Herleiden / Omschrijven

Algemeen

Een formule staat niet altijd in de vorm waarin je hem wilt gebruiken. Hier op formuleleren.nl staan bij elke formule verschillende vormen die je kan gebruiken. Maar je wilt ook zelf een formule kunnen herleiden of omschrijven. Op een toets of examen heb je deze website niet bij de hand of soms heb je een andere vorm nodig dan die hier op de website staan. Het kan zelfs voorkomen dat je met formules moet werken die hier niet staan. In het eindexamen wordt er vaak een opgave gestopt met een onbekende formule. Het is hoe dan ook nodig om formules om te kunnen schrijven.

Om handig te worden in het omschrijven van formules zijn twee zaken heel belangrijk en een heel handig:

• Ken de operatoren

• Zorg dat je de rekenregels kent

• Leer algemene vormen herkennen

Als je deze vaardigheden combineert kan je alles omschrijven naar een vorm die je nodig hebt. Maar hoe werkt dat dan? De operatoren geven aan wat de verbanden zijn tussen onderdelen in een formule. Als je de vorm van een formule gaat aanpassen moeten de verbanden blijven kloppen. Daarvoor gebruiken we vaak tegenovergestelden. Omdat links en rechts van het is-teken altijd gelijk moeten blijven moet ik zorgen dat als ik links iets verander ik rechts het zelfde verander. Andersom geld ook dat als ik iets verander aan de rechter kant ik het zelfde met de hele linker kant moet doen.

Het maakt nooit uit wat aan de linker en wat aan de rechter kant van het is-teken staat. Zolang de twee aan elkaar gelijk zijn blijven de verbanden kloppen. Je mag altijd de kanten omwisselen als dat zo uitkomt. 12 = 2 × 3 + 6 mag je ook opschrijven als 2 × 3 + 6 = 12. Het maakt niet uit of er cijfers, letters of symbolen staan. Links en rechts mag je altijd omruilen. Dat is handig want uit gewoonte willen we vaak de variabele of de grootheid die we zoeken links hebben staan en de berekening rechts zoals bij F_z = m·g·h. Als ik wil weten wat g is kan ik de kanten naar believen wisselen en dan van daar uit verder werken zodat je eerst krijgt m·g·h = Fz en dat kan ik vervolgens omschrijven naar g = Fz / (m·h).

Wat je misschien op hebt gemerkt bij het laatste voorbeeld is dat de m en de h eerst vermenigvuldigingen waren toen ze aan de 'g kant' van het is-teken stonden maar dat ze aan de 'Fz kant' delingen zijn geworden. Wanneer een onderdeel van een formule van kant wisselt gebruik je de tegenovergestelde bewerking. Optellen wordt aftrekken, vermenigvuldigen wordt delen, een macht kan een wortel worden etc. Hieronder wordt dat verder uitgelegd.

Optellen en aftrekken

Kijk eens naar het voorbeeld

4 + 2 = 6.

De plus geeft aan dat ik de delen vier en twee moet combineren en het is-teken geeft aan dat dit gelijk is aan het geheel zes. Ik kan de 'formule' omschrijven naar de vorm

6 - 2 = 4.

Dit kan je waarschijnlijk zonder erbij na te denken. Het geheel 6 min het deel 2 is het andere deel 4. Maar wat als ik er nu iets anders neer zet dan cijfers? Dan geldt precies het zelfde. Als ik heb

a + b = c

dan zijn a en b delen en is c het geheel. Ik kan dan ook het geheel min een deel doen om op het andere deel uit te komen namelijk

c - a = b.

Omdat a een variabele is kan er op die plek eigenlijk van alles staan. De enige voorwaarde is dat links en rechts van het is teken aan elkaar gelijk moeten blijven. Zelfs iets wat zelf weer uit meerdere delen bestaat. Kijk eens naar het volgende voorbeeld.

5x + (3/9) = y

lijkt een stuk ingewikkelder maar is precies van de zelfde vorm. Een deel plus een ander deel vormt een geheel. De 5x is dus het zelfde als de a of de 4 en de (3/9) is het zelfde als de b of de 2. Daarom kunnen we ook weer zeggen dat geheel min het ene deel is het andere deel dus

y - (3/9) = 5x.

Laten we nu op een andere manier naar de zelfde vergelijkingen kijken. Namelijk dat iets naar de andere kant van het is-teken halen betekent dat ik de omgekeerde bewerking moet doen. We beginnen weer met

2 + 4 = 6.

Als ik de 4 vrij wil krijgen moet ik zorgen dat alles wat aan de zelfde kan van het is-teken staat naar de andere kant wordt verplaatst. Er staat bij de 4 ook een 2. Om de 2 weg te krijgen moet ik bedenken wat het tegenovergestelde is en dat is -2. Om de twee dan weg te krijgen moet ik links en recht van het is-teken precies het zelfde doen. Stap voor stap zie je hieronder wat er gebeurt. In de praktijk zal je lang niet altijd alle stappen hoeven uit te schrijven. Maar voor nu geeft het wel inzicht.

2 + 4 = 6

beide kanten -2 toepassen

2 + 4 - 2 = 6 - 2

dit kan je vereenvoudigen

4 = 6 - 2

Nu is dit voorbeeld met een simpele som als deze niet zo indrukwekkend, maar nu met letters

a + b = c

om de b vrij te krijgen moet de a weg dus beide kanten -a

a + b - a = c - a

dit kan ik vereenvoudigen naar

b = c - a

We kunnen het zelfde ook weer doen voor de laatste vergelijking

5x + (3/9) = y

Stel we willen weten wat 5x is dan moet de +(3/9) naar de andere kant dus -(3/9)

5x + (3/9) -(3/9) = y -(3/9)

vereenvoudigen geeft

5x = y -(3/9)

We krijgen de zelfde uitkomsten als voorheen door een algemene techniek te gebruiken. Als je deze techniek goed toe past kan je alles altijd omschrijven naar een andere vorm. Als je een vergelijking of formule hebt met meer onderdelen geldt de zelfde techniek nog altijd. Voorbeeld:

a + 2b - c + 5d - e·f = g

en je wilt weten wat c is. Dan moet je alles wat aan de zelfde kant van het is-teken staat als c naar de andere kant gaan overzetten door de tegenovergestelde bewerking te doen.

a + 2b - c + 5d - e·f = g

wordt dan

c = g - a - 2b - 5d + e·f.

Ga maar na!

Een voorbeeld waarbij je dit in de natuurkunde gebruikt is bij het berekenen van spanningen, stroomsterktes en weerstanden bij serie en parallel schakelingen. I_tot = I₁ + I₂ + I₃ + … bijvoorbeeld kan worden omgebouwd om de spanning I₂ te berekenen als je de rest weet.

Vermenigvuldigingen en breuken

Het zelfde als wat hierboven beschreven staat geldt ook voor vermenigvuldigingen en breuken. Laten we simpel beginnen en het dan een beetje uitbouwen.

2 · 3 = 6

is een basisvorm die je kan gebruiken om te vergelijken met andere vermenigvuldigingen. Alles wat voor 2 · 3 = 6 geldt, geldt dan ook voor elke formule van de zelfde vorm. Wat kunnen we hier dan mee? We weten dat als we twee delen vermenigvuldigen we op het product uitkomen. We kunnen andersom redeneren dat het product gedeeld door het ene deel het andere deel is.

6 / 3 = 2.

En ook

6 / 2 = 3.

We zien dus dat we deze formule in drie vormen kunnen opschrijven omdat hij uit drie onderdelen bestaat. Je kan zien dat een van de drie vormen een vermenigvuldiging is maar twee van de drie vormen zijn een breuk of deling. Hoewel de onderdelen niet veranderen en ook de relatie tussen de onderdelen niet ,verandert wel de manier waarop je het opschrijft. En dat kan soms juist zijn wat je nodig hebt.

Laten we het nu met een natuurkunde formule proberen. De formule voor elektrische energie is

E = P · t.

We kunnen net zo goed opschrijven

P · t = E

want dat is het zelfde. Als je dan goed kijkt zie je weer precies de zelfde vorm terug komen als 2 · 3 = 6. Door twee factoren te vermenigvuldigen krijgen we een product. Door het product te delen door een van de factoren krijg je de andere factor. Dus

E / P = t

en ook

E / t = P.

Laten we er een andere formule bij halen.

D = E / m

is de formule om de dosis straling te bereken. Het lijkt misschien een hele andere vorm dan 2 · 3 = 6 maar deze formule had drie vormen en een daarvan is 3 = 6 / 2. En daar lijkt de formule voor de dosis precies op. Alles wat we hiervoor hebben besproken geldt nu dus ook weer. D en m zijn de factoren en E is het product. Ofwel

E = D · m.

Laten we er nu nog eens naar kijken vanuit de algemene techniek over hoe je iets naar de andere kant haalt. Daarvoor halen we er nog een formule bij van weer de zelfde vorm voor de Veerkracht

F_v = C·u.

Als ik nu wil weten hoe ik C of hoe ik u kan uitrekenen dan moet ik wat er nog meer aan die kant van het is-teken staat naar de andere kant halen door de tegenovergestelde bewerking te doen. Laten we beginnen met hoe we C kunnen uitrekenen.

F_v = C · u

De C staat niet alleen maar er staat een · u bij die we weghalen door links en rechts / u te doen

F_v / u = C · u / u

Het is hierbij belangrijk goed de rekenregels voor breuken en vermenigvuldigingen te kennen. Omdat u / u gelijk is aan 1 krijg je:

F_v / u = C · 1

En iets vermenigvuldigen met 1 blijft het zelfde dus

F_v / u = C

Je ziet hier hoe het komt dat als we links en rechts delen door u dat de / u aan de linker kant verschijnt maar dat de · u aan de rechter kant verdwijnt. Het is belangrijk dat je doorhebt waarom dit zo is want daarmee voorkom je veel fouten bij het omrekenen van formules.

Op dezelfde manier kan je in plaats van de C ook de u vrijmaken. Je krijgt dan:

F_v = C · u

Links en rechts delen door C

F_v / C = C · u / C

Omdat C / C aan de rechter kant gelijk is aan 1 krijg je:

F_v / C = u

En dat is het zelfde als u = F_v / C. Je mag zelf weten of je de kanten van het is-teken wisselt en op welk moment. Je kan beginnen de kant waar de u in zit links te zetten en dan de u vrij te schrijven of eerst de u vrij schrijven en dan de uitkomst van kant wisselen of helemaal niet van kant wisselen. Het maakt voor de berekening niet uit alleen voor het overzicht kan het handig zijn.

Machten en wortels

Machten en wortels gaan weer een stapje verder. Zoals uitgelegd bij operatoren is een positieve macht een bijzondere schrijfwijze voor een vermenigvuldiging. Een negatieve macht is een bijzondere schrijfwijze voor een breuk en een breuk als macht is een bijzondere schrijfwijze voor een wortel. Om weer te beginnen met een cijfervoorbeeld hebben we de volgende relatie:

3² = 9

waarbij we de positie van 3 het grondtal noemen, 2 is de macht en 9 is het product. Om de macht bij de 3 weg te krijgen moeten we links en rechts het tegenovergestelde van de macht doen, de wortel te nemen.

√(3²) = √(9)

Dit kunnen we verder vereenvoudigen naar

3 = 3

Want de wortel en macht heffen elkaar op en de wortel van 9 is 3. Laten we nu een natuurkunde voorbeeld erbij halen en gaan omrekenen met symbolen.

E_k = ½ · m · v²

is de formule voor het berekenen van de kinetische energie of bewegingsenergie. Stel ik wil weten wat de snelheid v van een voorwerp is. Dan moet je een vorm vinden waarbij er niet langer een macht bij de v staat. Maar om dat te kunnen doen moeten we eerst nog wat anders oplossen. De half en de m moeten uit de weg. Daarvoor gebruik je de rekenregels voor vermenigvuldigen en delen zoals hierboven beschreven.

(E_k · 2 )/ m = v²

krijg je door links en rechts te delen door ½ en door m. Omdat delen door een half het zelfde is als vermenigvuldigen met 2 gebruik ik liever die vorm omdat die overzichtelijker is. Maar nu hebben we de macht aan een kant en de rest aan de andere kant. Het is nu de zelfde vorm als het getallen voorbeeld. We kunnen het dus ook op de zelfde manier oplossen. Voor het overzicht zal ik wat er staat eerst van kant wisselen.

v² = (E_k · 2 )/ m

waarbij we de v² kunnen vergelijken met de 3² en de (E_k · 2 )/ m met de 9. Om dus te weten wat v is moeten we de macht weg krijgen door links en rechts de wortel te nemen. Wat hierbij heel belangrijk is om in de gaten te houden is dat de wortel over alles gaat wat aan een kant van het is teken staat. Voor de veiligheid kan je daarom het beste haakjes zetten dan kan je je daarin niet vergissen. Als de haakjes niet nodig zijn kan je ze altijd nog weglaten.

√ (v²) = √((E_k · 2 )/ m)

links maken de haakjes in dit geval niet uit. Zou ik de haakjes rechts niet schrijven en het op mijn rekenmachine invullen krijg ik een verkeerde uitkomt omdat de macht dan alleen over de E_k · 2 gaat. Maar de /m hoort ook binnen de wortel. Je kan nu verder vereenvoudigen naar de vorm

v = √((E_k · 2 )/ m)

Het is misschien niet zo simpel als een 3 maar je kan dit invullen en uitrekenen en dan weet je de snelheid.

Dan kijken naar wortels. Een wortel is het tegenovergestelde van een macht dus om een wortel weg te werken moet je een macht toepassen. Laten we weer een natuurkunde voorbeeld gebruiken:

T = 2π √(m/C)

is de formule om de trillingstijd te bepalen. Stel dat je de trillingstijd T hebt gemeten en je weet de veerconstante C maar je weet niet wat de massa van iets is dan kan je de formule omschrijven om dat uit te rekenen. Omdat de wortel alleen over de m/C gaat is het handig eerst de rest uit de weg te halen. Dat doen we door links en rechts te delen door 2 π

T/(2 π) = √(m/C)

Om nu de wortel weg te krijgen moet ik links en recht de macht doen. omdat er nu geen grondtal bij de wortel staat betekent het een 2de macht en moet ik links en rechts tot de macht 2 verheffen.

(T/(2 π))² = (√(m/C))²

Dit is verder om te schrijven naar de volgende vorm met gebruik van de rekenregels en omdat 2² gelijk is aan 4

T²/4π² = m/C

Als laatste moeten we nu de /C nog naar de andere kant halen en krijgen we

C· T² / 4 π² = m

Zo kunnen we alles omschrijven om de massa uit te kunnen rekenen.

Een andere manier om hier naar te kijken voor als je handig bent met wiskunde is de breuk notatie voor een macht en het toepassen van de rekenregels voor machten. Om uit

f⁴ = g

te bepalen wat f is moet ik de 4de machts wortel gebruiken. Maar dat is het zelfde als tot de macht 1/4. Door dat links en rechts toe te passen krijg je:

(f⁴)^1/4 = g^1/4

En de rekenregels laten zien dat ik een dubbele macht moet vermenigvuldigen. En 4 keer een kwart is 1 dus

f¹ = g^1/4

En iets tot de macht 1 is zichzelf dus de macht bij f is daarmee verdwenen. De 1/4 kunnen we ook schrijven als een wortel dus krijgen we:

f = ⁴√g