Embedded Files
Постановка задачи (этап 1)
Постановка задачи (этап 1)
Имеется квадратная однородная металлическая пластина, которая является деталью некоторого устройства. Во время работы устройства вокруг пластины и на ее краях поддерживается температура 20°C. В центральной зоне пластина нагревается сварочной дугой до 6000°C. Каким будет распределение температур во внутренних точках пластины?
Выбор плана создания модели (этап 2)
Выбор плана создания модели (этап 2)
При решении задачи используем метод дискретизации, при котором плоская пластина условно разбивается на небольшие квадраты (пример 22.1). Для описания теплообмена между условными квадратами и теплоизлучения построим математическую модель, а для расчетов — электронные таблицы. Создание модели будет проходить в два этапа:
3а — создание документальной математической модели;
3б — создание компьютерной модели с помощью электронных таблиц.
Можно считать, что внутри каждого квадрата температура постоянна. Это предположение справедливо лишь приближенно, но чем меньше сторона квадрата, тем меньше ошибка.
Создание документальной математической модели (этап 3а)
Создание документальной математической модели (этап 3а)
Разобьем квадратную пластину на условные квадраты общим числом 20×20. Из физических законов следует, что температуру tкв любого квадрата можно считать по формуле:
Здесь индекс «лкв» указывает на квадрат слева, «пкв» — на квадрат справа и т. д. Нужно учесть влияние и других факторов.
Создание компьютерной модели (этап 3б)
Создание компьютерной модели (этап 3б)
Название модели в электронную таблицу вводить не будем, чтобы иметь возможность строить модель, начиная с ячейки А1.
При построении табличной модели каждому условному квадрату поставим в соответствие ячейку электронной таблицы. Удобно сделать ячейки модели квадратными.
Температуру будем показывать в целых числах.
Чтобы вся модель была видна в окне редактора, устанавливаем соответствующий масштаб отображения. Снимаем выделение и переходим к заполнению табличной модели. Сначала вводим значение 20 в ячейки внешней среды. Для этого вводим 20 в ячейку А1. Заполняем вниз содержимым ячейки А1 ячейки строк до 22 включительно. Далее устанавливаем табличный курсор на ячейку А1 и заполняем вправо все ячейки до столбца V включительно (это 22 столбца). Аналогично заполняем диапазоны V1:V22 и A22:V22.
Можно переходить к вводу формул в квадраты-ячейки модели. Легко предвидеть, что во внутренних соседних ячейках будут стоять формулы, которые ссылаются друг на друга. Таблицы Excel без дополнительной настройки воспринимают такие перекрестные ссылки как ошибки. Таблицы нужно перенастроить (пример 22.6).
Пример 22.6. Для перенастройки электронных таблиц на вкладке Файл щелкаем по пункту Параметры. Открывается диалоговое окно. На вкладке Формулы ставим галочку около надписи Включить итеративные вычисления, а в поле Предельное число итераций вводим число 500. Щелкаем по кнопке OK.Перенастройка закончена.
Теперь во внутреннюю ячейку пластины B2 вводим формулу = 20 + ((A2 + В1 + C2 + В3) / 4 – 20) * 0,8 Ставим табличный курсор на ячейку В2 и заполняем вправо содержимым ячейки В2 всю строку до края пластины. Выделение не убираем и заполняем вниз диапазоном В2:В21 всю внутренность модели.
Чтобы визуально наблюдать нагрев пластины, используем условное форматирование, которое будет задавать цвет квадрата в зависимости от его температуры (пример 22.7).
Пример 22.7. Для включения в ячейках пластины условного форматирования цветом в зависимости от значения числа в ячейке выделяем диапазон A2:U21 всей пластины. На вкладке Главная в группе Стили щелкаем по кнопке Условное форматирование. В выпадающем списке переводим указатель мыши на пункт Цветовые шкалы, справа появляется дополнительное меню, в котором щелкаем по пункту Другие правила … .Открывается диалоговое окно. В зоне Минимальное значение в строке Цвет выбираем светло-серый. В зоне Максимальное значение в строке Цвет выбираем ярко-красный, в строке Тип открываем список и выбираем пункт Число, а ниже в пункте Значение вводим число 1000.
Исследование модели (этап 4)
Исследование модели (этап 4)
Проверим адекватность модели. Для этого достаточно ввести число 20 (температуру воздуха) в центральную ячейку пластины вместо формулы (пример 22.8).
Пример 22.8. Введем число 20 в ячейку K11. Если температура во внутренних квадратах не изменится, то модель адекватно отражает распределение температуры.Восстановим таблицу копированием в ячейку K11 формулы из любойсоседней ячейки.Обратите внимание на то, как в результате визуально проявляются автоматические вычисления. Через какое-то время модель выдает искомое распределение температур.Одновременно нагрев пластины отображается визуально.
Получение решения задачи (этап 5)
Получение решения задачи (этап 5)
Для ответа на вопрос задачи вводим в ячейки диапазона K11:L12 число 6000. Анализируя расчетную таблицу, приходим к выводу о симметричности распределения температуры во внутренних квадратах и о снижении температуры от центра к краям пластины.
Упражнения
Упражнения
1. Повторите на компьютере решение задачи по определению температурных режимов, рассмотренное в параграфе.
2. Каким будет распределение температуры во внутренних точках пластины, если в дополнение к условиям исходной задачи температура внешней среды по верхнему краю пластины равна 20°C только в левом квадрате и возрастает на 50°C с переходом к каждому следующему вправо квадрату?
3. Каким будет распределение температуры во внутренних точках пластины, если в условиях исходной задачи сварочная дуга нагревает пластину до 6000°C не в центральной зоне, а по вертикальной линии шириной один квадрат от верхнего края до нижнего?
Рекомендация. Если в модели температурных режимов содержимым диапазона K10:L10 заполнить вниз диапазон со значениями 6000 и числом 20 верхнюю и нижнюю цепочку квадратов внешней среды, модель вернется в исходное состояние до нагрева.
Google Sites
Report abuse