Operatoren

Algemeen

Operatoren geven aan wat de relatie is tussen verschillende onderdelen. Ze helpen verbanden zien en geven aan wat je moet doen als je iets wilt uitrekenen. Belangrijk is de volgorde waarin je operatoren moet toepassen als je ermee gaat werken. De volgorde is namelijk ook wat je rekenmachientje zal doen. Voer je dus iets verkeerd in in je rekenmachientje dan krijg je helaas de verkeerde uitkomst. De rekenregel voor de volgorde waarop je iets uitrekent is als volgt:

1. Tussen haakjes

2. Machten en wortels van links naar rechts

3. Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts

4. Optellen en aftrekken van links naar rechts

Is gelijk

=

Dit geeft aan dat wat er linkt en rechts van het teken staat aan elkaar gelijk zijn. Dit wordt vaak gebruikt om aan te geven dat iets een uitkomst of antwoord op een som is maar dat is niet de enige manier om het te gebruiken. Bijvoorbeeld de som 3 + 4 = .... Je zal hier waarschijnlijk 7 invullen en dat is juist. Maar wiskundig gezien zijn er veel meer mogelijkheden die allemaal even goed zijn. Je mag bijvoorbeeld ook 8 - 1 opschrijven. De uitdrukking 3 + 4 = 8 - 1 is ook waar. Als je de linker en rechter kant verder zou vereenvoudigen staat er nog altijd 7 = 7. De voorwaarde voor het = teken is dat wat er aan de linker- en rechter kant staat aan elkaar gelijk is. De vorm waar het in staat maakt voor het = teken niet uit (in een opgave kan de vorm wel heel belangrijk zijn). Als er een of meer variabelen in een formule staat is het soms lastiger om te zien. Daarom is het belangrijk de rekenregels goed te kennen zodat je goed met formules kan puzzelen om een vorm te vinden die je het beste kan gebruiken.

Plus

+

Dit geeft aan dat getallen bij elkaar moeten worden opgeteld. Elk getal geeft een positie aan op de getallenlijn. Bij optellen begin je op de getallenlijn op de positie van het linker getal in de som. Dan ga je net zo veel stappen de positieve kant op (omhoog) als de waarde van het rechter getal in de som. Bijvoorbeeld bij 5+3 begin je op positie 5 en gaat 3 stappen omhoog op de getallenlijn. Van 5 naar 6 naar 7 naar 8.

Min

-

Dit kan twee dingen betekenen. Als de - tussen twee getallen of symbolen staat betekent het dat je het rechter getal van het linker getal moet aftrekken. Dat is het tegenovergestelde van optellen. Je gaat dan op de getallenlijn in de negatieve richting (omlaag). 5-3 begint op 5 en gaat dan in drie stappen naar 4, 3 en eindigt op 2.

Als de - voor een getal of symbool staat betekent het dat het getal negatief is. Om meerdere dingen te kunnen beschrijven en uitrekenen is bedacht dat we vanaf de 0 niet alleen omhoog willen gaan maar ook omlaag. Een negatief getal geeft aan hoe ver naar beneden je van de 0 vandaan bent. Hoe groter het getal hoe verder weg. We geven dit aan door een - voor het getal te zetten. Een positief getal kan je vermenigvuldigen met -1 om even ver van de 0 vandaan te komen maar dan aan de andere kant. Een negatief getal kan je verder weer gebruiken met andere operatoren. Om verwarring te voorkomen worden dan vaak haakjes gebruikt om het verschil tussen een aftrekken en negatieve getallen aan te geven. Bijvoorbeeld: 5 - (-3) + (-1 )× 7. Vermenigvuldigen gaat voor optellen dus eerst -1×7=-7. Dan krijg je 5-(-3)-7. De dubbele min heft elkaar op. De eerste min stuurt je naar beneden op de getallenlijn maar de tweede stuurt je weer de andere kant op dus weer omhoog. Je krijgt dan 5+3-7. Dat is het zelfde als 1.

Keer

× of * of ·

Dit geeft aan dat je het linker en rechter getal met elkaar moet vermenigvuldigen. Vermenigvuldigen is een bijzondere manier van optellen. Je neemt het linker getal en telt dit net zo vaak bij zichzelf op als het getal rechts. Bijvoorbeeld 3×4 is het zelfde als 3+3+3+3. Andersom kan ook namelijk door het getal rechts net zo vaak bij zichzelf op te tellen als het getal links. Je krijgt dan 4+4+4. Beide optelsommen geven de zelfde uitkomst namelijk 12.

Vermenigvuldigen kan op vele manieren worden opgeschreven. Met een × of een . of een *. Als er geen verwarring kan ontstaan door twee dingen naast elkaar te zetten wordt een vermenigvuldigingsteken zelfs helemaal weg gelaten. Als ik een 4 en een 8 naast elkaar zet is het teken nodig omdat er anders 48 kan worden gelezen. Je schrijft dan 4 x 8. Als je een 2 en een variabele a hebt is het teken niet nodig. 2a kan je namelijk niet gemakkelijk verkeerd lezen. Als een getal of variabele voor haakjes staat zonder iets ertussen dan bedoelen we daar ook een vermenigvuldiging mee namelijk alles wat tussen de haakjes staat vermenigvuldigen. Een voorbeeld is m(gh+1/2v²). Dit is het zelfde als mgh + 1/2 m v². Dat zijn zwaarte energie en kinetische energie.

Gedeeld door

÷ of /

Dit geeft aan dat je alles wat boven de deelstreep staat moet delen door alles wat onder de deelstreep staat. Datgene wat boven de deelstreep staat heet de teller. Wat onder de deelstreep staat heet noemer. Bij delen verdeel je de teller in gelijke stukken. De noemer laat je weten hoeveel stukken je moet maken. Let er op dat een noemer uit meerdere variabelen en constanten kan bestaan. Dat geld ook voor de teller. Bereken dan eerst de waarde van de teller en noemer en ga daarna pas delen. Let bij het invoeren op je rekenmachine ook op dat je haakjes gebruikt om alles wat in een noemer of in een teller bij elkaar hoort samen te zetten. Zo is 12/4×3 niet het zelfde als 12/(4×3).

Machtsverheffen

a² of a^2

Dit wordt meestal aangegeven met superscritpt, een klein symbool rechts boven datgene waarop je de macht wilt toepassen. Soms wordt ook een dakje gebruikt. Het getal waarop je de macht wil toepassen heet het grondtal. De macht geeft aan hoe vaak je je grondtal met zichzelf moet vermenigvuldigen. Eigenlijk is het dus een speciale notatie voor een specifieke manier van vermenigvuldigen.

5² is hetzelfde als 5×5 en dat is hetzelfde als 25. Op de zelfde manier is 5⁷ hetzelfde als 5×5×5×5×5×5×5 en hetzelfde als 78125. Een macht is een manier van opschrijven die soms veel overzichtelijker is. Soms hangt het van de situatie af tot welke macht je iets moet verheffen. In dat geval kan de macht een variabele zijn zoals bijvoorbeeld bij het berekenen van de rente op je spaarrekening: beginsaldo×0.03^x . De macht x is dan het aantal jaar dat het geld op de rekening staat. Zo kan je deze formule voor elk willekeurig jaar gebruiken.

Machten kunnen ook negatief zijn. Een negatieve macht is het zelfde als 1 delen door het grondtal met de positieve macht. bijvoorbeeld is a^-2 het zelfde als 1/a². In de natuurkunde komt vaak een 10 met een negatieve macht voor. Dat is dus het zelfde als delen door 10 met de macht als positief getal. 5×10^-3 is het zelfde als 5/1000.

Worteltrekken

√

Wortels zijn het tegenovergestelde van machten. De meest bekende is de tweedemachts wortel. We bedoelen daarmee dat twee de zelfde getallen vermenigvuldigd met elkaar het getal geeft dat in de wortel staat. Omdat deze zo vaak wordt gebruikt schrijven we de twee niet eens meer op en staat er alleen een wortelteken. Een voorbeeld is √ 9 = 3 want 3×3 is hetzelfde als 9.

Je kan ook een ander getal voor de wortel zetten zoals ⁴√16. Daarmee bedoel is een getal dat vier keer zichzelf (of met andere woorden tot de macht 4) het zelfde is als 16. Het antwoord daarop is 2 want 2×2×2×2 is gelijk aan 16. Het getal voor de wortel is de macht van de wortel. Het voorbeeld hierboven is daarom een vierdemachts wortel.

Een andere manier om naar een wortel te kijken is als een breuk. De macht van de wortel is dan de noemer van de breuk. Een 5de machts wortel van a is ook op te schrijven als a^1/5. Als je het helemaal interessant wilt maken kan je ook een teller in de breuk zetten. Die is dan een normale macht. a^3/5 wordt dan de 5de machts wortel van a tot de macht 3 ofwel ⁵√a³.

Haakjes

(...)

In de wiskunde zijn afspraken gemaakt over de volgorde waarin je operatoren of bewerkingen toepast. Net als in het verkeer hebben we voorrangsregels om chaos te voorkomen. Het komt vaak voor dat je iets wilt uitrekenen op een andere volgorde dan die de regels aangeven. Daarom bestaan er haakjes. Haakjes geven voorrang op de gebruikelijke regels. Ze zorgen ervoor dat duidelijk is wat bij elkaar hoort en op welke volgorde je dingen moet uitrekenen.

Delta

Δ

Delta wordt gebruik om een verschil aan te geven. Het symbool zet je voor de grootheid waarvan je het verschil wilt weten. Een verschil meet je tussen twee punten. Om een verschil te berekenen pas je meestal 'nieuw min oud' toe. Daarmee wordt bedoeld de waarde op het laatste moment min de waarde op het eerdere moment. Met Δt wordt bijvoorbeeld een verschil in tijd aangegeven. Dat kan je berekenen door het laatste tijdstip min het eerste tijdstip te doen. Een Δv (verschil in snelheid) kan je berekenen door de eindsnelheid min de beginsnelheid te doen.