L’objectif du cours est l’analyse en temps long et l’approximation en grande population des processus de branchement décrivant des populations structurées (par leur âge, leur position spatiale, leur niveau d’infection, leur taille…).

Les questions qui nous guideront sont : la population va-t-elle survivre ? comment croit-elle si c’est le cas ? comment les traits sont-ils distribués au sein de la population en temps long ? quelle est la structure généalogique de la population ? par quel modèle plus simple la population peut elle est approchée dans un régime de grande population ?

Ces processus seront étudiés grâce à des résultats de stabilité et aux fluctuations de processus de Markov induits, des méthodes de martingales et de changements de probabilité. Elles reposeront aussi sur la description des généalogies entre les individus et l’utilisation de la convergence de processus à valeurs mesures. Ces méthodes permettront à la fois de développer l’analyse du nombre moyen d’individus (mesures déterministes) et l’analyse probabiliste de ces processus (loi des grands nombres, densités, front d’invasion, lignée ancestrale d’un échantillon...).

Nous illustrerons ces méthodes et résultats par des exemples et applications issus de dynamiques cellulaires et de modèles de reproduction et dispersion en écologie ou épidémiologie.

Nous supposerons en général une propriété de branchement à certaines échelles, qui correspond à une absence d’interactions. Nous intégrerons des interactions dans des limites de grandes populations.