Ймовірність життя
Вірогідне нам завжди здається неймовірним…
Еріх Марія Ремарк
У житті немає гарантій, існує тільки ймовірність.
Том Кленсі
У нашому світі кожен з нас стикається з випадковими явищами. З чим це пов'язано? Чому вони відбуваються? Чи випадкові вони? Вчені до цих пір не прийшли до єдиного рішення.
Що чекає нас в майбутньому? Даним питанням задавався кожен з нас. Як передбачити, що з нами буде через рік, два? В даний час існує теорія, яка допомагає отримати відповіді на такі питання. Ми називаємо її теорією ймовірностей.
Теорія ймовірностей чи теорія ймовірності - це один з розділів вищої математики. Ми часто застосовуємо її в реальному житті. Щодня нам доводиться приймати рішення, які згодом вплинуть на наше життя. І для того, щоб ці рішення виявилися для нас сприятливими ми користуємося цією теорією.
Запрошуємо всіх охочих зробити перші кроки до теорії ймовірностей та взяти участь у черговому веб-квесті з математики "Ймовірність життя"!
Оскільки веб-квест - це гра, то не варто забувати, що в житті є таке поняття, як удача. Це тоді, коли ймовірність появи цієї події занадто мала, але при цьому дана подія сталося. Тому потрібно працювати над собою, над своїми рішеннями, щоб підвищити ймовірність появи сприятливих подій для нас. І якщо у вас щось не виходить, то не варто здаватися, адже завжди є та незначна ймовірність удачі.
Мета квесту:
розвивати логічне мислення учасників гри;
підвищити вміння учасників користуватись Інтернетом безпечно;
сприяти розвитку ІТ-компетентності учасників навчально-виховного процесу.
Учасники:
Учні 6-11 класів загальноосвітніх навчальних закладів.
Терміни проведення:
07.03 - 08.03 - перше завдання
09.03 - 10.03 - друге завдання
11.03 - 12.03 - третє завдання
13.03 - 14.03 - четверте завдання
15.03 - 16.03 - п'яте завдання
17.03 - 18.03 - шосте завдання
До останнього завдання будуть допущені учасники, які набрати більше 50% необхідних балів за попередні п'ять завдань. Кращі з кращих отримають цікаві призи. Переможці будуть оголошені 19.03.2017 р.
Організатор квесту: Богданова О.О., вчитель математики та інформатики Новоодеської гуманітарної гімназії.
Спосіб зв'язку:
e-mail: bogdanova111112@gmail.com
Останні приготування:
Отже, 7 березня 2017 року ми розпочинаємо нашу подорож "Всесвітньою павутиною". На Вас чекають шість завдань, під час яких вам доведеться бути кмітливими, творчими, уважними, а в останньому завданні показати вміння навчатися самостійно та опановувати нові технології.
Для подорожі слід знати декілька правил безпечного користування Інтернет-ресурсами. Для цього ознайомтесь з інформаційною сторінкою "Як вільно користуватись Інтернетом і при цьому залишатись безпечним"
Всі завдання будуть розміщуватись в день відкриття (див.графік) з 8 до 9 ранку. Прийматись відповіді будуть до 23-55 останнього дня.
Для участі у веб-квесті необхідно заповнити реєстраційну картку:
Перевірити свою реєстрацію ви зможете за допомогою карти учасників (запис може з'явитися протягом доби):
Завдання 1. Історичне
Завдання
Історія теорії ймовірності відзначена багатьма унікальними особливостями. Перш за все, на відміну від інших розділів математики, які виникли приблизно в тому ж проміжку часу, у теорії ймовірностей по суті не було античних або середньовічних попередників, вона цілком — здобуток Нового часу. Довгий час теорія ймовірностей вважалася суто дослідної наукою і "не зовсім математикою", її строге обґрунтування було розроблено тільки в 1929 році. У наші дні теорія ймовірностей займає одне з перших місць в прикладних науках за широтою своєї області застосування; "Немає майже жодної природничої науки, в якій так чи інакше не застосовувалися б ймовірнісні методи".
У нашому першому завданні ми відкриємо завісу минулого та дізнаємося, який був початок у дослідженні ймовірності.
1. Яке походження слова "ймовірність"?
2. Історично вивчення імовірності починалось із вивчення стратегій для азартних ігор. Роботи яких математиків поклали початок до вивчення ймовірностей з наукового підходу?
3. У XVII столітті почало формуватися чітке уявлення про проблематику теорії ймовірностей і з'явилися перші математичні (комбінаторні) методи вирішення імовірнісних задач. Яких видатних математиків вважають засновниками математичної теорії йовірностей?
4. Ще у середньовіччі у світ почали виходити книги, присвяченні теорії ймовірностей. Назвіть одне з таких видать та вкажіть автора.
5. У XIX столітті кількість робіт з теорії ймовірностей продовжувала зростати, були навіть компрометуючі науку спроби поширити її методи далеко за розумні межі. Назвіть одну таку спробу.
6. Математичний апарат теорії ймовірностей тим часом продовжував удосконалюватися. Яка основна сфера її застосування у ХІХ столітті?
7. У 1889 році французький математик Жозеф Бертран у своєму курсі "Аналіз ймовірностей" запропонував ряд парадоксів, пов'язаних з геометричною ймовірністю. У кожному парадоксі різні тлумачення понять "навмання" або "узяте довільно" призводило до різних рішень завдань. Приклад одного з парадоксів Бертрана: знайти ймовірність того, що вибрана навмання хорда кола виявиться довшою сторони вписаного в це коло трикутника. При різних методах вибору хорди "навмання" виходять різні відповіді. Який термін з'явився у теорії ймовірностей завдяки парадоксам Бертрана?
8. До середини XIX століття практичне застосування теорії ймовірностей було в основному обмежено статистикою і наближеними обчисленнями, тому загальний термін "випадкова величина" з'явився досить пізно. Одним з перших випадкових процесів у фізиці стало вивчене Робертом Броуном в 1827 році під мікроскопом хаотичний рух квіткового пилку, який плавав у воді. Який фізичний процес було досліджено?
9. Ймовірність і статистика стали тісно пов'язані завдяки роботі над перевірками гіпотез Фішера і Неймана. У яких дослідженнях використовують її результати?
10. Сучасна теорія ймовірностей базується на теорії міри. Ким була розроблена ця теорія?
За виконане правильно Завдання 1 ви зможете отримати 10 балів.
Відповіді запишіть до форми та натисніть кнопку "надіслати".
Відповіді
1. Ймовірне (англ. probable), очікуване (англ.likely) та інші тотожні назви походять з латинської probabilis та verisimilis були запропоновані Цицероном та означають "правдоподібний", або "цілком схвалений".
2. Науковий підхід до вивчення починався із робіт Джироламо Кардано, П'єра Ферма, Блеза Паскаля (1654), Християна Гюйгенса (1657), Якоба Бернуллі (1713), Абрахама де Муавра (1718), Томаса Баєса (теорема Баєса) та ін.
3. Засновниками математичної теорії ймовірностей стали Блез Паскаль і П'єр Ферма.
4. Книги, присвячені теорії ймовірностей (відповіді учасників):
"Книга про гру в кості" Джироламо Кардано
Дороговцев А.Я "Збірник задач з теорії ймовірностей"
В. Е. Гмурман. "Теория вероятностей и математическая статистика"
Велика математична енциклопедія "Сума арифметики, геометрії, відносин і пропорцій" італійця Луки Пачолі (1494)
Паскаль - книга "Трактат про арифметичний трикутник" (1665).
Християн Гюйгенс, - опублікував власне дослідження "Про розрахунки в азартних іграх" (1657): перший трактат з теорії ймовірностей.
Галілео Галілей, - трактат "Про вихід очок при грі в кості" (1718 рік, опублікований посмертно)
Трактати П'єра де Монмора "Досвід дослідження азартних ігор" (фр. Essay d'analyse sur les jeux de hazard; опублікований в 1708 і перевиданий з доповненнями в 1713 році)
Якоба Бернуллі "Мистецтво припущень" (лат. Ars conjectandi; опублікований вже після смерті вченого, в тому ж 1713 рік).
"Парадокси в теорії ймовірностей" автор: Секей Г., 1990р.
5. Наприклад, на область моралі, психології, правозастосування та навіть богослов'я. Зокрема, валлійський філософ Річард Прайс, а слідом за ним і Лаплас, вважали за можливе розрахувати за формулами Баєса ймовірність майбутнього сходу сонця, Пуассон намагався провести імовірнісний аналіз справедливості судових вироків і достовірності показань свідків. Філософ Дж.С.Мілль в 1843 році, вказавши на подібні спекулятивні застосування, назвав обчислення ймовірностей "ганьбою математики". Ця та інші оцінки свідчили про недостатню строгість обгрунтування теорії ймовірностей.
6. Основною сферою її застосування в той період була математична обробка результатів спостережень, що містять випадкові похибки, а також розрахунки ризиків в страховій справі та інших статистичних параметрів.
7. Обговорення парадоксів Бертрана сприяло уточненню підстав теорії ймовірностей і сенсу терміна "рівновірогідно"
8. Броунівський рух
9. Широко застосовуються в біологічних і психологічних експериментах та клінічних дослідженнях лікарських засобів. Наприклад гіпотеза, що препарат, як правило, ефективний, підвищує ймовірність розподілу який можна було б спостерігати якби гіпотеза була вірною. Якщо спостереження приблизно узгоджується з гіпотезою, то її вважають підтвердженою, а якщо ні - то гіпотеза відкидається.
10. Сучасна теорія ймовірностей, яка базується на теорії міри, була розроблена Андрієм Колмогоровим в 1931 році.
Завдання 2. Ймовірність гри
Завдання
Ще в глибокій старовині з'явилися різні ігри. Перші завдання імовірнісного характеру виникли в різних азартних іграх - кістках, картах та ін.
У Древній Греції і Римі широкого поширення набули ігри в астрагали (тобто кидання кісток з кінцівок тварин) і гральні кістки (кубики з нанесеними на гранях точками).
Нині гральні кістки іноді виготовляють у вигляді додекаедрів і ікосаедрів. У одній з азартних
(слово "азартний" походить від арабського "азар" - важкий, тобто рідко випадаючі комбінації кісток) ігор кидалися одночасно чотири астрагали і фіксувався результат.
Гірший бросок, при якому випадає більш за одну одиницю, називався "собакою". Кращим результатом вважали кидок "Венера", коли на чотирьох астрагалах випадали різні грані.
Пізніше азартні ігри поширилися в середньовічній Європі. Зокрема у XIV ст. з'явилися гральні карти. У XVII ст. азартні ігри сприяли зародженню і становленню комбінаторики і науки про випадкове.
Учені XV - XVII вв. багато уваги приділили розв’язуванню завдань про поділ ставки, про гру в кістки, про лотереї. Особливий інтерес і жваве обговорення в ймовірності гри викликала "задача про розорення гравця" Гюйгенса Ван Стоутена.
В теорiї ймовiрностей ми маємо справу з трьома видами подiй:
Достовірна подія - подія, яка відбудеться в будь-якому випадку якщо дотримуватися всіх умов, для його здійснення. Граючи в кістки, рано чи пізно виграєш.
Випадкова - випадковий виграш, наприклад, коли людина почала грати і сам того не очікуючи, відразу ж виграв.
Неможлива подія - коли можливість виграшу дорівнює 0.
Наприклад, песик говорить людським голосом - подія неможлива. Потяг на станцiю прибув за розкладом - подія достовірна. У Києві опiвднi свiтить сонце - випадкова подія.
У наступному завданні пропонуємо учасникам спробувати теорію ймовірностей у грі. А грати ми будемо із заядлим гравцем Добі, який весь час хоче обіграти іншого гравця обманом. Визначте, чи надурив гравця-опонента Добі, визначивши вірогідність події?
За правильно виконане Завдання 2 ви зможете отримати 15 балів
Відповіді
а) випало число 3 - випадкова подія
випало число, менше ніж 7 - достовірна подія
випало парне число - випадкова подія
випало число, що ділиться на 7 - неможлива подія
випало число, менше ніж 5 - випадкова подія
б) вийнята кулька зелена - випадкова подія
вийнята кулька синя - випадкова подія
вийнята кулька біла - неможлива подія
вийнята кулька кольорова - достовірна подія
в) випадання на верхній грані грального кубика числа, більшого за 6 - неможлива подія
випадання на верхній грані грального кубика числа, не більшого за 6 - вірогідна подія
випадання на верхніх гранях двох гральних кубиків у сумі 13 очок - неможлива подія
виграш за одним білетом лотереї - вірогідна подія
витягування з коробки кольорової кулі, якщо в ній є 3 синіх і 5 червоних куль - вірогідна подія
витягування з коробки жовтої кулі, якщо в ній є 3 синіх і 5 червоних куль - неможлива подія
Завдання 3. Ймовірність у дослідженнях
Завдання
Нам часто приходиться проводити різні спостереження, досліди, брати участь у експериментах або
випробуваннях. Часто такі експерименти завершуються результатами, які заздалегідь передбачити
неможливо.
Наприклад, ми купуємо лотерейний квиток і не знаємо, виграємо чи ні.
Чи можна якимось чином оцінити шанс появи результата, який нас цікавить?
Відповідь на це питання дасть теорія ймовірностей.
Експеримент - дослід, випробування, спостереження, виміри, результати яких залежать від випадку
і які можна повторити багато разів в однакових умовах.
У наслідок експерименту подія може відбутися або не відбутися.
Випадкова подія - будь-який результат випадкового експерименту.
Наприклад: підкидання монети - випав герб, підкидання грального кубика - випало 6 очок,
вимірювання температури води - температура води 40 градусів.
Випадкові події позначають великими літерами латинського алфавіту: A,B,C,D…
Ймовірність події А позначається Р(А) та обчислюється за формулою Р(А)=m/n, де m - число, що
показує скількома способами може з’явитись дана подія під час одного експерименту. n - число,
що показує скільки всього можливо подій під час даного експерименту (множина елементарних
подій).
Ймовірність неможливої події дорівнює 0.
Ймовірність вірогідної події дорівнює 1.
Ймовірність ймовірної події знаходиться у проміжку від 0 до 1.
Наступне запитання від відомого фізика-дослідника Альберта Ейнштейна
Яка ймовірність випадання "орла" під час підкидання монети? Кількість можливих подій 2 (випав
герб або випала цифра). Тоді ймовірність ймовірної події "випав "орел" дорівнює 1/2. Давайте
доведемо це експериментально.
Проведіть 100 дослідів з монетою: підкиньте монету 100 раз, зафіксуйте кількість випадання
"орла", обчисліть ймовірність випадання "орла", зробіть висновок. Оформіть власне дослідження,
використовуючи редактор презентацій та надішліть презентацію організатору веб-квесту на адресу
bogdanova111112@gmail.com
Зробіть обчислення ймовірностей ймовірних подій та запишіть результати до форми:
Подія А: випало 5 очок на гральному кубику
Подія В: виграв у шахи
Подія С: не влучив у мішень
Подія D: витягли з корзинки синю кульку (у корзині 4 сині, 3 білі та 3 жоті кульки)
Подія I: випало 13 очок під час підкидання 2-х кубиків
Всього за Завдання 3 учасники зможуть отримати 10 балів: по 1 балу за обчислення ймовірностей
ймовірних подій та 5 балів за дослід (1 бал за презентацію, 1 бал за вказану кількість
випадання "орла", 1 бал за обчислення ймовірності, 1 бал за висновок, 1 бал за оригінальне
представлення)
Відповіді
Дослідження учасників:
Подія А: 5 очок може випасти 1 раз, а кількість можливих подій - 6, Р(А)=1/6
Подія В: виграш може бути 1 раз, кількість можливих подій - 3 (виграв, не виграв, нічия), Р(В)=1/3
Подія С: влучити можна 1 раз, кількість можливих подій - 2 (попав, не попав), Р(С)=1/2
Подія D: кількість синіх кульок у корзині - 4, загальна кількість кульок - 10, Р(D)=4/10=2/5
Подія I: подія неможлива, оскільки максимальна кількість очок, які можуть випасти при підкиданні 2-х кубиків - 12, Р(І)=0
Завдання 4. Ймовірність злочину
Завдання
За легендою, майбутній нобелівський лауреат Гері Бейкер, запізнюючись на важливу зустріч, задумався: чи варто ставити машину там, де стоянка заборонена? Це загрожує штрафом, але заощаджує час. Щоб змусити людину, що розглядає можливість скоєння злочину, відмовитися від злочинних намірів, потрібно або збільшити ймовірність того, що він буде спійманий, або покарання, яке він понесе. І те й інше знизить очікувану корисність від вчинення злочину; значить, він скоріше відмовиться від свого наміру.
Так, наприклад, в юриспруденції, коли підлягає суду факт встановлюється на підставі показань свідків, він завжди залишається, строго кажучи, лише ймовірним, і необхідно знати, наскільки ця ймовірність значна. Необхідно відзначити що в римській мові слово ймовірність споріднене слову чесність.
Наступне завдання від Шерлока Холмса.
1. СМАЧНОГО!
- Гарненька історія! - промовив Шерлок Холмс, вислухавши фрау Пепприх, у якої тільки що вкрали двох відгодованих до свята гусей. - Тепер розкажіть, будь ласка, усе по порядку.
- Я була в сусідки. Повертаючись додому, помітила, що двері сараю відчинені. Я впевнена, що зловмисник викрав би всіх гусей, але його, напевно, хтось попередив. Мені здалося, що, коли я виходила від Леманів, хтось свиснув.
- Значить, ви почули свист? - замислено промовив Шерлок Холмс. - Доведеться ближче познайомитися он з отим парубком.
- Я нічого не бачив і не чув, - заявив мотоцикліст, торкаючись мотора мотоцикла. - Я тут тільки-но зупинився, у мене щось трапилось із мотоциклом. Мабуть, мотор зіпсувався.
- У вашому поясненні, парубче, дещо не відповідає дійсності, - сказав Шерлок Холмс. - Я хотів би побажати вам смачного на той випадок, якщо під час свята замість гуски вам доведеться задовольнятися тюремною юшкою.
Чому іШерлок Холмс запідозрив молодика у співучасті в крадіжці?
2. ХТО Ж ЗЛОЧИНЕЦЬ?
- Зникло рівно дві тисячі п'ятдесят шість марок. Я двічі перерахував суму.
- Кого ви підозрюєте у злочині?
- Відверто кажучи, не знаю, - відповів касир.
- Розкажіть, як це було.
- Це відбулось за таких обставин. Я перераховував гроші. Раптом у кімнаті стало темно. Погасла лампа. Я поставив на стіл стілець, видерся на нього і схопився за лампу денного світла. Від сильного опіку я похитнувся і впав на підлогу. Деякий час я був непритомним, а, прийшовши до пам'яті, побачив увесь цей безлад. Гроші зникли. По телефону я сповістив про те, що трапилося, заводську охорону. Ось, будь ласка, і все, що я можу вам повідомити.
- Я звинувачую вас у крадіжці грошей. Усе розказане вами - цілковита вигадка, оскільки ...
Що сказав Шерлок Холмс касиру?
3. ЗІПСОВАНЕ СВЯТО
Великоднє свято Шерлок Холмс проводив у колі сім'ї Плюм. І раптом неприємність - зникло яйце. Яскраво розмальоване великоднє яйце з пап'є-маше, усередині якого був схований коштовний браслет - подарунок для господині дому. У розпалі пошуків у вітальню зайшов схвильований містер Джеймс, брат господині, і розповів таке:
- Я весь цей час був на веранді. Випадково озирнувшись, я побачив, як мій п'ятирічний племінник Томмі, який був один у кімнаті й стояв біля стола, раптом подивився на яйце, що лежало на шафі, виліз на стілець, схопив це яйце і зник у садку. Я кинувся за ним, ось оболонка яйця, я знайшов її в кущах... "Томмі, а куди ти подів браслет? - спитав я його. - Ану, кажи, маленький розбійнику!"
Ображений хлопчик заявив, що нічого не знає. Він не заперечував того, що дійсно був один у кімнаті й роздивлявся розфарбовані в різні кольори яйця, але яйця з пап'є-маше не бачив.
Щоб відновити первісну картину, яйце було покладено на книжкову шафу.
- Спитайте-но краще свого шановного дядька Джеймса, чи не поверне він вам викрадений браслет, - раптом сказав Шерлок Холмс. - Його розповідь зовсім неправдоподібна.
Чому Шерлок Холмс прийшов до такого висновку?
4. НЕУВАЖНИЙ ШАХРАЙ
- Та відчепіться ж ви нарешті від мене! Я дуже поспішаю.
- Якщо ви зараз же не зупинитесь, я змушений буду вдатися до крайніх заходів, - сказав Шерлок Холмс, який як ніколи вчасно опинився на місці пригоди. - Адже це ви зараз узяли в магазині рукавички й пішли, не заплативши за них.
- Це неправда! Я справді тільки що був у магазині, але зайшов туди лише для того, щоб побачити знайому продавчиню, яка три дні тому продала мені ці рукавички. З тих пір я ношу їх постійно, оскільки вони нагадують мені про цю милу дівчину.
- Не кажіть дурниць, - заперечив Шерлок Холмс, - і попрошу вас пройти зі мною.
Чим Шерлок Холмс зможе підтвердити своє звинувачення?
5. НОВОРІЧНА ЯЛИНКА
- Я повинен ретельно обшукати вашу квартиру, оскільки ваш сусід стверджує, що вчора, у новорічну ніч, у той час коли він разом з вашою сім'єю розспівував веселі пісеньки під вашою ялинкою, що виблискувала різнокольоровими лампочками, ви проникли в його квартиру і викрали в нього ряд цінних речей, - сказав Шерлок Холмс, звертаючись до пана Майєра.
- Дуже шкодую, пане, але цього разу ми зустрічали Новий рік у наших друзів. Правда, я прикрасив ялинку і навіть повісив на неї гірлянду старих лампочок, але вдома нас не було.
А втім, дивіться самі, моя квартира до ваших послуг. Я зараз розбуджу сина і дружину. Вони ще сплять, адже ми повернулися додому досить пізно.
- Мені здається, у цьому нема ніякої потреби, - сказав Шерлок Холмс. - Мені ясно, що ваш сусід - брехун.
Чому Шерлок Холмс вирішив, що його обманюють?
Доведіть ймовірні припущення Шерлока Холмса та отримайте 10 балів.
Відповіді
Шерлок Холмс звернув увагу на недоречність між словами і справами мотоцикліста. Мотор не міг настільки швидко охолонути, щоб його можна було тримати голою рукою. А мотоцикліст демонстративно показував його інспектору. Отже, заява мотоцикліста про те, що він тільки-но під'їхав - неправда.
Очевидно, касир ніколи не торкався до лампи денного світла (а саме така лампа встановлена в довгому вузькому плафоні на стелі), інакше він би знав, що лампи холодного світла не нагріваються вище температури 40-45°С.
Дядько Джеймс випустив з виду, що Томм занадто малий на зріст, щоб побачити яйце, яке лежало на шафі.Його могла побачити тільки людина висока на зріст, тобто сам містер Джеймс.
Покупець говорить неправду. Хай він навіть і купив з неуважності 2 рукавички на одну й ту ж саму руку - це буває, але стверджувати, що він їх носить уже 3 дні, дуже підозріло.
В гірлянді на ялинці немає однієї лампочки. Якщо в ній не вистачає однієї лампочки, то це значить, що ялинка взагалі не засвітиться.
Завдання 5. Парадокси ймовірностей
Завдання
"Існують три види брехні: брехня, зухвала брехня і статистика". Ця фраза, приписана Марком Твеном прем'єр-міністрові Великобританії Бенджаміну Дізраелі, непогано відбиває відношення більшості до математичних закономірностей. Дійсно, теорія ймовірності іноді підкидає дивні факти, в які складно повірити з першого погляду, - і які, проте, підтверджені наукою
Ще в 1812 році відомий французький математик П.Лаплас писав: "Цікаво те, що науці, яка почалась з розгляду азартних ігор, судилося стати одним з найважливіших об’єктів людського знання".
Ч.Пірс писав: "В жодній іншій галузі математики дослідник не помиляється так легко, як в теорії ймовірностей". Доказом цього є наявність у теорії ймовірностей значної кількості цікавих парадоксів, які відіграли важливу роль, ставши поштовхом подальшого розвитку даної науки.
Парадокс (від грец. - несподіваний, дивний; здаюся) - ситуація (вислів, твердження, судження або висновок), яка може існувати в реальності, але не має логічного пояснення.
Наступне завдання від автора "Тома Соєра", письменника, гумориста, сатирика, публіциста та видавця Марка Твена.
Деякі парадокси навіть після сотень років напруженої розумової праці математиків, філософів та економістів здаються невирішуваними. Хто знає, можливо, саме вам вдасться сформулювати рішення однієї з цих задач. Наприклад, парадокс сиру і дірок: Чим більше сиру, тим більше в ньому дірок!!! Але чим більше дірок, тим менше сиру!!! Отже, чим більше сиру, тим менше сиру?! – це і є парадокс.
Поясніть наступні парадокси:
Проблема курки і яйця. «Що з’явилося раніше – курка чи яйце?».
Корабель Тесея. Назва парадокса походить від одного з грецьких міфів, в якому описано подвиги Тесея, афінського царя. Згідно з легендою, кілька сотень років зберігався корабель, на якому Тесей повернувся з острова Крит в Афіни. Судно поступово старішало, тому теслі замінювали прогнилі дошки на нові. В результаті реконструкцій у корабля Тесея не залишилося ні шматочка старої деревини.Томас Гоббс, Джон Локк і інші філософи світу століттями розмірковували, чи можна вважати, що саме на цьому судні подорожував колись Тесей. Суть парадоксу полягає в наступному: якщо всі частини об’єкта замінити на нові, може він бути тим же самим об’єктом?
Парадокс ощадливості. Парадокс, який вперше описали Уодділ Кетчінгс і Вільям Фостер, виглядає таким чином: «Чим більше ми відкладаємо на чорний день, тим швидше він настане». Поясніть, у чому причина?
Парадокс цирульника. Припустимо, на перукарні ви побачили рекламне оголошення: «Ви голитеся самі? Якщо ні, ласкаво просимо голитися! Голю всіх, хто не голиться сам, і нікого іншого!». Постає питання: хто голить цирульника, якщо він голить лише тих, хто не голиться самостійно?
Або ось такий парадокс - напис на стіні: «Геть написи на стінах!» І таких парадоксів безліч. Напевно, багато хто з вас знають відомий парадокс давньогрецького філософа Зенона про те, що Ахіллес, як би він не був швидкий, не зможе наздогнати навіть саму повільну черепаху. Якщо черепаха буде хоча б на сантиметр попереду нього, то вона встигне просунутися ще на якусь відстань, поки Ахіллес доторкнеться до неї. Дивно, але логічно, тому вивчайте парадокси: від давнини і до наших днів - і ви обов`язково знайдете цікаву поживу для розуму.
Відповіді запишіть до форми
За виконане правильно Завдання 5 ви зможете отримати 10 балів!
Увага! До виконання Завдання 6 будуть допущені учасники, які набрали не менше 27,5 балів (див. таблицю результатів)!
Відповіді
Варто відзначити, що в класичному варіанті якраз йдеться про птаха і яйце, але і воно не допускає легкого рішення. Наприклад, динозаври, що з’явилися набагато раніше птахів, теж відкладали яйця. Тому проблему можна сформулювати таким чином: що з’явилося раніше – перша тварина, що відкладала яйця, або її яйце, адже повинен був вилупитися представник нового виду. Причинно-наслідковий зв’язок між явищами нечіткого обсягу. Для більшого розуміння цього явища можна ознайомитися з принципами нечіткої логіки – узагальнення класичної логіки і теорії множин. Тварини на різних еволюційних етапах відкладали різні об’єкти, які не можна визначити як яйця, але вони мають з ними деяку схожість. Об’єктивного вирішення цієї проблеми не існує, хоча британський філософ Герберт Спенсер запропонував такий варіант: «Курка – лише спосіб, яким одне яйце виробляє інше яйце».
Виникає ще одне питання – якщо зі старих частин зібрати такий же об’єкт, який із двох буде «тим самим»? Деякі суперечності в можливих рішеннях парадоксу досі існують. До речі, якщо врахувати, що клітини організму людини практично повністю оновлюються через кожні сім років, чи можна вважати, що ми бачимо в дзеркалі ту ж саму людину, що і сім років тому?
Під час економічного спаду велика частина населення починає економити, знижується загальний попит на товари, це в свою чергу призводить до зменшення заробітку і як наслідок – падіння економії і скорочення заощаджень. Замкнуте коло: споживачі витрачають менше грошей, цим погіршують свій добробут. Парадокс ощадливості з аналогічних проблем нагадує теорію ігри «дилема ув’язненого»: дії, які вигідні кожному учаснику ситуації окремо, шкідливі для ігроків в цілому.
Найлегше припустити, що недалекий перукар просто не подумав про протиріччя, що міститься в його оголошенні, але спробувати зрозуміти суть цього протиріччя набагато цікавіше, правда для цього доведеться поринути в математичну теорію множин: «Нехай K – множина всіх множин, яка не містить в собі якостей власного елемента. Чи містить множина K саму себе в якості власного елемента? Якщо так, це спростовує твердження, що множини в складі К -множини «не містять себе в якості власного елементу», якщо ж не містить, виникає протиріччя, що множина К є безліччю всіх множин, які не містять себе як власний елемент, тобто K повинно містити всі можливі елементи, включаючи себе». Проблема виникла і через те, що Рассел в міркуваннях використав поняття «множина всіх множин» (яке саме досить суперечливе) і при цьому керувався законами класичної логіки, які можна застосовувати не у всіх випадках. Відкриття парадокса цирульника спровокувало суперечки в різних наукових колах. Для «порятунку» теорії множин математики розробили кілька систем аксіом, але доказів несуперечності цих систем немає.
Все просто: наявна помилка однієї операції у фінальних розрахунках. Розглянемо покроково:
1) у постояльців в сумі 30 доларів, у господаря та коридорного по 0
2) у господаря 30 доларів
3) господар вирішив повернути мешканцям по долару, давши коридорному 5. Тепер у господаря 25, у коридорного - 5
4) коридорний повернув постояльцям по долару, прикарманив 2. У господаря залишилося 25, у постояльців в сумі 3, у коридорного - 2. Тобто, якщо вважати суми грошей, то на всіх кроках вони однакові і дорівнюють 30.
Завдання 6. Ймовірність життя.
Завдання
Увага! Усі зароблені бали у попередніх завданнях перетворюються у додаткові бонус-бали!
Дивна річ, але ми частіше діємо покладаючись на інтуїцію, ніж на здоровий глузд і розрахунок. На жаль, це стосується не тільки особистого життя, але і роботи. Пам'ятаєте стару історію про те, чи варто Біллу Гейтсу підбирати папірець в сто доларів з під ніг? Жартівники розраховували скільки заробляє Гейтс в хвилину і стверджували, що піднімаючи папірець він витрачає свій час неефективно.
Як ви вважаєте, чи варто йому піднімати ці гроші? Не поспішайте з відповіддю. Нехай Гейтс заробляє в хвилину 64 тисячі доларів. Це умовне число. Чи потрібно підняти папірець в сто доларів? Подумайте.
І тут ми отримуємо, пастку, яка закладена спочатку в самій постановці питання. Гейтс не витрачає свій особистий час для того, щоб примножувати статки, це роблять гроші на банківських рахунках. Тому нагнувшись, Білл отримає додаткові сто доларів і це виграшна ситуація для нього. Відчуваєте різницю в постановці питання? Я не беру до розгляду те, що емоційно як і будь-яка людина, він зрадіє тому, що знайшов таку купюру. І це буде пов'язано з тим, що знайти сто доларів рідкісна удача і мало хто може похвалитися цим. Ви знаходили сто доларів? Тільки відповідайте чесно. Якщо так, то що відчували?
Отже наступне, останнє завдання від відомого мільйонера Біла Гейтса.
Поняття ймовірності часто зустрічається не тільки у житті, а й в літературі, мистецтві, народній творчості.
О сколько нам открытий чудных
Готовят просвещенья дух
И опыт, сын ошибок трудных,
И гений, парадоксов друг,
И СЛУЧАЙ, бог изобретатель.
А.С.Пушкин
1. Знайдіть в літературі, мистецтві, народній творчості використання понять ймовірності та приведіть приклад.
Я вас здивую: ми всі в тій чи іншій мірі використовуємо теорію ймовірності, на основі аналізу подій, які відбулися в нашому житті. Ми знаємо, що смерть під час автомобільної аварії більш імовірна, ніж від удару блискавки, тому що перше, на жаль, відбувається дуже часто. Так чи інакше ми звертаємо на ймовірність речей увагу, щоб спрогнозувати свою поведінку. Але ось образа, на жаль, не завжди людина може точно визначити ймовірність тих чи інших подій.
Наприклад, не знаючи статистики, більшість людей схильні думати, що шанс загинути в авіакатастрофі більше, ніж в автомобільній аварії. Тепер же ми знаємо, вивчивши факти (про які, думаю, багато хто чув), що це зовсім не так. Справа в тому, що наш життєвий «окомір» іноді дає збій, тому що авіатранспорт здається значно страшніше людям, звиклим твердо ходити по землі. Та й більшість людей не так часто використовують цей вид транспорту. Навіть якщо ми і може оцінити ймовірність події вірно, то, швидше за все, вкрай неточно, що не матиме ніякого сенсу, скажімо, в космічній інженерії, де мільйонні частки вирішують багато. А коли нам потрібна точність, то ми звертаємося до кого? Звичайно ж, до математики.
2. Складіть поради щодо уникнення найпоширеніших помилок, пов'язаних з ймовірністю в житті: коли варто покладатися на ймовірність, а коли ні.
Результати виконання Завдання 6 оформіть за допомогою редактора презентацій та надішліть на адресу організатора веб-квесту bogdanova111112@gmail.com
Під час визначення переможців гри буде враховано:
- кількість знайдених понять ймовірності у літературі, мистецтві, народній творчості (за кожне по 1 балу)
- кількість порад, наданих учасниками (за кожну по 1 балу)
- бонусні бали, отримані за попередні 5 завдань
Відповіді
Результати гри
Переможці
Прикладів реального використання теорії ймовірності безліч. Практично вся сучасна економіка базується на теорії ймовірності. Випускаючи на ринок певний товар, грамотний підприємець напевно врахує ризики, а також ймовірності покупки в тому чи ринку, країні і т.д.
Практично не уявляють своє життя без теорії ймовірності брокери на світових ринках. Передбачення валютного курсу (в якому точно не обійтися без теорії ймовірності) на грошових опціонах або славнозвісному ринку Forex дає можливість заробляти на даній теорії серйозні гроші.
Теорія ймовірності має значення на початку практично будь-якої діяльності, а також її регулювання. Завдяки оцінці шансів тої чи іншої неполадки (наприклад, космічного корабля), ми знаємо, яких зусиль нам потрібно докласти, що саме перевірити, що взагалі очікувати в тисячі кілометрів від Землі. А головне, робити відповідні контрдії виходячи з отриманих даних.
Будь-яку діяльність будь-якої сфери можна проаналізувати, використовую статистику, розрахувати завдяки теорії ймовірності та помітно поліпшити.
На завершення нашої гри прошу всіх учасників взяти участь у цікавому розіграші бонус-балів. Запропонуйте можливу тему наступної гри веб-квесту з математики, яка відбудеться наступного року. Бонус-бали можна буде отримати у наступній грі з математики.
Усі з нетерпінням чекають підсумків гри і ось настав той хвилюючий момент, коли ми оголошуємо результати. А найкращими у черговій грі веб-квест з математики стали:
І місце - Павлова Тетяна, учениця 9 класу Кандибинської ЗОШ Новоодеської району Миколаївської області (вчитель-консультант Кравченко Валерія Володимирівна)
ІІ місце - Сергієнко Владислав, учень 9 класу спеціалізованої ЗОШ №7 м.Світловодськ Кіровоградської області (вчитель-консультант Яременко Любов Григорівна)
ІІІ місце - Норков Арсеній, учень 7 класу Первомайської ЗОШ №7 м.Первомайськ Харківсько області (вчитель-консультант Пурей Тетяна Альбертівна)
Вітаємо переможців гри та запрошуємо на наступну гру, яка відбудеться вже завтра, 20 березня 2017 р. А змагатися ми будемо у розділі "Природознавство" з теми "Хімія у побуті". Бажаємо успіхів!