Modélisation déterministe (M.Rumin, J-B Lagaert)

• Systèmes dynamiques (10h, Michel Rumin).

Souvent l’évolution d’un système physique ou biologique se décrit à travers une équation différentielle ordinaire (edo) dans un espace de phase. Il est rare que l’on connaisse ses solutions exactes. Néanmoins, et surtout en petite dimension, il est souvent possible de décrire de façon qualitative les solutions à l’aide des points fixes et leur stabilité. Dans cette partie du cours nous allons étudier les notions de champ de vecteurs, points fixes, stabilité, bifurcation et branchement, comportement asymptotique et ensuite discuter des phénomènes de synchronisation et attracteurs. Les exemples étudiés vont inclure les modèles de Lotka-Volterra (proie-prédateur), Malthus, Verhulst, réponse immunitaire. Si le temps le permet nous allons aussi discuter des modèles à temps discrets qui souvent peuvent être obtenus à partir d’une ode, à l’aide d’une section de Poincaré

• Modélisation par équations aux dérivées partielles (14 heures).

Ce cours propose une introduction poussée à la modélisation, dans un cadre déterministe, des phénomènes physiques qui conditionnement le fonctionnement des organismes vivants : transport, diffusion, modèles fluides utilisés pour les écoulements physiologiques, modélisation de fludies complexes (porteurs d’entités passives ou actives). Au delà d’une présentation de la démarche de modélisation elle-même, qui permet d’exprimer les principes physiques sous la forme d’équations au dérivées partielles, nous donnerons les outils d’analyse mathématique permettant de donner un cadre à certaines de ces équations. Une partie du cours sera consacrée aux aspects de simulation numérique, avec un accent particulier mis sur les problèmes liés au couplage de différents modèles.

• Principes et algorithmes en identifications de paramètres (6h ).

En pratique un modèle différentiel ou aux dérivées partielles doit être validé et comparé aux mesures expérimentales. Certains paramètres physiques (taux de diffusion, transport, vitesse de réaction) ne sont pas toujours connus et doivent être identifiés. Cette identification doit être robuste au sens où l’ajout d’une nouvelle mesure ne devrait pas modifier fortement l’estimation. Parfois les quantités à identifier sont des fonctions elles-mêmes. Cette courte introduction présentera les bases du vaste sujet de l’identification paramétrique dans un cadre déterministe. On parlera notamment des problèmes de conditionnement, de régularisation, de pénalisation, d’introduction d’a prioris, et de résolution numérique des problèmes d’optimisations. On présentera un cas réel de détermination des temps de doublements de mélanoblastes lors du développement embryonnaire (utiles pour la compréhension des mécanismes de cancérisation).