Le terne pitagoriche sono infinite:
Pisano e Klein
a cura di Diego M., Sabina S., Andrea T. (3A), Lucrezia D.R.(3B)
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Leonardo Pisano, detto Fibonacci
Leonardo Pisano, detto Fibonacci
Immagini tratte da Picutti E., Leonardo Pisano, articolo tratto dalla rivista “Le Scienze”, numero 164, aprile 1982, anno XV, volume XXVIII.
Leonardo Pisano, detto Fibonacci, nacque intorno al 1170, a Pisa, dal padre Guglielmo Bonacci, rappresentante dei mercanti nella repubblica marinara di Pisa. L’appellativo Fibonacci deriva dal latino filius Bonacci come riporta Guillaume Libri nella sua Histoire des sciences mathématiques en Italie (1838).
Da ragazzo aveva seguito il padre in Algeria dove apprese il calcolo posizionale indo-arabico che era di fondamentale importanza per la contabilità dei traffici commerciali. Nei suoi frequenti viaggi, sempre per conto dei mercanti pisani, approfittò per fare conoscenza con i matematici delle regioni visitate, Egitto, Siria, Provenza, Grecia, per intrattenersi con loro in discussioni e sfide. Ebbe l’occasione di studiare a fondo gli Elementi di Euclide, che tenne sempre a modello di rigore logico e di stile.
Abbiamo informazioni sugli inizi della sua carriera matematica nella sua prima opera, Liber abaci, modello di riferimento di summa matematica medioevale, scritto nel 1202 con lo scopo dichiarato da parte del suo autore di mettere tutto il suo sapere in fatto di aritmetica e algebra
a disposizione della gens latina in modo che ben poco sull'argomento potesse restarne fuori.
Dal 1202 al 1220 Leonardo Pisano non scrisse più nulla, fino a quando non entrò in contatto con un filosofo della corte di Federico II di Svevia, tal Maestro Domenico, che lo spinse a comporre la sua seconda opera, Pratica geometrie.
Meno originale e varia della prima, l’opera si presenta come un documento valido sia per gli appassionati delle subtilitates che per i pratici. Come il Liber abaci, così la Pratica geometrie diventava documento basilare per i maestri della scuola toscana, fino a Luca Pacioli.
Leonardo Pisano morì nella sua città natale intorno al 1240. Una statua commemorativa del diciannovesimo secolo si trova nel cimitero storico in Piazza Miracoli di Pisa.
Fonte: Taty2007, CC BY-SA 4.0, via Wikimedia Commons
Nel periodo rinascimentale lo scibile in matematica restò affidato a quanto riportato nella Summa de Arithmetica geometria. Proportioni et proportionalità di frate Luca Pacioli, stampata a Venezia nel 1494 e ristampata nel 1523. Alla Summa in particolare restava affidato il ricordo di una terza opera di Leonardo Pisano, per altro sconosciuta. Dando la soluzione del problema di scomporre un quadrato nella somma di due quadrati così scriveva Pacioli:
mai falla questa regola. La quale donde proceda Leo. Pi. nel tractato che fa de' quadratis numeris la dimostra per via de figure geometriche.
Per tre secoli nessuno diede particolare importanza alle citazioni di Pacioli. Fu uno storico della matematica, Pietro Cossali a mettersi per primo alla ricerca del manoscritto perduto, ma senza risultato. Riuscì nell’intento il principe Baldassarre Boncompagni, infaticabile ricercatore e mecenate, che nel 1853 trovò nel Codice ce E. 75 P. sup. della Biblioteca Ambrosiana di Milano, non solo l’originale in latino del Liber quadratorum ma anche quelli del Flos e della Lettera al maestro Teodoro, scritti dei quali non si sospettava neanche l’esistenza.
Apparve allora in piena evidenza l’originalità del matematico Pisano e il livello del suo apporto alla matematica: «Non si immaginava - scriveva Terquem - che un geometra del XIII secolo avesse superato di tanto Diofanto e gli Arabi per non esser superato che nel XVII secolo da Fermat.»
Nel Liber quadratorum (1225) Leonardo Pisano risolve anzitutto il problema delle terne pitagoriche, trovare due quadrati la cui somma sia un quadrato, e lo fa con procedimenti diversi. Affrontare problemi da diverse prospettive era d’altronde la sua peculiarità.
Applicando un teorema degli Elementi di Euclide, arriva a ottenere la formula seguente:
che include tutti i triangoli primitivi, ma non tutti i composti.
Adotta poi un procedimento, che è suo originale, basato sulla proprietà dei quadrati di essere somma di dispari successivi a partire da 1; riportiamo un suo esempio:
Si fissi un quadrato qualsiasi, per esempio 81; esso è divisibile per 3 ed è quindi somma dei tre dispari 25, 27, 29 disposti attorno a 27 = 81/3. Gli altri due quadrati saranno dati da 144, somma dei dispari da 1 a 23 (il dispari che precede 25), e da 225, somma dei dispari da 1 a 29 (il maggiore dei dispari nei quali si è scomposto 81). Analogamente, se il quadrato fissato è pari.
Prima pagina del Liber Quadratorum
Fonte:https://www.progettofibonacci.it/skede/fibobio/biografia.html
Altri esempi, non ripresi dalla sua opera:
Con un terzo procedimento, partendo dalla relazione seguente:
e assumendo che a : b = c : d, da cui ad = bc (per Euclide ab e cd sono due numeri piani simili), si ha che il prodotto al primo membro è un quadrato:
Quindi la relazione sopra scritta è equivalente all’equazione pitagorica.
Immagini tratte da Picutti E., Leonardo Pisano, articolo tratto dalla rivista “Le Scienze”, numero 164, aprile 1982, anno XV, volume XXVIII.
Con il Liber quadratorum ebbero inizio e fine gli studi medioevali che facevano riferimento alle terne pitagoriche. Nella seconda parte del libro prende avvio il problema del congruo che consiste nel trovare tre quadrati razionali (X2, Y2, Z2) differenti tra loro di un numero intero prefissato C, in altri termini trovare, noto C, le soluzioni della doppia equazione:
Il problema equivale a trovare i lati di un triangolo numerico del quale sia data l’area A, numero intero.
Le terne pitagoriche e la geometria analitica
Chi era Felix Klein?
Felix Klein è stato un matematico tedesco e viene ricordato per il suo grande contributo nell’ambito della geometria. Quando intraprese gli studi aveva in mente di diventare un fisico, ma sotto l’ala di grandi insegnanti della sua università, completò il suo dottorato con una tesi che metteva in relazione la geometria e i fenomeni fisici.
Oltre a dedicarsi alla ricerca in campo matematico, in particolare affiancato da Sophus Lie, Klein è stato un insegnante. Ottenne svariate cattedre in diverse prestigiose università tedesche e non. Inoltre si sposò con Anne Hegel, nipote del famoso filosofo Georg Wilhelm Friedrich Hegel.
Nel 1913, dopo una carriera spesa in dimostrazioni, si ritirò per problemi di salute, anche se continuò l’attività di insegnamento in casa sua durante la Prima guerra mondiale.
Felix Klein
Fonte: Academy of Sciences of Turin, Public domain, via Wikimedia Commons
La dimostrazione di Klein parte dall'equazione del teorema di Pitagora, associando a quest'ultima una circonferenza particolare: quella con centro nell'origine degli assi e con raggio 1. Dalle intersezioni delle rette del fascio con centro in A (punto sulla circonferenza a coordinate razionali) con la suddetta circonferenza otteniamo tutte le soluzioni dell'equazione, irrazionali e razionali.
Per ottenere soltanto valori razionali (frazioni) sostituiamo m (il coefficiente angolare del fascio) con il rapporto tra due numeri p e q.
Otteniamo delle equazioni che rispettivamente legano x con z e y con z. Ammettendo che z sia uguale alla somma dei quadrati dei valori scelti p e q, si ottiene il sistema risolutivo che permette di calcolare terne pitagoriche.
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