Моделирование в задаче полета тела, брошенного под углом к горизонту
Постановка задачи
Задача. Брошен камень с начальной скоростью 30 м/с под углом 60° к горизонту. Сопротивление воздуха не учитывать (пример 24.1). Вопросы:
Как далеко от места бросания камень упадет?
Сколько секунд камень будет находиться в полете?
Какова наибольшая высота взлета камня?
Как скоро от начала полета будет достигнута наивысшая точка полета?
Выбор плана создания модели
Для создания модели нужно составить математическую задачу (документальную математическую модель) и решить ее (пример 24.2). Таким образом, получаем план создания модели:
3а — создание документальной математической модели;
3б — создание компьютерной модели с помощью электронных таблиц.
Создание документальной математической модели
Начальная скорость v (м/c) раcкладывается на составляющие vx и vy по углу бросания u в градусах:
Положение тела в полете определяется парой координат x(t), y(t). Зависимость координат от времени t (с) описывается формулами
где g = 9,81 — ускорение свободного падения.
Создание компьютерной модели
Исходные данные и начало расчетной таблицы разместим по схеме. Ячейки первой строки расчетной таблицы заполняем нулями. Вторая строка содержит формулы:
A10: =A9+$A$5
В10: =A10*$A$3*cos($A$4*3,14/180)
C10: =A10*$A$3*sin($A$4*3,14/180) - 9,81*A10^2/2
Следующие 39 строк расчетной таблицы, включая строку 49, заполняются вниз содержимым диапазона A10:C10.
Для наглядности построим траекторию полета камня как диаграмму графика функции.
Оформим диаграмму с помощью инструментов вкладки Макет.
В группе Подписи с помощью кнопки Легенда удалим легенду с диаграммы. С помощью кнопки Название диаграммы добавим над диаграммой название «Траектория полета». С помощью кнопки Названия осей добавим для горизонтальной оси название «Дальность», а для вертикальной оси повернутое название «Высота».
Исследование модели
Модель адекватна реальному процессу только с допущением об отсутствии сопротивления воздуха и для положительных значений координат.
Получение решения задачи
Чтобы ответить на вопросы задачи, анализируется расчетная таблица.
Чтобы ответить на первый вопрос, по числам в столбце y(t) находятся две соседние строки, в которых стоят числа разных знаков. Ответы на остальные вопросы находятся в других столбцах этих строк.
Упражнения
Повторите на компьютере рассмотренное в параграфе решение задачи полета тела, брошенного под углом к горизонту.
С помощью модели полета тела подбором найдите угол бросания, при котором камень с начальной скоростью 40 м/с упадет в 100 м от места бросания. Найдите время полета.
Подбором найдите начальную скорость, при которой камень, брошенный под углом 60°, упадет в 100 м от места бросания.
Подбором найдите начальную скорость, при которой камень, брошенный под углом 60°, собьет неподвижную цель на удалении 100 м и на высоте 20 м.
Ук а з а н и е. Для обозначения цели на диаграмму нужно добавить маркер цели.
Диаграмму нужно выделить и на вкладке конструктор в группе данные щелкнуть по кнопке выбрать данные. Появляется диалоговое окно выбор источника данных, в котором в зоне элементы легенды (ряды) следует щелкнуть по кнопке добавить. Открывается диалоговое окно Изменение ряда, в котором вводится имя ряда «Цель 1», значение X, равное 100, и значение Y, равное 20. Кнопкой Ок закрывается одно окно, затем — второе. На диаграмме появляется маркер цели.
Подбором найдите угол бросания, при котором камень, имеющий начальную скорость 40 м/с, собьет неподвижную цель на удалении 60 м и на высоте 30 м.
Подбором найдите начальную скорость с углом бросания 70°, при которой камень собьет неподвижную цель на удалении 50 м и на высоте 60 м.
Подбором найдите начальную скорость и угол бросания, при которых камень собьет две неподвижные цели: первую — на удалении 50 м и на высоте 30 м, вторую — на удалении 100 м и на высоте 5 м.