Моделирование в задаче роста и убывания

Постановка задачи (этап 1)

Объем деловой древесины на лесном участке оценивается в 150 тыс. м³. Каждый год этот объем увеличивается на 7 % за счет естественного прироста. Начиная с 3-го года на хозяйственные нужды вырубается 20 тыс. м³ древесины ежегодно.

Вопросы:

1. Наступит ли уменьшение объема деловой древесины на участке до 100 тыс. м³ и через сколько лет?

2. Каков ответ на первый вопрос, если, начиная с 4-го года, процент прироста уменьшится до 5 %, а вырубка с 7-го года увеличится до 25 тыс. м³ в год?

Выбор плана создания модели (этап 2)

Объектом исследования является объем деловой древесины на лесном участке.

Будем строить таблицу, рассчитывая объемы древесины по годам. Такую таблицу можно получить расчетами вручную или с помощью электронных таблиц (компьютерная модель).

Выбираем компьютерную модель. Причем для ее построения необходимо сначала построить документальную математическую модель с математическими формулами для расчетов. Следовательно, создание модели будет проходить в два этапа:

3а — создание документальной математической модели;

3б — создание компьютерной модели с помощью электронных таблиц.

Создание документальной математической модели (этап 3а)

Перенумеруем годы, начиная с нулевого (начального). Пусть объем деловой древесины в i-м году будет D(i),

процент прироста древесины — Р(i), а объем вырубки — V(i).

Тогда объем древесины в (i + 1)-м году вычисляется по формуле D(i + 1) = D(i) × (1 + P(i)/100) – V(i).

В первой строке расчетной таблицы (в строке 9) будут отображаться начальные данные для нулевого года, поэтому вводим:

A9: 0 В9: =A3 С9: =A4 D9: =A5

Далее основная для расчетов строка 10:

A10: 1

В10: =В9*(1 + С9/100) – D9

C10: =С9

D10: =D9

Исследование модели (этап 4)

Полная адекватность модели сомнений не вызывает, т. к. данные и формулы модели полностью соответствуют данным задачи. Адекватность также может быть проверена тестированием, т. е. расчетами вручную (пример 21.4).

Получение решения задачи (этап 5)

Для ответа на первый вопрос задачи анализируем расчетную таблицу.

Для ответа на второй вопрос вносим изменения в графы «Процент» (для 4-го года) и «Вырубка» (для 8-го года) и анализируем таблицу.

1. Перечислите этапы моделирования в задаче роста и убывания.

2. Повторите на компьютере решение задачи роста и убывания, рассмотренное в параграфе.

3. Изменив построенную модель роста и убывания (\\Serg-pc\задания\Моделирование\Модель роста и убывания.xlsx), решите следующую задачу: «На пищевом комбинате в установку по производству дрожжей заложена 1 т дрожжевой массы. При поддержании оптимальной температуры за сутки масса дрожжей возрастает на 150 %. 1,5 т массы ежедневно пускают в производство. В результате неполадки с 3 суток температура в установке повысилась, и прирост составил 160 % в сутки. Через сколько суток масса дрожжей в установке может достигнуть 3,5 т?»

4. Решите следующую задачу: «Закон изменения массы m колонии вируса гриппа имеет вид m = m₀ × 2 ^t/∆t, где m₀ — первоначальная масса колонии, t — время в часах, ∆t — шаг времени в часах. Установите, через сколько часов масса колонии превысит 1,9 г, если m₀ = 0,03 г, ∆t = 1».