centaines de dollars, ou davantage, en frais de transaction, à chaque fois qu'on achète un sandwich. Faire croire que les cryptoactifs pourraient servir de monnaie est donc un mensonge

Comment les producteurs de cryptoactifs peuvent-ils gagner beaucoup d'argent alors qu'ils ne produisent aucune richesse ?

Ils volent les épargnants en vendant très chers des actifs qui ne valent rien. Les producteurs et les promoteurs de cryptoactifs sont donc des escrocs et des voleurs. Ils profitent de la crédulité des épargnants.

Vendre des cryptoactifs est un vol, parce que c'est vendre très cher des actifs qui ne valent rien. Les acheteurs de cryptoactifs sont volés quand ils achètent et voleurs quand ils revendent. Les producteurs de cryptoactifs sont les premiers voleurs dans cette chaîne de voleurs. "Vole ton prochain comme toi-même tu as été volé" pourrait être la devise des vendeurs de cryptoactifs.

Les acheteurs de cryptoactifs deviennent des vendeurs de cryptoactifs. En incitant les épargnants à acheter des cryptoactifs, les vendeurs de cryptoactifs incitent les acheteurs à devenir à leur tour des voleurs, des escrocs et des pyromanes. Les vendeurs de cryptoactifs sont donc des criminels qui poussent les épargnants au crime.

Être acheteur de cryptoactifs est déjà être un voleur, puisqu'on achète avec l'intention de vendre, donc de voler, et on est voleur quand on a l'intention de voler.

Les cryptoactifs ne produisent aucune richesse mais ils en consomment beaucoup, assez pour fournir de l'électricité à tout un pays. Le dragon Crypto est un glouton. Il dévore des richesses qui pourraient faire vivre des millions de personnes. Même si les épargnants demandent à ceux qui les ont ruinés de rembourser leur épargne anéantie, ils ne retrouveront pas tout leur argent, parce qu'il a servi à payer les gigantesques coûts de production des cryptoactifs. Le dragon Crypto a déjà englouti deux mille milliards de dollars environ.

La finance a toujours été la porte ouverte à toutes les escroqueries, parce que ceux qui financent achètent des richesses qui n'existent pas encore. Les escrocs vendent des richesses qui n'existent pas et qui n'existeront jamais. Les entrepreneurs honnêtes vendent des richesses qui existeront vraiment. Par son ampleur et sa durée, la vente des cryptoactifs est la plus grande escroquerie de l'histoire de la finance. Jamais auparavant les épargnants n'avaient perdu autant d'argent à cause de la malhonnêteté financière.

La surconsommation d'énergie transforme la planète en un désert, à cause du réchauffement climatique. Nous avons reçu de nos ancêtres une planète tempérée, où il fait bon vivre, et nous livrons à nos enfants une planète brûlante, désertique, où la vie est devenue presque impossible. Les vendeurs et les acheteurs de cryptoactifs veulent s'enrichir en brûlant la planète, sans produire aucune richesse qui pourrait être utile à nos enfants. Ils pensent : "après moi le Déluge !" Ils se moquent de l'avenir et ils ont fait de leur avidité leur Dieu. Ils sont d'ores et déjà ruinés, parce qu'ils ont acheté des actifs qui ne valent rien. Les vendeurs et les acheteurs de cryptoactifs sont des voleurs et des pyromanes.

Les milliers de milliards de dollars engloutis dans les cryptoactifs auraient pu être investis pour préparer notre avenir et celui des générations futures. Nous aurions un meilleur avenir et les épargnants ne seraient pas ruinés. Mais les vendeurs et les acheteurs de cryptoactifs se moquent de l'avenir et des générations futures. Ils préfèrent ruiner les épargnants et brûler la planète.

Si tous les épargnants du monde apprennent la vérité sur les cryptoactifs, si enfin ils comprennent que leur véritable valeur est égale à zéro, ils cesseront d'en acheter parce qu'ils sauront qu'ils ne pourront pas les revendre, ou seulement les revendre à perte. Alors les vendeurs ne pourront plus vendre, parce qu'il n'y aura plus d'acheteurs. L'industrie des cryptoactifs disparaîtra, comme elle doit, parce que son existence est la perpétuation du crime.

Les vendeurs et les acheteurs de cryptoactifs croient qu'il est impossible que cette industrie disparaisse. Mais pour savoir ce qui est possible ou non, il faut connaitre les lois. Il est impossible que l'industrie des cryptoactifs ne disparaisse pas. C'est une conséquence nécessaire des lois de la finance.

Le prix des cryptoactifs peut-il encore augmenter ? Il dépend de l'intelligence des épargnants. Pour qu'il augmente, il faut que les épargnants acceptent de perdre davantage d'argent. Par exemple, si le prix du bitcoin passe de 60,000 $ à 200,000 $ les épargnants auront perdu collectivement environ 20,000,000 x 140,000 = 2,8 milliers de milliards de dollars de plus, qu'ils ne pourront jamais récupérer. Le prix maximum du bitcoin est une mesure du maximum de sottise des épargnants. La crédulité des épargnants est comme un gisement que les criminels veulent exploiter. Ce gisement est-il épuisé ? Si oui, le prix des cryptoactifs n'augmentera plus. Mais s'il y a encore de la sottise à exploiter, le prix des cryptoactifs peut encore augmenter.

Qui paie le coût du risque ?

Lorsqu'un projet risqué est vendu, le vendeur paie le coût du risque irréductible, parce que ce risque diminue la valeur du projet, et donc le prix auquel le projet peut être vendu. L'acheteur est payé pour prendre le risque.

Lorsqu'un projet risqué est réalisé, la valeur du projet, nette de son coût initial, est le surprofit réalisé. Le surprofit moyen réalisé est la valeur actuelle nette moyenne et elle ignore le coût du risque. Lorsqu'un projet est risqué est réalisé, le coût du risque n'est donc pas payé en moyenne, comme si finalement personne ne le payait..

Les preneurs de risque paient pour le risque quand ils supportent des pertes, mais le surprofit qu'ils espère réaliser ne tient pas compte du coût du risque.

La valeur d'une décision

La théorie de la valeur des biens durables, des projets, des entreprises, des patrimoines ou des portefeuilles est toujours une théorie de la valeur d'une décision : quelle est la valeur de la décision de l'acheter ? Si cette valeur est supérieure au prix proposé, alors l'achat est une aubaine, si elle est inférieure, il vaut mieux renoncer. Comme le prix d'achat est un coût initial, la théorie de la valeur actuelle nette des projets est une théorie générale de la valeur de la décision.

Les gains ou les pertes qui résultent d'une décision dépendent des décisions ultérieures. Pour connaître les gains et les pertes à venir, un agent doit anticiper ses décisions à venir et leur valeur. Pour connaître la valeur d'une décision, un agent doit connaître la valeur des décisions qui suivront. Comment fait-il ? N'y a-t-il pas une régression à l'infini ? Pour connaître la valeur d'une décision à prendre aujourd'hui, je dois connaître la valeur des décisions qui seront à prendre demain, mais pour connaître la valeur des décisions de demain je dois connaître la valeur des décisions d'après-demain, et ainsi de suite. Comment alors connaître la valeur des décisions ?

Un agent optimal choisit toujours la valeur maximale quand il prend une décision. Quelle est la possibilité qui a le plus de valeur parmi toutes celles qu'on peut choisir ? Qu'est-ce qui est mieux, exercer une option ou ne pas l'exercer ? Quelle est l'option la meilleure, l'option d'exercer une option ou l'option de ne pas l'exercer ?

Pour connaître ses décisions futures, un agent optimal doit raisonner sur les décisions d'un agent optimal. Un agent optimal peut prévoir ses décisions futures ou leurs probabilités, parce qu'il sait qu'il prendra des décisions optimales. (Bellman)

Un agent optimal peut raisonner en partant de la fin. Il doit anticiper les gains et les pertes pour toutes les fins possibles du projet, à l'instant t. Puis il anticipe les gains et les pertes à l'étape antérieure, à l'instant t-1. Puisqu'il sait qu'il choisira la décision la meilleure, il peut anticiper sa décision à l'instant t-1. ll peut alors anticiper les gains et les pertes d'une décision à l'instant t-2, et ainsi de suite.

Le comportement d'un agent peut être modélisé avec un arbre de décisions.

Si l'environnement est prévisible, un nœud représente un instant d'une destinée possible où l'agent prend une décision. Les branches qui partent d'un même nœud représentent les choix possibles. A chaque nœud on peut associer un gain ou une perte. Ce sont les gains et les pertes qui résultent immédiatement de la décision prise au nœud antérieur. On commence par supposer que ces gains ou ces pertes sont prévisibles et sans risque. On peut donc ignorer les coûts du risque.

Un arbre de décisions représente toutes les suites possibles de décisions d'un agent et permet de calculer les gains ou les pertes associées. On inclut seulement les décisions qui sont pertinentes pour la valeur du projet, c'est à dire les décisions qui peuvent avoir un effet sur la valeur de la décision d'acheter le projet.

Pour trouver une destinée choisie par un agent optimal, on peut raisonner en partant de la fin, pour calculer une fonction V qui attribue une valeur à chaque nœud du projet. Soit t le dernier instant du projet et z un nœud terminal à cet instant. V(z) est la gain ou la perte immédiate associée à z. Soit x un nœud à l'instant t-1. V(x) est la somme du gain ou de la perte immédiate associée à x et de la valeur actuelle à l'instant t-1 du maximum Vmax des V(y) pour tous les nœuds y à l'instant t qui suivent le nœud x, parce qu'un agent optimal prend toujours une décision qui maximise V au nœud suivant. De cette façon on peut calculer V pour tous les nœuds à l'instant t-1 si on la connaît déjà pour tous les nœuds à l'instant t. On peut répéter le processus jusqu'à l'instant initial et obtenir ainsi V pour tous les nœuds. On trouve en même temps la suite des décisions d'un agent optimal (ou les suites possibles de décisions, s'il y en a plusieurs).

Si l'environnement d'un agent est aléatoire, on peut modéliser son comportement avec un arbre de décisions à deux joueurs, comme s'il jouait avec son environnement. Les décisions sont prises par l'agent aux instants pairs, et aléatoirement aux instants impairs par l'environnement. A chaque nœud pair, on associe un gain ou une perte immédiate et sa probabilité d'être atteint par le nœud impair qui le précède. On peut définir une fonction V pour tous les nœuds de cet arbre comme précédemment. Pour un nœud impair, V est la moyenne pondérée par des probabilités des V(y) pour tous les nœuds pairs y qui suivent. Un agent optimal doit tenir compte du risque quand il évalue les choix possibles. Pour un nœud pair, il faut donc chercher non le maximum de V pour les nœuds impairs qui suivent, mais le maximum de V diminué du coût du risque qui suit une décision. Vmax n'est pas le maximum de V mais la valeur de V qui maximise V diminué du coût du risque. Pour un nœud pair, V est la somme du gain ou de la perte immédiate et de la valeur actuelle de Vmax associés à ce nœud.

La valeur d'une décision est la valeur de V aux nœuds impairs, diminuée du coût du risque qui suit cette décision. V est l'espérance de la somme des valeurs actuelles, à l'instant où la décision est prise, de tous les gains et les pertes qui suivent cette décision pour un agent optimal. V est une espérance ou une anticipation de richesse. Un agent optimal doit tenir compte du risque pour faire le meilleur choix, il choisit toujours la valeur la plus élevée de l'espérance de richesse diminuée du coût du risque quand il prend une décision.

Le coût du risque doit être compté au moment où la décision est prise, pour évaluer la décision, mais il n'est pas compté dans l'espérance de richesse, parce qu'il est un coût qui finalement n'est pas payé en moyenne.

Pour évaluer le risque, un agent optimal doit calculer V en actualisant toutes les recettes finales ou les pertes finales au jour où il prend la décision, et calculer l'écart-type de V.

Un projet bien conçu est optimal. Les risques intrinsèques de toutes les décisions sont toujours irréductibles, parce que le projet a été conçu pour compenser tous les risques qui pouvaient l'être. Si un projet n'est pas si bien conçu, il est sous-optimal, parce que ses risques ne sont pas irréductibles. Quand on évalue un projet sous-optimal, on doit tenir compte du coût du risque qui n'a pas été réduit, on doit évaluer toutes les décisions comme si leurs risques était irréductibles, pour prendre en compte la perte de valeur causée par ces risques qu'on aurait pu réduire.

Le coût des risques dans l'arbre de décisions d'un projet sous-optimal doit être compté comme si les risques intrinsèques des décisions étaient irréductibles, même s'ils ne le sont pas.

Formellement, une obligation peut être considérée comme une option à un seul choix possible, parce qu'une option nous oblige toujours à choisir une des possibilités proposées. Une obligation de payer a une valeur négative pour l'obligé. On demande à être payé pour acquérir une obligation de payer. De même une option peuvent avoir une valeur négative si tous les choix possibles sont des pertes. Une telle option est un passif aléatoire. Lorsqu'un agent optimal doit exercer une option négative, il choisit la perte minimale. Un vendeur d'une option à valeur positive est payé pour acquérir une option à valeur négative, parce qu'il s'engage à payer les éventuels gains de l'acheteur de l'option à valeur positive. La présente théorie de la valeur des décisions est pleinement générale. Elle inclut tous les actifs et les passifs, qu'ils soient risqués ou non, toutes les options à valeur positive ou négative et tous les actifs-passifs aléatoires. On peut s'en servir pour raisonner sur toutes les décisions économiques, toutes les décisions d'achat et de vente, de consommation, d'épargne et d'investissement.

On peut généraliser cette théorie de la valeur de la décision pour plusieurs joueurs pour modéliser la compétition et la coopération entre les agents économiques.

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