Sua maestà, il Teorema
a cura di Virginia B., Alessia F., Damiano G., Fiore N., Sophia S. (2B)
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La dimostrazione del teorema di Pitagora è arrivata fino a noi grazie a Euclide.
Proposizione 47, Libro I
Nei triangoli retti il quadrato del lato che sottende l'angolo retto è uguale alla somma dei quadrati dei lati che contengono l'angolo retto.
Fonte: http://www.vincenzoporta.it/DiTutto/RubricheDT/Matematica.htm
Questa dimostrazione fa riferimento a una figura che è stata battezzata, per la sua forma particolare, mulino a vento, coda di pavone o sedia della sposa.
Dato il triangolo ABC rettangolo in C, costruiamo i quadrati sui suoi lati, tracciamo CL parallelo ad AD e tracciamo i segmenti FB e CD.
I triangoli FAB e CAD sono congruenti per il primo criterio di congruenza perchè:
Osserviamo i triangoli CAD e AMD: hanno la stessa base AD e la stessa altezza AM e quindi sono equivalenti:
Area(CAD) = Area(AMD).
Analogamente i triangoli FAB e FAC hanno la stessa base AF e la stessa altezza AC e quindi sono equivalenti:
Area(FAB) = Area(FAC).
Il parallelogramma AMLD è il doppio del triangolo AMD, cioè Area(AMLD) = 2Area(AMD) = 2Area(CAD).
Il quadrato ACGF è il doppio del triangolo FAC, cioè Area(ACGF) = 2Area(FAC) = 2Area(FAB).
Poichè CAD e FAB sono congruenti e quindi equivalenti, anche il parallelogramma AMLD è equivalente al quadrato ACGF.
I triangoli ABK e CBE sono congruenti per il primo criterio di congruenza perchè
Con lo stesso ragionamento precedente, possiamo affermare che i triangoli BCE e BME sono equivalenti perchè hanno la stessa base BE e la stessa altezza BM:
Area(BCE) = Area(BME).
I triangoli KAB e BKC hanno la stessa base BK e la stessa altezza BC e quindi sono equivalenti:
Area(KAB) = Area(BKC).
Il parallelogramma BMLE è il doppio del triangolo BME, cioè Area(BMLE) = 2Area(BME) = 2Area(BCE).
Il quadrato BKHC è il doppio del triangolo BKC, cioè Area(BKHC) = 2Area(BKC) = 2Area(KAB).
Poichè BCE e KAB sono congruenti e quindi equivalenti, anche il parallelogramma BMLE è equivalente al quadrato BKHC.
Pertanto
Area(BKHC) + Area(ACGF) = Area(BMLE) + Area(AMLD) = Area(ABED)
cioè la somma dei quadrati costruiti sui cateti è equivalente al quadrato costruito sull'ipotenusa.
Fonte: Dr Mirko Junge, Public domain, via Wikimedia Commons
Qui accanto la dimostrazione della Proposizione 47, Libro I tratta dal bellissimo testo di Oliver Byrne I primi sei libri degli ELEMENTI di Euclide.
Come dice il titolo, si tratta dei primi sei libri di Euclide corredati di dimostrazioni puramente grafiche, senza l'uso di parole. L'idea dell'autore era quella di usare il colore per facilitare l'apprendimento e diffondere la conoscenza permanente.
Nella maggior parte dei libri di testo il teorema di Pitagora viene dimostrato come conseguenza del Primo teorema di Euclide:
In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.
Ipotesi:
Tesi:
Tracciamo AH altezza del triangolo ABC e prolunghiamola fino ad intersecare il lato FL. Consideriamo le figure BDEA e BHGF; queste sono equivalenti per il Primo Teorema di Euclide (per la dimostrazione, clicca sul pulsante in basso).
Consideriamo ora AMNG e HCLG; anche queste sono equivalenti per il Primo Teorema di Euclide.
Essendo BDEA equivalente a BHGF e MNCA equivalente a HCLG, la loro somma sarà equivalente a BFLC poiché formato dalla somma dei rettangoli BHGF e HCLG (equivalente ai due quadrati).
Il teorema inverso e il metodo delle corde
Se in un triangolo il quadrato di uno dei lati è uguale alla somma dei quadrati dei rimanenti due lati del triangolo, l’angolo che è compreso dai due rimanenti lati del triangolo è retto.
Ipotesi:
Tesi:
A partire dal punto A del triangolo, costruiamo il segmento DA congruente ad AB e perpendicolare al segmento AC.
Tracciamo il segmento DC.
Sapendo che DA è congruente AB, anche i loro quadrati saranno congruenti tra loro. Aggiungiamo ad entrambi i quadrati il quadrato di AC; quindi la somma dei quadrati DA + AC è equivalente alla somma dei quadrati AB + AC (poiché DA è congruente a AB).
Ma l’angolo CAD è retto perché DA è perpendicolare a CA, quindi per il teorema di Pitagora:
Consideriamo ora i triangoli DAC e CAB. Essi hanno:
I due triangoli sono congruenti per il terzo criterio di congruenza. In particolare l’angolo DAC, che è retto, è congruente all’angolo CAB, che sarà retto anch'esso.
Gli Antichi Egizi, per costruire le basi quadrate delle piramidi, avevano bisogno di creare degli angoli retti, ma non avevano degli strumenti a loro disposizione.
Si ipotizza che utilizzassero una corda e tre paletti: suddividevano ad occhio la corda in dodici parti uguali e in quei punti creavano dei nodi. Poi prendevano i paletti (vertici del triangolo) e sistemavano la corda intorno ad essi, dando vita così ad un triangolo rettangolo, che aveva i lati composti da 3, 4 e 5 nodi; in particolare l’angolo retto era quello situato tra i lati composti da 3 e 4 nodi. Tutto questo fu spiegato molti secoli dopo da Pitagora, introducendo le terne pitagoriche.
I tre numeri diversi di nodi, che compongono il triangolo rettangolo, formano la prima terna pitagorica.
Dimostrazione pratica
Abbiamo preso un pezzo di scotch e lo abbiamo diviso in 12 parti uguali grazie ad un pennarello.
Abbiamo poi fatto girare il pezzo di scotch diviso in parti uguali attorno a 3 matite. Facendo così, siamo andati a creare un angolo retto (indicato nel disegno) e un triangolo. Essendo presente tra gli angoli di questo triangolo un angolo retto, in particolare sarà un triangolo rettangolo.
Il triangolo che si è venuto a formare è un triangolo 3, 4, 5 (3 parti uguali sul cateto minore, 4 sul cateto maggiore e 5 sull’ipotenusa come spiegato nella dimostrazione teorica sopra. Possiamo vederlo grazie agli espliciti segni di divisione).
Facendo così, gli Egizi ottenevano degli angoli retti da cui potevano creare le famose piramidi a base quadrata.
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