In viaggio
tra i secoli: Gabriel Lamè e Ernst Kummer
a cura di Chiara V. (4A)
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Nel collage (dall'alto in basso, da sinistra a destra): Jean-Pierre Serre, Leonhard Euler, Ernst Eduard Kummer, Leonardo Pisano detto Fibonacci, Peter Gustav Lejeune Dirichlet, Sophie Germain, Gerhard Frey, Goro Shimura, Carl Friedrich Gauss, Gabriel Lamè, Adrien-Marie Legendre, Yutaka Taniyama, Kenneth Alan Ribet.
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Dopo i progressi fatti da Sophie Germain, furono molti i matematici che decisero di provare a dimostrare l’Ultimo Teorema di Fermat. La corsa alla dimostrazione si fece rilevante quando l’Accademia Francese delle Scienze promise una serie di premi, che spaziavano da medaglie a premi in denaro, al primo in grado di rivelare il mistero dell’Ultimo Teorema.
Il primo matematico ad annunciare di essere prossimo a risolvere il problema fu Gabriel Lamé. Per le sue ricerche, esso decise di posizionarsi all’interno dei numeri complessi per riuscire ad avere maggiori possibilità per la scomposizione in fattori.
Usò quindi il principio della fattorizzazione unica per dimostrare che non esistono soluzioni intere non banali del Teorema.
Non si trattava di una prova completa, come lui stesso ammise, ma decise comunque di esporre il trattato davanti ad alcuni dei matematici più importanti il 1 marzo del 1847 e promise di pubblicare nelle settimane a seguire la dimostrazione nella rivista dell’Accademia.
Gabriel Lamè
Fonte: Unknown authorUnknown author, Public domain, via Wikimedia Commons
L'idea dimostrativa di Lamè
L'idea dimostrativa di Lamè
L'idea di Lamè era nel complesso molto semplice: scomporre un polinomio sfruttando le radici dell'unità.
In questo modo, si è trasformato un problema additivo in uno moltiplicativo.
Ciascuno dei fattori della precedente scomposizione è un numero di questa forma:
a coefficienti interi. Questi numeri, formati da coefficienti interi e potenze dell'unità, si chiamano numeri interi ciclotomici. Il loro insieme genera un sistema analogo a quello degli interi eccetto che per la divisione. In pratica non vale più l'unicità della fattorizzazione! Ed è proprio questo aspetto a far crollare la dimostrazione di Lamè, analogamente a quanto successo ad Eulero.
Augustine-Louis Cauchy
Fonte: Gregoire et Deneux, Public domain, via Wikimedia Commons
Louis Cauchy, al termine dell’esposizione appena sentita, decise di chiedere il permesso di parlare. Davanti all’intero uditorio, ancora sbalordito per quanto sentito prima, confessò di aver lavorato ad un metodo simile e di essere anche lui sul punto della pubblicazione.
Il premio, a questo punto, si fece ancora più ambito e i due matematici non avevano più tempo: il primo che fosse riuscito ad ottenere i risultati sperati, avrebbe ottenuto il premio più importante nella storia della matematica.
Circa tre settimane dopo l’incontro, i due consegnarono i risultati conseguiti in buste sigillate. La brama di successo si era fatta ancora più sfrenata col passare del tempo e l’attesa diventava snervante, così i due decisero di pubblicare qualche vago dettaglio del loro percorso negli Atti dell’Accademia.
Finchè il 24 maggio fu svelato l’arcano. Joseph Liouville rivelò davanti a tutti i più eminenti matematici dell’Accademia, che rimasero esterrefatti ascoltando il contenuto della lettera, che il premio tanto desiderato si allontanava sempre più sia da Lamé sia da Cauchy.
Tra i due litiganti...
La lettera fu infatti spedita dal matematico tedesco Ernst Kummer.
Kummer si era infatti accorto, analizzando quei pochi dettagli rivelati, che il principio adottato dai due, ovvero quello della fattorizzazione unica (il metodo che spiega il fatto che per un qualsiasi numero esiste una sola possibile combinazione di numeri primi che moltiplicati tra loro danno come risultato il valore iniziale), risultava errato nelle loro dimostrazioni.
Entrambi i matematici coinvolsero nelle loro dimostrazioni i numeri immaginari.
Kummer spiegò però che il principio della fattorizzazione unica poteva non necessariamente essere vero con l’introduzione di tali numeri.
Ernst Eduard Kummer
Fonte: Unknown authorUnknown author, Public domain, via Wikimedia Commons
Facciamo un esempio: se consideriamo il numero 12 come numero reale, allora esso potrà essere scomposto come 2 x 2 x 3. Ma se lo stesso numero venisse scomposto tramite l’uso di numeri complessi, ovvero utilizzando la combinazione tra numeri reali e numeri immaginari, allora potremmo scriverlo anche come:
Quindi ci sono altri modi per scomporre il numero 12 utilizzando numeri reali e numeri immaginari.
L'idea dimostrativa di Kummer
Per ovviare alla mancanza di unicità nella fattorizzazione dei numeri complessi, Kummer introduce i numeri complessi ideali.
Vediamone il funzionamento con un esempio.
Il numero 6 si può decomporre in due modi diversi utilizzando i numeri complessi:
Questo accade perchè i fattori 2 e 3 dividono il prodotto dei fattori complessi ma non i singoli fattori della scomposizione.
Nel 1843 Kummer introduce i numeri primi ideali che hanno questa proprietà: se dividono il prodotto, allora dividono anche i singoli fattori, pervenendo così ad una fattorizzazione unica.
Quindi, se nell'esempio precedente introduciamo i seguenti numeri ideali:
allora le due fattorizzazioni coincidono a meno dell'ordine dei fattori.
Le dimostrazioni di Lamé e Cauchy risultavano compromesse dalle intuizioni di Kummer ma nonostante questo fu proprio Kummer a dimostrare che impiegando altre tecniche era possibile fare a meno della fattorizzazione unica per diversi valori di n.
Il problema della fattorizzazione unica poteva essere aggirato utilizzando i primi ideali per tutti i numeri primi regolari.
Di fatto solo n = 37 presentava delle difficoltà, così come n = 59 ed n = 67.
Bisognava quindi rimuovere questi numeri primi che portavano a difficoltà, per arrivare ad una dimostrazione generale completa.
Non esistevano procedure matematiche "già pronte" per svolgere questo tipo di operazioni, come evidenziò lo stesso Kummer.
Tuttavia egli credeva che si sarebbe potuto affrontare il problema sviluppando attentamente delle tecniche adeguate per ogni numero primo irregolare.
Si sarebbe trattato di un esercizio lungo e complesso poichè i numeri primi irregolari sono infiniti e tutto ciò avrebbe occupato i matematici per un tempo infinito.
Tabella riassuntiva che mostra i progressi ottenuti nella dimostrazione dell'Ultimo Teorema di Fermat fino alla seconda metà dell'Ottocento.
Fonte: AA.VV., L’enigma di Fermat. Una sfida lunga tre secoli, volume della collana Mondo Matematico, Milano, RBA, 2010, pag.114
Lamé si sentì offeso e oltraggiato dopo la lettera devastante di Kummer, ma Cauchy non demorse e rifiutò di accettare la sconfitta.
Egli infatti riteneva che la sua dimostrazione fosse meno legata alla fattorizzazione unica rispetto a quella del suo avversario e c’era ancora un filo di speranza perchè le motivazioni che portarono Kummer a confutare le due tesi non erano ancora state verificate a pieno e confermate. Continuò quindi a pubblicare tesi e documenti sull’argomento discusso, ma cedette al silenzio anche lui alla fine dell’estate.
Kummer dimostrò in seguito che non poteva esserci, con le conoscenze del tempo, una dimostrazione valida a risolvere il problema del Teorema di Fermat. Questo era un ragionamento che stravolgeva un’intera generazione di matematici che speravano di poter risolvere uno dei problemi più complessi mai formulati.
Per più di due secoli ogni tentativo di dimostrazione fallì. Alcuni matematici iniziarono a sospettare dell’impossibilità di dimostrare l’Ultimo Teorema di Fermat.
Forse la dimostrazione non esisteva, o forse l’unico ingrediente mancante, come espresso poi dal matematico Andrew Wiles, era l’ingegnosità.
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