Proposizione 31, Libro VI
a cura di Giuseppe D. (2A)
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Nei triangoli rettangoli la figura descritta sul lato che sottende l'angolo retto è uguale alla somma delle figure simili e similmente descritte sui lati che contengono l'angolo retto.
Sia ABC triangolo rettangolo con BAC angolo retto.
Traccio il segmento AD丄BC.
Per la Proposizione 8, Libro VI (per la dimostrazione cliccare sul pulsante in basso), il triangolo DAB è simile a DAC ed entrambi simili a ABC :
pertanto i segmenti BA, BC e BD sono in proporzione.
Quindi
BC : BD = la figura costruita su BC : la figura simile costruita su AB
Per gli stessi motivi:
pertanto BC, AC e CD sono in proporzione.
Quindi BC : CD = la figura costruita su BC : la figura simile costruita su AC
Per le proprietà delle proporzioni:
BC : (BD + CD) = la figura su BC : (la figura simile su AB + la figura simile su AC)
Essendo BC = BD + CD allora la figura su BC è uguale alla somma della figura costruita su AB e la figura costruita su AC.
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