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Nel collage (dall'alto in basso, da sinistra a destra): Jean-Pierre Serre, Leonhard Euler, Ernst Eduard Kummer, Leonardo Pisano detto Fibonacci, Peter Gustav Lejeune Dirichlet, Sophie Germain, Gerhard Frey, Goro Shimura, Carl Friedrich Gauss, Gabriel Lamè, Adrien-Marie Legendre, Yutaka Taniyama, Kenneth Alan Ribet.
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Eulero, il maestro di tutti noi
Leonhard Eulero può essere considerato fra i più importanti matematici mai esistiti.
Nato a Basilea nel 1707 da un padre pastore protestante, divenne matematico grazie all'intervento di Johann Bernoulli, il quale convinse il padre delle abilità matematiche del giovane Leonhard.
La vita di Eulero si svolse tra San Pietroburgo, dove arrivò nel 1726 a ricoprire la cattedra di medicina e Berlino, dove insegnò all’Accademia dal 1741 per i successivi 25 anni. Tornò in Russia nel 1766 su invito di Caterina La Grande e qui rimase fino alla sua morte, nel 1783.
Già all’età di 28 anni perse la vista all’occhio destro a causa di una febbre cerebrale; la situazione peggiorò con il tempo, fin quando non diventò totalmente cieco. Questo avvenimento non incise minimamente sulle abilità di Eulero che compensò la perdita della vista con un’ottima memoria fotografica ed un'eccellente abilità di calcolo mentale.
Fonte: Jakob Emanuel Handmann, Public domain, via Wikimedia Commons
Con i suoi studi, Eulero incise profondamente su tutti i campi della matematica; in analisi introdusse il concetto di funzione, di funzione esponenziale e di logaritmo. Lavorò con le serie, calcolando il risultato di alcune fra le più importanti.
Diede origine alla moderna teoria dei grafi, risolvendo il problema dei ponti di Konigsberg. In geometria analitica introdusse le equazioni di diverse superfici di rotazione, fra cui cono e cilindro.
Utilizzò, fondendoli, la teoria delle flussioni di Newton e il calcolo integrale di Leibniz.
Ad Eulero dobbiamo quella che, fra i matematici, viene indicata come la più bella formula di tutta la matematica (R. Feynman):
Prima pagina dell'opera Vollständige Anleitung zur Algebra di Eulero.
Fonte:https://archive.org/details/1770LEULERVollstandigeAnleitungZurAlgebraVol1
Anche Eulero subì il fascino del Teorema di Fermat e difatti fu uno dei primi a cercare una dimostrazione per questo teorema. Purtroppo, si fermò alla dimostrazione per il caso n = 3, utilizzando il metodo della discesa infinita, già utilizzato da Fermat per la dimostrazione del caso n = 4.
Il 4 agosto 1753, in una lettera a Goldbach, Eulero scrisse di aver risolto il problema; la prova venne pubblicata nel testo Vollständige Anleitung zur Algebra, datato 1770.
In realtà, si pensa che la prova del 1753 fosse diversa da quella pubblicata: la prima dimostrazione sarebbe stata ottenuta passando per la verifica di un'altra affermazione di Fermat, cioè
La seconda dimostrazione, quella del 1770, nacque probabilmente dalla volontà di ricercare un procedimento risolutivo più elegante.
L'idea dimostrativa di Eulero
L'applicazione del metodo della discesa infinita viene preceduta dalla dimostrazione di questa affermazione:
dati p e q primi tra loro con p² + 3q² è un cubo, allora esistono a e b numeri interi, primi tra loro e di parità opposta tale che
Per questa prova, Eulero si serve dei numeri complessi della forma
Egli suppone che, se p² + 3q² fosse un cubo, allora
anche i singoli fattori della scomposizione sarebbero cubi.
In particolare il fattore
dovrebbe essere uguale
per valori a e b opportuni. Sviluppando l'espressione si avrebbe:
La fallacia nel procedimento di Eulero risiede nel passaggio precedente. Egli utilizza impropriamente nel suo ragionamento l'unicità della scomposizione dei numeri complessi, senza dimostrarla formalmente ma solo per analogia con i numeri interi. Infatti, se la scomposizione fosse unica, il prodotto di due numeri primi tra loro sarebbe un cubo se ogni fattore lo fosse.
Purtroppo questa affermazione non è vera.
Nonostante questo errore, il metodo proposto da Eulero si rivelò efficace e venne utilizzato, con opportune modifiche, anche successivamente.
Fonti:
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Euler-USSR-1957-stamp.jpg#file
Deutsche Post der DDR, Public domain, via Wikimedia Commons
See page for author, Public domain, via Wikimedia Commons
La dimostrazione di Eulero, per quanto sia piccola rispetto all’immensità del problema si rivela essere un timido progresso verso lo sviluppo di tecniche innovative e l’innesco per quello spirito di ricerca della soluzione a questa incredibile sfida.
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