Моделирование в задаче выбора положения железнодорожной станции

Оценка имеющейся информации и выбор плана создания модели (этап 2)

Объектом исследования является положение железнодорожной станции на участке железной дороги. Для определенности условий задачи должно быть точно задано положение населенных пунктов и железной дороги. Пользуясь подробной картой, эти данные можно получить.

Из пространственных соображений ясно, что нужное положение станции должно существовать. Но устное решение задачи с достаточной точностью невозможно. Сначала необходимо строить документальную математическую модель.

После построения математической документальной модели нужно будет найти метод решения полученной математической задачи. Численное решение будем искать с помощью электронных таблиц.

Таким образом, создадим модель по следующему плану:

3а — создание документальной математической реализации модели;

3б — выбор метода решения математической задачи;

3в — создание компьютерной реализации модели.

Создание документальной математической реализации модели (этап 3а)

По построению точка С имеет координаты (x; 0) и нужно найти значение x, решающее задачу.

Расстояние |AС| между точками А(x1; y1) и С(x; 0) находится по формуле:

Вычислив расстояние от С до всех четырех точек, можно найти сумму расстояний:

Выбор метода решения математической задачи (этап 3б)

Сумма расстояний f меняется при изменении x (при изменении положения станции). Таким образом, в задаче построена функция f(x), и нужно найти значение x, при котором эта функция принимает минимальное значение.

Будем использовать приближенный расчетный метод. Для этого найдем подходящий промежуток для значений x, построим на этом промежутке систему равноотстоящих точек, а затем — таблицу значений функции f(x) в этих точках. Останется найти в таблице минимальное значение f(x) и соответствующую ему точку (значение x). Это и будет ответ.

Из анализа рисунка 2 следует, что нет смысла брать точку С левее перпендикуляра к оси OX через крайнюю левую точку A. Аналогично получается и правая граница значений x. Таким образом, для наших исходных данных получаем, что имеет смысл рассматривать только значения x на отрезке от 1 до 8.

Для построения системы точек на промежутке возьмем шаг, равный 0,25 (км), т.е. расчеты будем вести в 29 точках:

(8 – 1) / 0,25 + 1 = 29.

Будем считать значение x = 1 начальным в системе точек.

Создание компьютерной реализации модели (этап 3б)

Используем схему табличной модели в электронных таблицах.

В первой строке рабочей таблицы введем название «Модель выбора положения».

Исходными данными для задачи являются координаты пунктов A, Б, В, Г, начальное значение и шаг величины x.

Можно расположить все исходные данные по общей схеме (в 10 строк). A можно, например, данные о координатах точек задать в виде небольшой таблицы.

Первая ячейка первой строки расчетной таблицы (12-й строки рабочей таблицы) содержит начальное значение x:

A12: =A7

Затем введем первую формулу

В12: =КОРЕНЬ((B$4-$A12)^2+B$5^2)

Абсолютные адреса ячеек введены для обеспечения последующего копирования формулы. Формулы в ячейки C12: E12 вводятся заполнением вправо содержимым ячейки В12.

Проверка адекватности модели (этап 4)

Адекватность модели проверяется рассчитанными данными. Для x=2 Сумма равна 18,6346773848575.

Получение решения задачи с помощью модели (этап 5)

Для ответа на вопрос задачи анализируется столбец Сумма расчетной таблицы, в нем находится минимальное значение. Ответом будет соответствующее значение в столбце x.

Уменьшая шаг изменения x и увеличивая тем самым число расчетных точек на промежутке, положение станции можно найти с любой степенью точности.

1. Повторите на компьютере решение задачи по выбору положения железнодорожной станции, рассмотренное в параграфе.

2. Найдите решение исходной задачи для населенных пунктов с координатами: A(2; 6), Б(3; –3), В(7; 5), Г(10; –5).

3. Найдите решение исходной задачи для пяти населенных пунктов с координатами: A(1; 3), Б(1; –4), В(5; 5), Г(6; –2), Д(7; 4).

4. В исходной задаче населенные пункты имеют координаты: A(2; 4), Б(3; –5), В(4; 7), Г(8: –4). Найдите положение железнодорожной станции, при котором она по возможности более равномерно удалена от всех четырех пунктов (разность между расстоянием до дальнего пункта и расстоянием до ближнего будет минимальной).

Указание. Добавить в расчетную таблицу графу «Разность» с формулой МАКС()–МИН().

5. В исходной задаче населенные пункты имеют координаты: A(1; –4), Б(2; 5), В(3; –5), Г(10; –4). Найдите решение исходной задачи в случае, когда участок железной дороги не является прямолинейным, а задается графиком функции