Кодирование числовых данных

Система счисления — способ записи числа с помощью набора условных знаков, называемых цифрами.

Системы счисления бывают позиционными и непозиционными.

В общем виде число Z можно записать следующим образом:

Z_p = а_npⁿ + a_{n – 1}p^{n – 1} + ... + a₁p¹ + a₀p⁰,

где число p — основание системы счисления, коэффициенты а_n, a_{n – 1}, ... a₁, a₀ — цифры числа, значения pⁿ, p^{n – 1}, ..., p¹, p⁰ — разрядные единицы.

Способы записи чисел

Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую

Перевод чисел в десятичную систему счисления:

11001₂ = 1*2⁴ + 1*2³ + 0* 2² + 0* 2¹ + 1* 2⁰ = 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 25₁₀;

3045₈ = 3*8³ + 0*8² + 4*8¹ + 5*8⁰ = 3*512 + 0 + 32 + 5 = 1573₁₀;

А3D₁₆ = A*16² + 3*16¹ + D*16⁰ = 10*256 + 3*16 + 13 = 2621₁₀

Дробные числа можно переводить аналогично:

12,35 = 1*5¹ + 2*5⁰ + 3*5^–1 = 5 + 2 + ⅗ = 7 + 0,6 = 7,6₁₀.

Перевод числа из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную:

Перевод числа из восьмеричной в двоичную систему счисления:

Перевод числа из четверичной в двоичную систему счисления:

Таблица тетрад, триад и двоичных пар.

Перевод чисел из двоичной системы счисления (знак ′ отделяет тетрады, триады или пары).

В шестнадцатеричную:

110011010₂ = 0001′1001′1010 = 19A₁₆

В восьмеричную:

11011010111₂ = 011′011′010′111 = 3327₈

В четверичную:

10110111₂ = 10′11′01′11 = 2313₄

Перевод числа C36₁₆ в восьмеричную систему счисления.

Сначала переведем число в двоичную систему счисления, затем разобьем его на триады и получим восьмеричную запись:

C56₁₆ = 1100 0101 0110₂ = 110′001′010′110 = 6126₈.

Перевод числа 231034 в шестнадцатеричную систему счисления.

Переведем число в двоичную систему счисления, затем разобьем его на тетрады и получим шестнадцатеричную запись:

23103₄ = 10 11 01 00 11₂ = 0010′1101′0011= 2D3₁₆

Упражнения

Выполните задание из файла \\Serg-pc\задания\10 класс\Системы счисления Кодирование Измерение объема.xlsm
Переведите числа в десятичную систему счисления.
1. 1001₂, 1110101₂, 100001₂.
2. 2121₃, 2001₃, 2213₄, 2332₄.
3. 456₈, 302₈, 165₈.
4. A54₁₆, 679₁₆, FDC₁₆.
Переведите числа из десятичной системы счисления в указанную:
1. 345, 219, 50270 → Z₁₆.
2. 234, 672, 1021 → Z₈.
3. 92, 131 → Z₄.
4. 85, 201 → Z₃.
5. 85, 129, 311 → Z₂.
Выполнение перевода «лесенкой» можно осуществить в Excel. Откройте файл с примером 12.8. Необходимые формулы можно посмотреть в режиме показа формул (Ctrl + ~). Используйте пример для перевода чисел из упражнения 2.
*Найдите в Excel справку по функциям ДЕС, ДВ.В.ДЕС, ВОСЬМ.В.ДЕС и др. Используйте эти функции для проверки правильности выполнения перевода чисел в упражнениях 1 и 2.
Осуществите перевод чисел между указанными системами счисления:
1. 3201₄ → Z₂ → Z₈ → Z₁₆;
2. 5612₈ → Z₂ → Z₄ → Z₁₆;
3. F1A₁₆ → Z₂ → Z₄ → Z₈;
4. 4567₈ → Z₁₆ → Z4;
5. D91₁₆ → Z₈ → Z₄.
Запишите минимальное и максимальное.
1. Пятизначные числа в четверичной системе счисления.
2. Четырехзначные числа в восьмеричной системе счисления.
3. *Трехзначные числа в двенадцатеричной системе счисления.

Получите десятичные представления записанных чисел. Сделайте выводы.

Запишите число, следующее за 34₈, 22₃, 34₅, 111₁₂, CF₁₆.
Запишите число, предшествующее 54₇, 30₄, 100₁₂.
Решите задачи.
1. Найдите наименьшее из чисел А, В, С и D, записанных в различных системах счисления, если А = 1023₄, В = 471₆, С = 69₁₀, D = 1001010₂.
2. В системе счисления с некоторым основанием p число 5810 записывается как 213_p. Найдите это основание.
3. Укажите все основания систем счисления, в которых запись числа 17 оканчивается на 2.
4. К записи натурального числа в восьмеричной системе счисления справа приписали два нуля. Во сколько раз увеличилось число? Ответ запишите в десятичной системе счисления.
5. *В саду 100_p фруктовых деревьев. Из них 34_p яблони, 25_p груш и 5_pвишен. Какая система счисления используется при подсчете количества деревьев?
Подготовьте сообщения и/или презентацию на одну из перечисленных тем.
1. История счета.
2. Механические счетные приспособления.
3. Использование троичной системы счисления.