La "demonstrationem mirabilem"
a cura di Simone P. e Simone R. (4A)
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Alexandre Falguière, Public domain, attraverso Wikimedia Commons
La teoria dei numeri può essere considerata la branca della matematica in cui Fermat fu più influente ed è proprio da questi studi che prese vita uno fra i teoremi matematici più “duraturi” della storia.
La teoria dei numeri si occupa dello studio delle proprietà dei numeri interi, in particolare della ricerca delle soluzioni intere di particolari tipi di equazioni.
In antichità questa tipologia di problemi era già nota ai babilonesi, i quali erano soliti annotare nelle tavolette alcuni metodi per risolvere equazioni siffatte.
Un’equazione di questo genere è a² + b² = c², che abbiamo visto può avere infinite terne pitagoriche come soluzioni.
Dopo gli studi greci, in particolare ad opera di Diofanto, la teoria dei numeri venne accantonata per far spazio ad altre branche matematiche.
La sua trattazione venne ripresa 1500 anni dopo proprio da Pierre de Fermat.
Egli era affascinato da questi argomenti tanto da studiarli approfonditamente e lo fece utilizzando una copia del libro di Diofanto, l'Arithmetica..
Questo libro venne tappezzato da annotazioni, considerazioni e problemi da lui creati, i quali venivano utilizzati per sfidare i matematici inglesi.
Molte delle intuizioni riportate contribuirono successivamente allo sviluppo della matematica.
Tra le scoperte matematiche più importanti legate alla teoria dei numeri, possiamo annoverare il piccolo teorema di Fermat e l’Ultimo Teorema di Femat.
Il piccolo teorema di Fermat afferma che scegliendo un numero x elevato ad un esponente p primo e sottraendo x dallo stesso numero, il risultato ottenuto sarà divisibile per p, ovvero
L’Ultimo Teorema di Fermat mostra un enunciato semplice , ma la sua dimostrazione ha richiesto un periodo di tempo lunghissimo, ben 358 anni.
E' il 1637 e mentre legge l'Arithmetica di Diofanto, Fermat si sofferma sul problema 8, contenuto nel Libro II dividere un quadrato dato in due quadrati e scrive:
Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere. Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.
È impossibile scrivere un cubo come somma di due cubi o una quarta potenza come somma di due quarte potenze o, in generale, nessun numero che sia una potenza maggiore di due può essere scritto come somma di due potenze dello stesso valore. Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema che non può essere contenuta nel margine troppo stretto della pagina.
In sostanza Fermat afferma che è impossibile trovare una soluzione intera all’equazione:
Pagina 85 dell'opera di Diofanto nell'edizione del 1621, nel margine della quale Pierre de Fermat scrisse la nota contenente il suo Ultimo Teorema
Fonte: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Diophantus-II-8.jpg
Pagina 61 dell'opera di Diofanto nell'edizione del 1670, pubblicata dal figlio di Fermat, Samuel, contenente l'annotazione sull'Ultimo Teorema
Fonte: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Diophantus-II-8-Fermat.jpg
Ma della demonstrationem mirabilem non si hanno tracce tra gli appunti e le note lasciati da Fermat. Che la dimostrazione sia morta con lui?
E' l'inizio di un'epopea lunga oltre tre secoli, che ha coinvolto i migliori matematici al mondo, che hanno tentato, sperimentato e molto spesso fallito nella ricerca della soluzione di un problema, apparentemente semplice, ma praticamente inespugnabile... almeno fino al 1995.
Ma procediamo con ordine.
Sebbene la dimostrazione generale non sia mai stata trovata, sempre tra le note dell'opera di Diofanto è possibile trovare questo:
Fonte: Leonid, Public domain, attraverso Wikimedia Commons
Si tratta delle pagine 338 e 339 dell'Arithmetica nell'edizione del 1670, contenente l'annotazione di quella che sarebbe diventata la dimostrazione dell'Ultimo Teorema nel caso n = 4.
Questa è la trascrizione completa della nota:
Area trianguli rectanguli in numeris non potest esse quadratus, hujus theorematis a nobis inventi demonstrationem, quam et ipsi tandem non sine operosa laboriosa meditatione deteximus, subiungemus. Hoc nempe demonstrandi genus miros in arithmeticis suppeditabit progressus, si area trianguli esset quadratus darentur duo quadratoquadrati quorum differentia esset quadratus: Unde sequitur dari duo quadratos quorum & summa, & differentia esset quadratus. Datur itaque numerus compositus ex quadrato & duplo quadrati æqualis quadrato, ea conditione ut quadrati eum componentes faciant quadratum. Sed si numerus quadratus componitur ex Quadrato & duplo alterius quadrati eius latus similiter componitur ex quadrato & duplo quadrati ut facillime possumus demonstrare.
Unde concludetur latus illud esse summam laterum circa rectum trianguli rectanguli & unum ex quadratis illud componentibus efficere basem & duplum quadratum æquari perpendiculo.
Illud itaque triangulum rectangulum conficietur a duobus quadratis quorum summa & differentia erunt quadrati. At isti duo quadrati minores probabuntur primis quadratis primo suppositis quorum tam summa quam differentia faciunt quadratu. Ergo si dentur duo quadrata quorum summa & differentia faciant quadratum, dabitur in integris summa duorum quadratorum eiusdem naturæ priore minor. Eodem ratiocinio dabitur & minor ista inuenta per utam prioris & semper in infinitum minores inuenientur numeri in integris idem præstantes: Quod impossibile est, quia dato numero quouis integro non possunt dari infiniti in integris illo minores. Demonstrationem integram & fusius explicatam inserere margini vetat ipsius exiguitas.
Hac ratione deprehendimus & demonstratione confirmatus nullum numerum triangulum præter vnitatem æquari quadratoquadrato.
In queste parole c'è l'introduzione ad una tecnica dimostrativa chiamata discesa infinita.
Si tratta di un tipo di dimostrazione per assurdo, valida per i teoremi matematici (soprattutto della teoria dei numeri) che riguardano i numeri interi e positivi.
Queste dimostrazioni si basano sul presupposto che: “Non esiste alcuna proprietà che, se soddisfatta da un intero positivo, possa essere soddisfatta da un intero positivo più piccolo”.
Infatti, se si desse per vera una determinata proprietà per un generico n, e se questa valesse anche per un generico m, tale che m < n, allora, ripetendo nuovamente il processo, troveremmo infiniti numeri minori di n che soddisferebbero la proprietà. Tuttavia ciò è assurdo, perché violerebbe il “Principio del buon ordinamento” dei numeri naturali, secondo il quale in ogni sottoinsieme di numeri naturali, è sempre identificabile un minimo; dunque la proposizione di partenza è falsa.
Vediamo l'applicazione della discesa infinita all'Ultimo Teorema di Fermat al caso n = 4.
L'equazione x4 + y4 = z4 non ammette soluzioni intere positive se xyz ≠ 0.
Per dimostrare questa ipotesi, dobbiamo fare riferimento alle formule delle terne pitagoriche. Sappiamo che, dati x, y, z ∈ ℕ tali che x2 + y2 = z2 abbiamo:
Possiamo, infatti, considerare anche x4 + y4 = z4 una terna pitagorica, perché , (x2)2 + (y2 )2 = (z2)2 dove x pari (quindi x2 pari) e y dispari (quindi y2 dispari), e, quindi, trovarne le soluzioni.
Si avrà, dunque, che:
Considerando la seconda equazione, è possibile ripetere nuovamente il processo.
Si ha, infatti y2 = p2 - q2, allora y2 + q2 = p2, si nota che anche (y, q, p) è una terna pitagorica, dove y2 dispari dalla posizione precedente, quindi q2 pari e p2 dispari.
Possiamo perciò scrivere:
A questo punto, possiamo scrivere x in funzione di a e di b:
Perché l’equazione abbia soluzioni intere positive, allora ab(a2 + b2) deve essere un quadrato; inoltre, ab e (a2 + b2) sono coprimi, perché, se p primo dividesse ab, allora dovrebbe dividere a oppure b, ma non entrambi in quanto sono coprimi e quindi non potrebbe dividere (a2 + b2).
Pertanto se ab(a2 + b2) è un quadrato, allora ab e (a2 + b2) sono entrambi quadrati; inoltre, dato che a e b sono primi tra loro, a e b sono a loro volta quadrati. Possiamo dunque porre:
a = X2 e b = Y2
A questo punto possiamo concludere che:
Questo processo può essere ripetuto infinite volte, trovando, di conseguenza, un numero infinito di valori tali che (X’)4 + (Y’)4 < z4
Si arriva, dunque, ad un assurdo, che conferma la nostra ipotesi iniziale.
Questa dimostrazione può essere estesa a tutti i casi del tipo x4n + y4n = z4n.
Basta infatti considerare X = xn; Y = yn; Z = zn, per ritrovarci nella situazione iniziale.
Da questo discende l’impossibilità di trovare soluzioni all’equazione ogni qualvolta l’esponente di xn + yn = zn sia multiplo di 4.
Per questo motivo il Teorema rimane da dimostrare solo se n > 2 e primo.
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