Пропонуємо скласти з елементів головоломки фігуру, сфотографувати її та надіслати результат на електронну адресу організатора квесту. За виконання головоломки «Піфагор» ви зможете отримати 2 бала.

У мережі Інтернет існує багато різних ігор, які розвивають логічне мислення учасників. Тому пропонуємо пройти онлайн гру «Хитра задачка Піфагора», за яку ви зможете отримати від 1 до 4 балів (кращі 6 результатів отримають більшу кількість балів). Для цього перейдіть за посиланням гри «Хитра задачка Піфагора», пройдіть всі рівні гри та надішліть скріншот результату на електронну адресу організатора квесту.

Піфагор, як і його учні-піфагорійці дуже добре знали математику. Ще у початковій школі кожен з нас вивчав табличку множення, без якої вивчати математику неможливо. Піфагорійці створили гру, яка зможе перевірити ваші знання таблички множення. Для наступного змагання перейдіть за посиланням гри «Таблиця множення», пройдіть всі рівні гри та надішліть скріншот результату на електронну адресу організатора квесту. В результаті ви зможете отримати від 1 до 4 балів (кращі 6 результатів отримають більшу кількість балів)

Всього за Завдання 4 ви зможете отримати до 10 балів.

Відповіді на Завдання 4 не приймаються!

Завдання 5

Піфагор був не лише великим математиком, а й філософом. Основна ідея його філософії: «Початком усього є числа». Числа за своєю природою – обмежуючі і не обмежуючі. Без них нічого б не було і не було б порядку, гармонії. Отже, той, хто хоче пізнати всі речі, повинен зрозуміти природу числа і гармонію чисел.

Велику увагу піфагорійці приділяли дослідженню прямокутних трикутників, сторони яких визначаються цілими числами. Найпростіший з таких трикутників, так званий єгипетський трикутник з сторо­нами 3, 4, 5, був відомий Піфагору ще з часів його подорожі до Єгипту. Прямокутний трикутник піфагорійці вважали найкращою і найдосконалішою фігурою.

А числа 3, 4, 5 стали називати піфагорова трійка. Існує 16 таких примітивних піфагорович чисел.

1. Назвіть одну піфагорову трійку. (1 бал)

Серед нескінченої множини чисел піфагорійці вишукували ті, котрі мали особливе значення. Серед найбільш значимих для них чисел були так звані «досконалі» числа (числа, сума дільників яких точно рівна самому числу).

Наприклад, число 6 має дільниками 1, 2 і 3 і, значить, воно досконале, так як 1+2+3=6.

2. Назвіть одне «досконале число» (1 бал)

Виявляється, досконалі числа завжди дорівнюють сумі декількох послідовних натуральних чисел. Наприклад, 6=1+2+3.

3. Перевірте вказане вами «досконале число» на цю властивість (1 бал)

Вивчаючи властивості чисел, піфагорійці першими звернули увагу на закони їх подільності. Вони розбили всі числа на парні – «чоловічі» (їх ще називали злі числа), і непарні – «жіночі» (добрі числа), і , що дуже важливо, на прості і складені.

Два числа, які мають ту властивість, що сума дільників кожного з них дорівнює іншому, називалися «дружніми».

4. Які числа називають «дружніми»? Назвіть одне з таких чисел. (2 бала)

5. Піфагорійці називали одні числа «плоскими», інші – «тілесними», а треті – лінійними. Що це за числа? (2 бала)

6. Число 36 справило сильне враження на піфагорійців своїми властивостями. Вкажіть ці властивості (1 бал)

Давайте згадаємо геометричні фігури, їх побудову: правильні многогранники (тетраедр, октаедр, ікосаедр, гексаедр). Так, як це особливі фігури, незвичайні, тому їм надано було містичного значення. Вони вважалися «космічними фігурами» і кожній із них було присвоєне найменування однієї зі стихій, що складали, на думку греків, основу буття: вогню, повітря, землі й Усесвіту.

7. Яке геометричне тіло піфагорійці вважали найчарівнішою? (1 бал)

8. Піфагорійці знайшли ще одну властивість непарних чисел. В чому вона полягає? (1 бал)

Всього за Завдання 5 ви зможете отримати 10 балів.

Відповіді залишайте тут.

Увага! До фінального Завдання 6 допускаються лише учні, які в сумі мають 25 і більше балів! (див.результати участі)

Завдання 6

Увага! Виконання завдання 6 перенесено та подовжено строки виконання до 8 березня включно!

Піфагор багато подорожував, його ім’я було оточене масою легенд, тому тепер важко визначити, що зробив він сам, а що запозичив у інших. У всякому разі, залежність між сторонами прямокутного трикутника була відома ще за 1000 років до Піфагора в Древньому Вавилоні та Єгипті. Піфагору, очевидно, належить заслуга доведення цієї теореми й широкого застосування її під час розв’язування задач.

1. Поділіться однією з таких легенд з учасниками квесту. (1 бал)

2. Складіть власну казку про прямокутний трикутник (2 бала)

Піфагор, під час доведення теореми, побудував фігуру, де на сторонах прямокутного трикутника розташовані квадрати. В наш час ця фігура виросла в ціле дерево.

3. Хто і коли вперше побудував Піфагорове дерево? (1 бал) Які властивості має дерево Піфагора? (1 бал)

4. Честь і слава великому Піфагору! Він вирішив зайняти чимось кориснимгородян і представляє вашій увазі головоломку, над якою слід добре подумати. Кращий гравець отримає найбільшу кількість балів. Приємної вам гри і успішних перемог! Піфагор сподівається на Вас! (вiд 20 до 1 балів)

Відповіді

Завдання 1

1. Народився Піфагор у Сідоні на о.Самос 580-500 до н. е

2. За переказами його батько Мнесарх був фінікійським купцем з Тіра. За і ншою версією Мнесарх належав до знатного, але збіднілого роду, і був каменерізом

3. Саме за порадою Фалеса Піфагор, у віці 20 років, їде до Єгипту, де жив близько 22 років і витримав немало випробувань, перш ніж жерці Мемфіса і Діосполіса відкрили йому «дивовижне чергування чисел, хитромудрі правила геометрії, науку про зорі, медицину».

4. До вавилонських магів і халдеїв він потрапив проти своєї волі - як полонений перського царя Камбіза, який завоював на той час Єгипет. Там мандрівник прожив 12 років і вивчив у халдеїв релігійні таїнства та математику.

5. Намагаючись збагнути мудрість Піфагор подорожував майже тридцять чотири роки, побувавши Єгипті, Персії, Вавилоні і навіть в Індії.

6. Філософські твори

• «Про природу»

• «Про виховання»

• «Про державу»

• «Про світ»

• «Про душу»

7. Основними джерелами про життя і вчення Піфагора є твори філософа-неоплатоника Ямвлиха (242–306 рр..) «Про Піфагорове життя»; Порфирія (234–305 рр..) «Життя Піфагора»; Діоген Лаертський (200–250 рр..) Кн. 8, «Піфагор». Ці автори спиралися на твори більш ранніх авторів, з яких слід відзначити учня Аристотеля Аристоксена (370–300 рр.. До н. Е..)

8. Зображення Піфагора відомими художниками (відповіді учасників):

9. Відео про Піфагора (відповіді учасників):

Піфагор і його школа

Піфагор

Філософія Піфагора

Піфагор: філософ, який прагнув стати богом

Мысли великих людей: Пифагор

Завдання 2

1. Статут піфагорійського союзу був дуже суворим. Кожний, хто вступав до нього, відмовлявся від особистої власності на користь союзу, зобов’язувався не проливати крові, не вживати м’ясної їжі, берегти таємницю вчення свого вчителя. Членам школи заборонялося навчати інших за винагороду. До союзу приймались жінки й чоловіки, які витримали багатолітню перевірку своїх розумових і моральних якостей. Власність була спільною. У школі було два ступені. Акусматики (послушники) засвоювали знання догматично, звідси походить легенда, що в школі Піфагора учень повинен перші п'ять років мовчати. Другий ступінь - математичний — посідали вчені, які займалися обґрунтуванням складних проблем. Піфагорійський союз був закритою організацією, а його вчення - таємним. Розповідають, що сам Піфагор викладав основи свого вчення за ширмою, щоб учні лише чули його голос, а самого не могли бачити.

2. В піфагорійській школі почали розвиватися астрономія та медицина. Нею створено безліч алегоричних коментарів Гомера, а також граматика грецької мови. Таким чином, піфагорійців можна вважати родоначальниками гуманітарної, природничої, точної і систематичної наук.

3. «Золоті вірші»:

• Роби тільки те, що не засмутить тебе і не примусить розкаюватись.

• Навчись тому, що слід знати.

• Не нехтуй здоров’ям свого тіла.

• Привчайся жити просто і без розкошів.

• Не закривай очей тоді, коли хочеш спати, не розібравши всіх своїх вчинків за минулий день.

• "Бути завжди в словах і вчинках прагни справедливим"

• "Хай - що найважливіше - твоїм головним суддею стане совість".

• "В заспокійливий сон не годиться тобі занурюватися перш, ніж знову не згадаєш про кожного сьогоднішньому справі, в чому завинив? Що міг зробити? І чого не виконав?"

4. На перше місце ставилося прекрасне і благопристойне, на друге - вигідне і корисне, на третє - приємне. Наука належала до прекрасного і благопристойного.

5. На перстні Піфагора було викарбувано такий девіз: «Тимчасова невдача краща тимчасової удачі».

6. У якості символа піфагорійці вибрали пентаграму – п’ятикутну зірку. Це символ здоров’я і досконалості, опізнавальний знак піфагорійців.

7. З цього уявлення виходила основна теза піфагорійців: «Усе впорядковується відносно чисел». Тому пояснювати природні явища слідувало лише з їхньою допомогою.

8. Піфагор вважав, що число 5 символізує колір, 6 – холод, 7 – розум, здоров’я та світло, 8 – кохання та дружбу, 9 – постійність. Особливо ненависними піфагорійцям були числа 13 та 17.

9. «Найкращим», ідеальним числом у них є 10 – воно означає повноту всесвіту(7 відомих тоді планет + сонце + місяць + найголовніша, десята Земля!). Усе в світі починається з 1. Відповідно цифрою неповноти, негативу є 9, символом поділу є 2 і цей поділ теж є негативним. Взагалі усі цифри від 2 до 9 є негативними в більшій чи меншій мірі.

10. До парних чисел ставлення піфагорійців краще ніж до непарних.

Завдання 3

1. Учнів, що запам’ятовували теорему без розуміння, називали віслюками, оскільки вони не могли перейти через міст – теорему Піфагора.

2. Справа в тому, що в деяких списках «Начал» Евкліда ця теорема називалась «теоремою німфи» за схожість креслення з бджілкою, метеликом, що грецькою називалося «німфа». Але цим словом греки називали богинь, а також молодих жінок і наречених. Перекладаючи з грецької, арабський перекладач, не звернувши уваги на креслення, переклав слово «німфа» як «наречена», а не «метелик». Так з’явилася лагідна назва відомої теореми – «теорема нареченої».

3. Це оповідання, найшвидше, вигадка, бо відомо, що Піфагор був вегетаріанцем і непримиренним противником забою та пролиття крові тварин.

4. 18 футів

с²=40²+(50-х)²

с²=30²+х²

40²+(50-х)²=30²+х²

1600+2500-100х+х²=900+х²

100х=3200

х=32

50-32=18

5. Вірші про теорему Піфагора (відповіді учасників):

Суть истины вся в том, что нам она — навечно,

Когда хоть раз в прозрении ее увидим свет,

И теорема Пифагора через столько лет

Для нас, как для него, бесспорна, безупречна.

На радостях богам был Пифагором дан обет:

За то, что мудрости коснулся бесконечной,

Он сто быков заклал, благодаря предвечных;

Моленья и хвалы вознес он жертве вслед.

С тех пор быки, когда они учуят, тужась,

Что к новой истине людей опять подводит след,

Ревут остервенело, так что слушать мочи нет, -

Такой в них Пифагор вселил навеки ужас.

Быками, бессильным новой правде противостоять,

Что остается? –

Лишь, глаза закрыв, реветь, дрожать.

Во мгле веков пред нашим взором

Блеснула истина.

Она,

Как теорема Пифагора,

До наших дней еще верна.

Найдя разгадку, мудрый старец

Был благодарен небесам;

Он сто быков велел зажарить

И в жертву принести богам.

С тех пор быки тревожно дышат,-

Они, кляня дары богов,

О новой истине услышав

Ужасный поднимают рев.

Их старца имя потрясает,

Их истины лучи слепят:

И, новой жертвы ожидая,

Быки, зажмурившись, дрожат.

Пребудет вечной истина, как скоро

Её познает слабый человек!

И ныне теорема Пифагора

Верна, как и в его далёкий век.

Обильно было жертвоприношенье

Богам от Пифагора.

Сто быков

Он отдал на закланье и сожженье

За света луч, пришедший с облаков.

Поэтому всегда с тех самых пор,

Чуть истина рождается на свет,

Быки ревут, её почуя, вслед.

Они не в силах свету помешать,

А могут лишь закрыв глаза дрожать

От страха, что вселил в них Пифагор.

А. фон Шамиссо

Если дан нам треугольник

И притом с прямым углом,

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдем:

Катеты в квадрат возводим,

Сумму степеней находим —

И таким простым путем

К результату мы придем.

И.Дырченко.

Еще когда то Пифагор

Снял треугольника проблему

Любой из школьников сейчас

Докажет эту теорему

Квадраты катетов сложить

И вот квадрат гипотенузы

Обязан каждый изучить

Зависимых сторон союзы

Но в жизни иногда решить

Другую нужно теорему

Никто не может описать

Трехгранную

Любви дилему

Извечная проблема трех

Всегда выходит кто то лишний

Решить ее никто не смог

Совет здесь будет не излишним

Того кто формулу для всех

Напишет, кто решит проблему

Постигнет на века успех

Его восхвалят теорему

Ввів інший поет вже цю тему

В свій вірш, - але як мені буть?

Прадавню одну теорему

Не можу я забуть.

Стояв там трикутник, як ментор,

Й один кут прямий в йому був,

І саме ось цим елементом

Він славу й визнання здобув.

Вродливиці гіпотенузі,

Що стрімко здіймалася ввись,

Два катети, вірнії друзі,

В любові до смерті клялись.

Та їхні обійми їй тісні,

Тож пісню співає вона,

Й геометрам всім у цій пісні

Втіх більше, а ніж від вина.

Хто зовсім ще глузду не втратив,

Не може забути про це,

Що сума для а й в квадратів

Квадратові рівна для с!

Ця пісня й холодній медузі

Тепла і жаги додала.

Вже лиш за це гіпотенузі

Й двом катетам честь і хвала!

Г.Вебер

Геометрію вивчаєм

Другий рік уже підряд.

Теорем вже так багато,

Що попробуй всі їх знать.

Теорема Піфагора – це

Найкраща й головна,

Найскладніша і проста

В геометрії вона.

Про трикутник прямокутний

Й Піфагорові штанці

Зможем ми тоді дізнатись

Про його властивості.

Що квадрат гіпотенузи

І квадрати катетів –

Вони рівні між собою,

Як всі сторони квадратиків.

Коли вчитель біля дошки

Теорему поясняла,

Ми дивились на малюнок

І всі тихо посміхались.

Хтось давно вже це сказав,

Ще й примовки написав

Що: «Піфагорові штанці

Файні є у три кінці.

Ми доводим теорему,

Піфагора знаєм всі.

Розв`язати нам задачу

Не складає труднощів.»

Прямоугольный треугольник:

Квадраты катетов сложи,

Квадрат гипотенузы ты получишь.

Запомни раз и навсегда, и больше не тужи!

6. Посилання на відео, у якому розкрито теорему Піфагора (відповіді учасників):

https://www.youtube.com/watch?v=kME6Gv5XVV8&list=FLtSQi20tJ9nrcXAD2kfKuqA

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/fakultativ/formulirovka-i-dokazatelstvo-teoremy-pifagora

https://www.youtube.com/watch?v=V2SVghYNNpE

https://www.youtube.com/watch?v=gdCF3w7P2mA

https://www.youtube.com/watch?v=4GJWoxnADks

https://www.youtube.com/watch?v=O9qaVR2Xf-g

https://www.youtube.com/watch?v=hrfIlszuvCE

7. Задачі, при рішенні яких необхідно застосувати теорему Піфагора (відповіді учасників):

• Найти площадь прямоугольного треугольника, если известно, что один из его катетов на 5 см больше другого, а гипотенуза равна 25 см.

• Чи може прямокутний трикутник мати сторони:3,4,5? Розв’язання:3 в квадраті+4 в квадраті=5 в квадраті тобто,25=25,і тому прямокутний трикутник може мати сторони 3,4,5

• Між двома фабричними спорудами влаштований похилий жолоб для передачі матеріалів. Відстань між спорудами дорівнює 15 м, а кінці жолоба розміщені на висоті 4м і 12м над землею. Знайдіть довжину жолоба

• В розрізі теплиця має рівнобедрений трикутник з бічними сторонами по 13м і основою 24м. Знайти висоту теплиці.

• Відстань по прямій лінії від Іспериху в Тутракан і Дулово дорівнює 40 км і 28 км відповідно. Поєднуючи три міста, отримуємо прямий кут в Іспериху. Знайдіть відстань від Дулово до Тутракан.

• У центрі квадратного ставка, що має 10 футів в довжину і ширину, зростає очерет, що підноситься на один фут над поверхнею води. Якщо його пригнути до берега, до середини боку ставка, то він своєю верхівкою досягне берега. Яка глибина ставка в сучасних одиницях довжини (1 фут наближено дорівнює 0,3 м)?

• Ескалатор метрополітену має 17 сходинок від підлоги наземного вестибюля до підлоги підземної станції. Ширина сходинок 40 см, висота 20 см. Визначте довжину сходів та глибину станції по вертикалі.

• Ви пливете на лодці по озеру і хочете дізнатись його глибину. Чи можливо для цього скористатися очеретом, що виглядає із води, не вириваючи його?

• Корабель бачить світло маяка за 250 метрів. Висота маяка 25 метрів. Знайти відстань від корабля до маяка

• За 40м одна від однієї ростуть дві ялинки. Ви заміряли їх висоти: виявилося, що одна із них має висоту 31м, а інша, молода – 6м. Чи можете ви обчислити, якою є відстань між їхніми верхівками?

8. У старих шкільних підручниках наводилося доказ теореми через отримання рівності суми площ квадратів, побудованих на катетах прямокутного трикутника, площі квадрата, побудованого на гіпотенузі цього трикутника. Побудовані на сторонах трикутника і розходяться в різні боки квадрати нагадували крій чоловічих штанів, що породило жартівливі чотиривірші, наприклад: Піфагорові штани - На всі сторони рівні. Такі вірші придумували учні середніх століть при вивченні теореми; малювали шаржі. Ось, наприклад, такі:

9. Способи доведення теореми Піфагора (відповіді учасників):

http://dorobok.edu.vn.ua/article/view/284

http://kucherenkolyada.blogspot.com/p/blog-page_25.html

http://svitppt.com.ua/geometriya/sposobi-dovedennya-teoremi-pifagora.html

http://pifagor140.blogspot.com/p/blog-page.html

http://nsportal.ru/ap/library/drugoe/2014/05/28/dovedennya-teoremi-pifagora

Завдання 4

Завдання 5

1. Всього є 16 примітивних Піфагорових чисел для c ≤ 100:

(3, 4, 5)( 5, 12, 13)( 7, 24, 25)( 8, 15, 17)( 9, 40, 41)(11, 60, 61)(12, 35, 37)(13, 84, 85)(16, 63, 65)(20, 21, 29)(28, 45, 53)(33, 56, 65)(36, 77, 85)(39, 80, 89)(48, 55, 73)(65, 72, 97)

28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7

496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + ... + 30 + 31

8128 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + ... + 126 + 127.

4. Сума кількох послідовних непарних чисел, починаючи з одиниці, дорівнює квадрату їх кількості

1+3 = 4

1+3+6 = 9,

1+3 + 5 + 7 = 16,

1+3 + 5 + 7 + 9 = 25 і т. д.

5. Піфагорійці називали складені числа, які можна подати у вигляді добутку двох множників, - «плоскими числами», а ті, які можна подати у вигляді добутку трьох множників, - «тілесними числами». Прості числа, які не можна подати у вигляді добутків, вони називали лінійними.

6. З одного боку число 36 є сумою кубів трьох перших чисел натурального ряду (1³+2³+3³), а з іншого боку – сумою перших чотирьох парних чисел і непарних чисел (2+4+6+8)+ (1+3+5+7)=36.Увесь світ на думку піфагорійців, був побудований на перших чотирьох непарних і перших чотирьох парних чисел, а тому найстрашнішою клятвою в них вважалася клятва числом 36.

7. Найчарівнішою із усіх геометричних тіл вважалася куля.

8. Всяке непарне число є різницею квадратів двох послідовних чисел:

3 = 2² -1²,

5 = 3² -2²,

7 =4² -3²,

13 = 7² -6² і т. д.

Завдання 6

1. Легенди про Піфагора (відповіді учасників):

Легенда про емблему школи Піфагора

Один з учнів Піфагора помирав на чужині та не міг заплатити господарю за притулок і догляд. Він попросив господаря на своєму житлі зобразити такий знак і пояснив: якщо колись хто-небудь із піфагорійців побачить його, то щедро віддячить господарю за все. Так і сталося. Через кілька років інший піфагорієць, побачив знак, дізнався у господаря про те, що сталося, і щедро нагородив його.

Легенда про Гіппаса

Існує легенда про те, як один з учнів Піфагора на ім’я Гаппас порушив клятву, дану братерству і поділився з людьми одним відкриттям. У чому воно полягало і ще за легендою сталося потім Гіппасом? Піфагорійці знайшли перше в історії доведення несумірності діагоналі квадрата та його сторони. Довели, здивувалися і … злякалися. Виявилося, немає ні цілих, ні раціональних чисел, квадрат яких дорівнював би, наприклад, 2. Виходить, існують якісь інші числа! Це настільки суперечило їхньому вченню, в основі якого лежали лише раціональні числа, що вони вирішили (заприсяглися своїм магічним числом 36) засекретити своє відкриття. Відповідно до легенди, учень Піфагора Гіппас Месопотамський після смерті Піфагора розсекретив цю таємницю. Він був «покараний» богами і загинув під час морської бурі.

Легенда про смерть Піфагора

Сонну тишу нічного Метапонта прорізав жахливий крик. Почулося падіння на землю важкого тіла, тупіт тікаючих ніг, і все замовкло. Коли нічний караул прибув на місце події, в мерехтливому світлі смолоскипів всі побачили розпростертого на землі старця, і неподалік від нього - хлопчик 12 років з обличчям, перекошеним від жаху.

- Хто це? - Запитав начальник караулу у хлопчика

- Це Піфагор, - відповів той.

- Хто такий Піфагор? Серед жителів міста немає громадянина з таким ім'ям.

- Ми недавно прибули з Кротона. Мій пан повинен був ховатися від ворогів, і виходив тільки вночі. Вони вистежили його і вбили.

- Скільки їх було?

- Я цього не встиг помітити в темряві. Вони відкинули мене вбік і накинулися на нього. Начальник караулу став на коліна і доклав руки до грудей старця.

- Кінець, - сказав начальник.

Легенда про народження Піфагора

В VI столітті до нашої ери осередком грецької науки та мистецтва стала Іонія – група островів Егейського моря, які знаходяться біля берегів Малої Азії. Там, у сім’ї золотих справ майстра Мнесарха народився син. За легендою, в Дельтах, куди приїхали Мнесарх із дружиною Парфенісою, - чи по справам, чи у весільну подорож оракул пророчив їм народження сина, який буде славитися віками своєю мудрістю, справами та красою. Бог Апполон, вустами оракла, радить їм плити у Сірію. Пророцтво збувається – в Сидоні Парфеніса народила хлопчика. І тоді, за давньою традицією, Парфеніса приймає ім’я Піфіада, на честь Апполона Піфійського, а сина називає Піфагором, на честь пророцтва піфії. У легенді нічого не сказано про рік народження Піфагора; історичні дослідження датують його появу на світ приблизно 580 роком до нашої ери. Повернувшись із подорожі, щасливий батько будує церкву Апполону та оточує молодого Піфагора піклуваннями, які могли б сприяти виповненню пророцтва Апполона.

Легенда про перебування Піфагора у полоні

Згідно старовинним легендам, у полоні у Вавилоні Піфагор зустрічався із персидськими магами, прилучався до східної астрології та містики, познайомився з вченням халдейських мудреців. Халдеї познайомили Піфагора зі знаннями, які збиралися східними народами протягом багатьох віків: астрономією та астрологією, медициною та арифметикою. Ці науки у халдеїв у значній мірі спиралися на уявлення про магічні та надприродні сили, вони надали певне містичне звучання філософії та математиці Піфагора… Дванадцять років знаходився у вавилонському полоні Піфагор, доки його не звільнив персидський цар Дарій Гістасп, прочувший про відомого грека. Піфагору вже 60, він вирішує повернутися на батьківщину, щоб прилучити до набутих знань свій народ!

Дерево розуму

Одного разу відомий вчений Піфагор посадив дерево розуму. Але дерево те не просте, а чарівне . Щоб дерево росло треба щоб за ним доглядала не проста а розумна людина, така як і сам Піфагор.

Піфагор все своє життя доглядав за цим чудо деревом, поки не постарів і не покинув цей світ.

Потрохи, потрохи дерево розуму почало занепадати. І коли дерево майже занепало, люди зрозуміли свою провину але це були прості селяни які не мали жодної освіти. І коли ці новини дійшли до людей знатного роду, які мали добру освіту, вийшовши до людей вони сказали:

- Що ж, ми не зможемо продовжити його справу, і виростити дерево розуму.

І ось так кожний вчений вклав в це дерево частинку своєї душі та розуму.

А дерево виросло велике привелике.

Легенда о могуществе молчания.

… Это произошло две тысячи пятьсот лет тому назад. На берегу тёплого Тарентского залива стоял маленький тихий дом. Жители греческого городка Кротона считали этот уединённый дом странным и таинственным. Возможно, они не задумывались над тем, почему он кажется им таким необычным, но всё же старались возле него не задерживаться.

Зато у крыльца этого дома с облегчением снимали котомки странники. Были это в основном молодые люди, и шли они издалека – одежда в пыли, сандалии стоптаны, лица утомлены. Юноши подходили к дому утром, когда вода в заливе ещё спала; и в полдень, когда множество рыбачьих лодок взбаламучивали тихую гладь залива; и поздним вечером, в прохладный сумеречный час.

Иногда они сразу же исчезали за скрипучей дверью, иногда подолгу переминались с ноги на ногу, не решаясь войти, и тревожно оглядывались…

Но никто из жителей городка не помнил случая, чтобы кто-нибудь из чужеземцев обратился бы к старожилам с расспросами. И никто не помнил случая, чтобы юноши беседовали между собой…

И это тоже было странно и придавало дому ещё большую таинственность.

В этом доме жил Пифагор. Учёный, мудрец, чудак. Здесь он создал школу, которая превратилась в философско-политический тайный союз. Греки считали за честь учиться у Пифагора математике. Впрочем, люди учатся у него математике до сих пор. С его именем знаком каждый школьник.

В те времена, когда Пифагор преподавал своим ученикам, он требовал от них выполнения тяжкого условия – брал в свою школу только тех, кто смог до поступления соблюдать молчание в течение пяти лет!

И, несмотря на необычный и жестокий искус, многие стремились попасть в эту школу.

Вот почему возле дома мудреца в любое время года можно было встретить чужеземных юношей. Вот почему никто из жителей городка не слышал их голосов…

Пифагор верил: познать суть, меру и связь явлений, надо погасить в себе суетность. Надо пробудить интуицию – волшебное и необъяснимое свойство, которое помимо воли человека помогает ему проникнуть мысленным взором в загадочный механизм, управляющий жизнью вселенной.

Пифагор был убеждён, что только в состоянии напряжённой сосредоточенности можно надеяться понять тайну сущего…

Возможно, он преувеличивал хрупкость мысли, рождающейся в нашем мозгу. Возможно, ошибался, так благоговейно стараясь оградить её от грохота внешнего мира. Но это благоговение прекрасно. Так серьёзно, так бережно не относился к человеческому разуму никто, кроме Пифагора.

Возможно, Пифагор был слишком жесток к юным своим ученикам; теперь уж никто не становится математиком такой дорогой ценой. Может быть, в своей крайней преданности науке он перегибал палку, на годы лишая молодых людей обычных радостей жизни. Но то, что дали человечеству Пифагор и его ученики, бессмертно. То, что узнали они о мире, служит нам по сей день. Своим подвигом пифагорейцы прославились на все времена.

Не располагая, надёжными опытными данными, не опираясь ни на какие достоверные теории – это были младенческие времена человечества, - они пытались лишь силою интуиции построить то, что сегодня можно назвать математической моделью Вселенной.

Пропорції між числами створюють світову гармонію.

Збереглася легенда про те, як Піфагор прийшов до цієї ідеї. Одного разу він проходив повз кузні і зауважив, що неоднакові по вазі молоти, вдаряючись об ковадло, видають звуки різної висоти. Ця залежність може бути виражена числами, отже, «число володіє речами». Числа пов'язані з геометричними фігурами (трійка - з трикутником, четвірка - з чотирикутником і т.п.). П'ять стихій, з яких складаються всі матеріальні тіла, теж пов'язані з числами. Так, Земля складається з частинок кубічної форми, Вогонь - з тетраедрів (чотиригранний пірамід), Повітря - з октаедрів (восьмигранників), Вода - ікосаедр (двадцятигранник). У філософії Піфагора з'являється уявлення про п'яту стихію (якої не було в міфології) - Ефір; частинки Ефіру - додекаедри (дванадцятигранники)».

Вот что рассказал своим друзьям Телавгу и Гиппию старец Лисид.

- Жил да был в Древней Греции купец по имени Мнемарх. Однажды накупил Мнемарх товаров, чтобы плыть в дальние страны. В те времена плавать по морям было опасно: буря могла разбить корабль, финикийские пираты нападали на путешественников и захватывали их в плен.

Чтобы узнать будущее, можно было обратиться к оракулу - предсказателю. Оракул гадал по внутренностям жертвенных животных, по полету птиц и другими способами. Иногда оракул закрывал глаза и говорил какие-то непонятные слова. Надо было разгадать эти слова - в них заключалось предсказание.

В городе Дельфы оракулом была женщина. Ее звали Пифия. Она не говорила загадками, а просто-напросто каждому объясняла, что с ним случится. Такая была замечательная предсказательница. И Мнемарх поплыл в Дельфы.

- Что произойдет со мной? - спросил Мнемарх. - Будет ли удачным мое путешествие?

- Очень удачным, - ответила Пифия. - Потому что, когда ты вернешься домой, ты получишь подарок, о котором заботится само Небо. И это подарок не только для тебя, но и для многих людей, которые даже еще не родились...

- Что же это за подарок такой, а, Пифия? - спросил Мнемарх.

- Потом узнаешь, - улыбнулась она.

В этом путешествии у Мнемарха все получилось как нельзя удачно. Плавание было долгое, с полгода. Все товары свои Мнемарх продал, финикийцев на море не встретил, получил большую прибыль и наконец возвратился на свой родной остров Самос.

Когда Мнемарх открыл дверь своего дома, он услышал тоненький писк: «Уа! Уа!» Оказалось, его жена Парфенида родила ему сына.

Тут-то и вспомнил Мнемарх предсказание Пифии о «подарке, о котором заботится само Небо». Он прижал к сердцу младенца, но тут раздался стук в дверь. Это был Арисмондий, жрец Аполлона, мужчина статный и на вид мудрый.

- Я полагаю, этот ребенок - сын самого бога Аполлона, - сказал жрец.

- Как ты можешь такое утверждать? - спросил Мнемарх.

- Так можно истолковать слова Пифии, - ответил Арисмондий. - Кроме того, Парфенида настолько умна, красива и благородна, что достойна самого высокого жребия. Очень редко, но так случается, что отец родившегося ребенка - не его родной отец, а какой-нибудь бог. Например, великий герой Геракл, совершивший двенадцать подвигов, был сыном самого Зевса, главного бога Олимпа. Это очень почетно для земных родителей. И нет сомнения, что этот малыш - сын Аполлона: посмотри на его сверкающие глазенки, посмотри, какие длинные у него волосики! А какие хорошенькие ручки и ножки! Давай же назовем его Пифагором в честь Пифии, а Парфениду отныне будем звать Пифаидой. Ты согласна, женщина?

И Арисмондий с улыбкой взглянул на будущую мать. Та лишь кивнула.

- Тогда не забудь, - обратился жрец к Мнемарху, - принести богатую жертву храму Аполлона в знак благодарности и смирения пред волей богов.

Вот так на земле в древние времена, в Греции, на зеленом острове Самос родился мальчик со странным именем Пифагор, который стал одним из величайших людей Земли, а жрец Арисмондий не преминул на этом еще и «заработать»... Говорят, Арисмондий умер от жадности и обжорства...

2. Казки про прямокутний трикутник (відповіді учасників):

Далекій-далекій країні Геометрії було одне дивовижне місце — місто Теорем. Одного разу до цього міста прийшла дівчина на ім'я Гіпотенуза. Вона хотіла знайти собі житло, але їй скрізь відмовляли. Довго блукала Гіпотенуза вулицями міста Теорем, доки не побачила перекошений будиночок. Дівчина постукала у вікно, їй відкрив поважний господар, який звався Прямий кут, і дозволив Гіпотенузі оселитися у нього. Гіпотенуза залишилася в будиночку, де крім Прямого кута жили його два маленьких синочки — Катети. З того часу життя в будиночку Прямого кута докорінно змінилося. На вікнах з'явилися кімнатні квіти, а в саду — червоні мальви. Будиночок прийняв форму прямокутного трикутника. Обом Катетам Гіпотенуза дуже сподобалася, і вони попросили її назавжди залишитися з ними. Вечорами ця дружна сім'я збиралася за сімейним столом. Іноді Прямий кут грався зі своїми дітьми у піжмурки. Найчастіше шукати доводилося йому, а Гіпотенуза ховалася так майстерно, що знайти її було надзвичайно важко. Одного разу під час гри Прямий кут помітив цікаву закономірність: якщо вдається знайти Катети, то відшукати Гіпотенузу зовсім просто.

І зараз Прямий кут користується своїм відкриттям, і, треба сказати, досить успішно. Воно й послужило основою для теореми Піфагора.

У Трикутному містечку

У далекому-далекому Геометричному королівстві було славне Трикутне місто, в якому жили різні трикутники. Її величність Геометрія полюбляла влаштовувати для них Гімнастику розуму. Одного разу вона завітала у гості до трикутників і запропонувала навести лад біля своїх будинків та не абияк, а пофарбувати присадибові майданчики лише у два кольори, причому фарби видала в однаковій кількості. Кожна сторона Трикутника мала фарбувати свій майданчик тільки одним кольором.

Гострий кут ніяк не міг примирити своїх дітей, бо ті почали сваритись, яка сторона більша. Тупий кут дуже любив відпочивати і весь час лежав то в ліжку, то в кріслі, тож, йому було не до роботи. Рівносторонній трикутник не міг второпати, як це лише два кольори, коли у нього три однакові доньки – Сторони і кожна має однаковий за площею майданчик. А Рінобедрений трикутник вважав себе струнким і гарним красенем, тому нічого не хотів змінювати навколо себе.

До роботи охоче взявся Прямий кут. Він був справжнім господарем та щасливим батьком, бо мав старшу доньку Гіпотенузу та двох синів Катетів, які жили дружно і завжди допомагали один одному. Прямий кут знав, що у сусідній країні трапилось лихо – злий Чаклун зруйнував багато будинків, тому її мешканцям потрібна допомога. Він запропонував своїм дітям пофарбувати майданчики швидко й гарно, щоб переселенцям сподобалось. Гіпотенуза – старша сестра, тому їй дісталось одне відро фарби. Друге відро, як завжди, двом братам, які ніколи не сварились. Залишилось тільки вибрати колір. Гіпотенуза прошепотіла щось братам на вухо, і ті відразу вибрали синю фарбу. Сама ж дівчина взяла відро із жовтою фарбою. Робота закипіла. Через годину вулицю Прямокутних трикутників було не впізнати. А вранці сталося диво - на майданчику Гіпотенузи виросли соняхи, а на майданчиках Катетів розцвів барвінок.

-Тепер точно мешканцям тієї країни сподобається, адже це їхні кольори і їхні квіти. Молодці, діти! – задоволено сказав Прямий кут.

Відтоді вулиця Прямокутних трикутників стала головною у місті. А її величність Геометрія ще з більшою повагою почала ставитися до Прямого кута. Вона всім розповідала, як дружно живуть діти Прямого кута. Гіпотенуза – старша сестра, тому й виконує завжди ту роботу, яку виконують разом два Катети-братики. Так їх учив дідусь Піфагор, так учить їх і батько Прямий кут!

Жили-були на білому світі король Циркуль і королева Лінійка. У них було велике королівство, в якому підданими були точки і відрізки. Одного разу піддані відправили делегацію до короля з королевою з проханням дозволити їм провести бал. Циркуль та Лінійка дали свій дозвіл, але поставили одну умову: точки можуть танцювати тільки з точками, а відрізки - з відрізками. При цьому відрізки не мають права перетинатися один з одним в точках, які не є кінцями цих відрізків. "А в кінці балу, - сказав король, - я зроблю вам сюрприз".

І почався бал. Точки, взявшись за руки, водили хороводи навколо якоїсь однієї, яку вони назвали центром. А відрізки, з'єднавшись кінцями, утворювали самі різні фігури. Всім було добре і весело, а король з королевою, сидячи на своїх тронах, весь час хитро поглядали на веселяться підданих. І раптом ... Король встав і плеснув у долоні. Всі застигли. І тоді королева сказала: "Ось так, як ви тепер стоїте, ви і будете жити завжди. Королівським Указом я забороняю вам розчіплюватися. Таким чином, в нашому Королівстві з'являться нові піддані: кола, багатокутники і т.д. "

І почалася в тому королівстві зовсім інше життя. Але тут раптом трикутники виявили, що на відміну від всіх інших фігур, складених з відрізків, вони не можуть змінювати своєї форми. У всіх багатокутників, крім них, була хоч якась рухливість, тобто, не змінюючи своєї довжини, будь-який відрізок, що не розчіплюючи з сусідом, міг зробити крок в сторону, а в багатокутнику змінювалися від цього тільки величини кутів, але чотирикутник все одно залишався чотирикутником, п'ятикутник - п'ятикутником і т.д. А ось відрізки, з яких складалися трикутники, нікуди рушити не могли. Зрозуміли трикутники, що це нечесно і пішли до короля скаржитися, але і король не мав права скасувати свій Указ і дозволити трикутниках роз'єднатися. Тоді він їм сказав: "Я дам вам те, чого немає ні в однієї іншої фігури! У вас будуть власні бісектриси! "Трикутники образилися:" У кожного кута є своя бісектриса. Та й у кожному багатокутнику можна провести стільки бісектрис, скільки у нього кутів ". Але король заперечив трикутникам, пояснивши їм, що бісектриса кута - це промінь, а бісектриси трикутників, тобто бісектриси їх кутів, будуть відрізками, бо їх будуть обмежувати протилежні цим кутах сторони. Але трикутникам цього було мало, та й справді, хіба не можна провести бісектрису кута чотирикутника і обмежити її протилежної кутку стороною? Тоді королева раптом каже: "Є у мене для вас подарунок". Покликала вона до себе один з трикутників (а треба сказати, що була вона одягнена не в ошатне плаття з сантиметровою шкалою, а в просте однотонне вбрання), то покликала пажа-олівця і за допомогою чоловіка розділила одну зі сторін трикутника навпіл і ... з'єднала середину сторони з протилежного вершиною трикутника! "Цей відрізок, - сказала Лінійка, - буде називатися медіаною. А вона може бути тільки у трикутника! "Трикутники жахливо зраділи, а потім вирішили, що вже якщо, маючи певні сторони і кути, вони не можуть ніяк змінюватися, то треба використовувати це для своєї вигоди. Сиділи вони, думали, ворожили і придумали.

Спочатку вони довго дивилися один на одного і побачили, що якщо дві сторони одного трикутника відповідно дорівнюють двом сторонам іншого трикутника, а кути, укладені між ними, рівні, то у цих трикутників будуть рівні не тільки треті сторони, а й два інших кута! Тобто такі трикутники будуть рівні. Потім вони побачили, що те ж саме буде, якщо сторона і два прилеглих до неї кути одного трикутника відповідно рівні стороні і двом прилеглим до неї кутам іншого трикутника. А, зрештою, вони розгледіли й те, що якщо три сторони одного трикутника відповідно рівні трьом сторонам іншого трикутника, то й такі трикутники теж будуть рівні!

Пішли з цим відкриттям трикутники знову до короля з королевою, щоб повідомити їм про те, що вони виявили. І видали тоді король з королевою Указ про те, що всі ці твердження відтепер будуть називатися "Ознаками рівності трикутників". А вже цього-то точно ні в яких інших фігур немає і ніколи не було.

На цьому трикутники і заспокоїлися. Тепер в королівстві циркуля і лінійки знову все спокійно.

У мудрому королівстві Теорема жив король, якого звали Прямокутний трикутник. Було у нього два сини - Катети і дочка Гіпотенуза. Прямокутний трикутник хотів видати свою дочку заміж, але забув, скільки їй років. Тоді він видав указ: «Хто зможе підрахувати, скільки років Гіпотенузі, той і одружується з нею, та отримає половину королівства на додачу».

Тільки вийшов цей указ, як всі багаті жителі королівства вирішили спробувати щастя. Але як не рахували, обчислити вік принцеси не змогли.

Через деякий час до короля прийшов бідний хлопець, який жив на вулиці Піфагора. Для початку він запитав, чи пам'ятає король вік своїх синів. Король впевнено відповів, що одному 15 років, а другому 8. Хлопець швидко порахував, що принцесі 17 років. Так і отримав хлопець красуню-дружину та пів-королівства.

Пригоди діда Панаса

Жив-був дід Панас, який вирішив зайнятися бізнесом. Довго роздумував дід, аж раптом з полиці випала книжка «Ріпка».

- Ну тут все ясно – посаджу напевно я ріпку – подумав дід Панас та так і зробив.

Кожного дня дід вправно працював, ріпку поливав і отримав винагороду - велетенський коренеплід. Ну, - думає дід – час мою ріпку рвати. Взяв дід ріпку за зелений чуб, тягне-потягне, а витягти не може. Походив довкола ріпки, покрутився, аж раптом бачить, під нею нірка, а в нірці мишки тримають ріпку.

- В чому справа? – спитав дід Панас.

- Дай відповідь на наші запитання і ми відпустимо твою ріпку. – захіхікали миші.

- Який трикутник називають прямокутним?

- Прямокутний трикутник - це трикутник, в якому один кут прямий (тобто становить 90 градусів).

- Правильно. – відповіли мишки і відпустили ріпку.

Зрадів дід і знову потягнув ріпку, але вона не витягується. Раптом сама ріпка мовила до діда Панаса:

- Слухала я, як ти вправно відповів на запитання. Ти дуже розумний. Важко тобі було?

- Та ні. – відповідає старий.

- Так дай відповідь і на моє запитання. Як відповіси, то витягнеш мене, а як ні, то мучитися тобі аж до самого ранку.

- Який трикутник називають піфагоровим?

- Якщо довжини всіх трьох сторін прямокутного трикутника є цілими числами, то трикутник називається піфагоровим трикутником, а довжини його сторін утворюють так звану піфагорову трійку.

- Молодець!!! – зраділа ріпка і вискочила з землі.

А дід Панас продав ріпку, заробив грошей і повторив тему «Прямокутний трикутник». З тих пір всі приходили до старенького, якщо потрібна була допомога з трикутниками.

Пригоди в місті Трикутників

Жили-були в країні геометрії двоє друзів: Олівець і Циркуль. Одного разу вони гуляли по парку і зустріли маленьку заплакану Точку.

- Чому ти плачеш, Точко? - запитав Олівець.

- Я така маленька і нікому не потрібна, мене ніхто не бачить, - сумним голосом відповіла Точка.

- Не плач! - сказав Циркуль - Ми щось придумаємо!

- Правда? - запитала Точка.

- Звичайно, ми недавно там були! - вигукнув Циркуль.

І ось пішли друзі в місто, в якому все трикутне: чоловічки, будинки, гори, дерева, автомобілі і навіть хмари. Точка дуже зраділа. І ось йдуть вони по Набережній. Раптом почули пісеньку, яку співали будівельники:

Ти на нас, ти на нас, уважно подивись.

У нас усе, у нас усе, у нас усе по три.

Три сторони і три кути і стільки ж в нас вершин.

Ми всі справи, ми всі справи, ми тричі завершим.

Трикутники веселі ми, дружніших не знайти.

Бо в нас усе, бо в нас усе, у нас усе по три.

З піснею робота пішла ще швидше, і вмить стіна була готова.

Пішли вони далі гуляти по місту і жителі подарували гостям чарівні палички. За допомогою цих паличок можна скласти будь-який трикутник. Точка зацікавилася і запитала:

- Які можна скласти трикутники і як це зробити?

Олівець каже:

- Трикутники можна скласти не з будь-яких трьох паличок. Які б ми два з трьох відрізків не взяли, вони разом повинні бути довші від третьої.

- А з трьох однакових можна завжди скласти трикутник, - сказав Циркуль.

- Так, так, про такий трикутник кажуть, що у нього всі сторони рівні, і він називається рівностороннім, - додав Олівець.

- А які ще можна скласти трикутники? - запитала Точка.

- Можна скласти тупокутний, гострокутний, прямокутний, рівнобедрений трикутники, - сказав Циркуль.

- Розкажи, Олівець, про рівнобедрений трикутник! - попросила Точка.

- Трикутник, у якого дві сторони рівні, - відповів Олівець.

-У такого трикутника кути при основі завжди рівні, - додав Циркуль.

- Розкажіть мені про гострокутний трикутник, - сказала Точка.

- Трикутник з гострим кутом називається гострокутним! – відповів Олівець.

- А про тупокутні розповісте? - запитала Точка.

- Так! Трикутник, в якому є тупий кут, називається тупокутним.

- А тепер розкажіть мені про прямокутний трикутник! - попросила Точка.

- Якщо в трикутнику є прямий кут, значить трикутник прямокутний. У прямокутному трикутнику не може бути два прямих кути, - сказав Олівець.

- Що ще можете мені розповісти про трикутники? - сказала Точка, посміхаючись.

- У кожному трикутнику можна побудувати три висоти, три медіани, три бісектриси.

І раптом відрізки ожили. Цих відрізків звали Висота, Бісектриса і Медіана.

- А ось я в трикутнику виходжу з однієї будь-якої вершини на протилежну сторону і ділю її навпіл, - каже Медіана.

- Я поділяю кут на два рівних кути! – хвалилася Бісектриса.

- А ось я виходжу з вершини трикутника на протилежну сторону під прямим кутом! – вигукнула Висота.

- А хочете ми покажемо вам фокус? - хором сказали всі відрізки.

- У рівносторонньому трикутнику ми всі рівні між собою, тобто Медіана є Бісектрисою і Висотою; Бісектриса - Медіаною і Висотою; Висота - Бісектрисою і Медіаною. І всі ми виходимо з однієї точки.

- Як це зрозуміти «виходимо з точки»? - запитала Точка.

- Справа в тому, що ти, Точка, одна з трьох вершин трикутника, і граєш дуже важливу роль в трикутнику.

- Тепер ми все тобі розповіли про трикутники. Нам пора повертатися додому, - сказав Олівець. І друзі повернулися додому, до країни Геометрії. Точка більше ніколи не сумувала, бо вона розповіла всім, яку роль вона відіграє в трикутнику. І всі стали з нею дружити!

3. Вперше дерево Піфагора побудував Босман (1891—1961) під час другої світової війни, з використанням звичайної креслярської лінійки. Однією з властивостей дерева Піфагора є те, що, якщо площа першого квадрата дорівнює одиниці, тоді на кожному рівні сума площ квадратів також буде дорівнювати одиниці.Якщо в класичному дереві Піфагора кут дорівнює 45 градусам, то також можна побудувати і узагальнене дерево при використанні інших кутів. Таке дерево називають "обдуваним"

Результати участі

Учасники веб-квесту

Завдання 1

Завдання 2

Завдання 3

Завдання 4

Завдання 5

Фіналісти

Завдання 6

Переможці веб-квесту

Вітаємо переможців ІІ веб-квесту з математики!

І місце – Собчук Владислав, учень 8 класу Артемівської ЗОШ

ІІ місце – Костенко Євген, учень 8 класу Гур’ївської ЗОШ

ІІІ місце – Греджук Лілія, учениця 9 класу Сухоєланецької ЗОШ