Ciascuna di tali soluzioni si chiama terna pitagorica perché i tre numeri interi si possono considerare cateti e ipotenusa di un triangolo rettangolo.

Osserviamo che se la terna (x, y, z) è una soluzione dell’equazione pitagorica, anche la terna (kx, ky, kz) è soluzione della stessa equazione, infatti:

Allora risolvere una equazione pitagorica vuol dire trovare tutte le possibili soluzioni primitive, ovvero le terne di numeri interi positivi, primi tra loro:

Risoluzione moderna:

dove p e q sono numeri interi primi tra loro e di parità diversa.

Esempio:

Dimostrazione:

Premesso che:

• la somma e la differenza di due numeri dispari è un numero pari:

(2m + 1) + (2n + 1) = 2m + 2n + 2 = 2(m + n + 1);

(2m + 1) - (2n + 1) = 2(m - n)

• il quadrato di un numero pari è ancora un numero pari, il quadrato di un numero dispari è ancora un numero dispari:

• il doppio di un numero dispari non può essere un quadrato, perché contiene una sola volta il fattore 2;

osserviamo che se x, y, z, è una soluzione primitiva dell’equazione pitagorica allora anche x e y, x e z, y e z, sono primi tra loro.

Dimostriamolo per x e y: se non fossero primi tra loro si avrebbe x = hn e y = hm, con h diverso da 1, quindi sostituendo nell’equazione:

si nota che anche z avrebbe come divisore il numero intero h. Si avrebbe MCD(x, y, z) = h, contro l’ipotesi che x, y, z sia una soluzione primitiva dell’equazione ( MCD(x, y, z) = 1).

Segue che MCD(x, y) = 1, MCD(x, z) = 1, MCD(y, z) = 1.

Dimostriamo ora che x ed y devono essere di parità diversa (non entrambi pari, né entrambi dispari).

Se fossero entrambi pari il loro massimo comun divisore sarebbe 2, contro l’osservazione precedente; se fossero entrambi dispari si avrebbe ancora un assurdo; infatti:

Supponiamo, dunque, che sia x = 2m e y = 2n + 1

Sostituendo nell’equazione x² + y² = z², si ha:

Segue che z è dispari (il quadrato di un numero dispari è dispari).

Esplicitiamo x² nell’equazione pitagorica:

Possiamo dividere per 4 e ottenere ancora numeri interi:

Osserviamo che il primo membro è un quadrato, quindi anche il prodotto al secondo membro è un quadrato. Se i due fattori fossero primi tra loro, sarebbero essi stessi dei quadrati e potremmo scrivere

Dimostriamo che i due fattori sono primi tra loro procedendo con un ragionamento per assurdo: supponiamo, cioè, che non lo siano, ovvero che

Sommando membro a membro si ottiene:

Sottraendo otteniamo:

Quindi, z ed y hanno un divisore comune, h, diverso da 1, ma ciò non può accadere essendo z ed y primi tra loro (osservazione precedente).

Si ha allora:

ne segue che:

e infine:

con p e q primi tra loro e di parità diversa.