11-matrices
DESCRIPCIÓN
A partir de los 17 años (2° de bachillerato científico), para practicar el uso de matrices en las transformaciones geométricas en tres dimensiones.
-Matriz Directa (giro en x)
Se obtiene a partir de las coordenadas de los vectores de la base (descritos en la actividad anterior). Se compara con una matriz de giro en 2D. Qué ángulo de giro resulta?
-Matriz Inversa
Se calcula previamente, y después se aplica a los vértices de la figura básica para comprobar que se obtienen la mitad de las esquinas de un cubo (es decir, un tetraedro).
-Matriz de giro a pirámide
Se obtiene multiplicando la matriz anterior por la de un giro alrededor del eje i+j y un ángulo cuya tangente es √2.
Aplicada a los vértices de la figura original, se obtiene una pirámide triangular apoyada sobre su base.
ACTIVIDADES
-Matriz Directa (giro en x)
Identificar el origen y los tres vectores de la base (i, j, k).
La bola amarilla central será el origen. La bola amarilla delantera marcará el extremo del vector i. La bola roja a su derecha será el vector j. Finalmente, la bola roja superior será el vector k. Cámbiala por una bola azul y retira del tablero las restantes bolas, de forma que queden solamente el origen y los tres vectores de la base. Comprueba que esta base es ortogonal (los tres vectores son perpendiculares).
Para hacerla también ortonormal, decidimos tomar como unidad de medida u = d/√5, siendo “d” el salto en altura entre una torre y la siguiente (para la estructura en madera, d = 3 cm).
Usando dicha unidad, podemos establecer las coordenadas de los vectores (i, j, k) en una nueva base (i’, j’, k’) construida sobre la plataforma de las 11torres. En esta, i’ = i (un vector horizontal apuntando directamente hacia nosotros), j’ será también horizontal pero apuntando hacia la derecha (siguiendo la línea de 5 agujeros) y finalmente k’ será vertical (apuntando directamente hacia arriba, igual que las torres).
La matriz de paso de unas coordenadas a otras se obtiene poniendo como columnas las coordenadas de (i, j, k) en función de (i’, j’, k’).
Compara esta matriz con una matriz de giro en 2D. Qué ángulo de giro resulta?
-Matriz Inversa
Se calcula previamente, y después se aplica a los vértices de la figura básica expresados en las coordenadas (i’, j’, k’) para comprobar que se obtienen la mitad de las esquinas de un cubo (es decir, un tetraedro).
-Matriz de giro a pirámide
Se obtiene multiplicando la matriz anterior por la de un giro alrededor del eje i+j y un ángulo cuya tangente es √2.
Aplicada a los vértices de la figura original, se obtiene una pirámide triangular apoyada sobre su base.
La figura dinámica recoge las transformaciones indicadas en las actividades propuestas.
Desplazando el cursor rojo (Gx) hacia arriba, se va girando la estructura alrededor del eje x (indicado mediante las tres bolas amarillas).
Al llegar al tope de Gx, aparece abajo el cursor Gz (verde) que permite girar la estructura alrededor del eje z (vertical, aunque ya no sigue la línea de las torres)
Al llegar al tope de Gz, aparece abajo el cursor Gy (azul) que gira de nuevo la figura alrededor del eje y, hasta que las bolas azules quedan formando una pirámide apoyada sobre su base triangular (al final del giro Gy)
Al llegar a esta posición, aparece un vector (negro) que indica la dirección del autovector de la matriz resultante al combinar las tres anteriores. Al mover el cursor Ga (negro) vemos que, en un único giro alrededor del autovector, nos devuelve a la posición inicial.
Puedes hacer clic en el siguiente enlace para ver la app directamente: https://www.geogebra.org/3d/wzr9czcv
Puedes desplazar los cursores auxiliares siguientes:
Torres (oculta las torres, dejando solo las bolas en el espacio). En realidad, la función de las torres es precisamente la de situar cada bola en su posición espacial. Lo ideal sería que fueran transparentes.
Aux (líneas auxiliares). Muestra las direcciones (ejes) en cada giro, así como las circunferencias (líneas de puntos) que sigue cada bola en su giro.
Pirámide: Muestra la pirámide equilátera (tetraedro) formada al unir las cuatro bolas azules de los vértices. Comprueba su posición al final del giro azul (Gy)
Cubo: Muestra el cubo en el que se inserta la estructura piramidal de las 11Torres. Comprueba su posición al final del giro rojo (Gx)
Explics: Explicaciones textuales